Matemática – Propriedades das quatro operações. (adição e subtração)

Propriedades das quatro operações.

 

O termo propriedade aqui não é usado no sentido de posse, como quando adquirimos um bem. Ele passa a ser nossa propriedade. Tem aqui o significado de alguma coisa que lhe é característica, própria. Lembro de ouvir muitas vezes os alunos perguntarem:

  • Para que serve isso, professor?

Nem sempre é fácil explicar, assim na hora, como se diz, “na lata”, para que serve determinado conteúdo. Mas, com certeza ele será útil, em um momento futuro e, quando for hora de usar, pode faltar tempo para voltar atrás e aprender. Por isso, esse assunto, aparentemente um pouco sem “razão de ser”, ou seja, inútil, é muito importante no desenvolvimento de conteúdos posteriores. Apenas para adiantar, é fundamental no aprendizado da álgebra. No momento oportuno vou mostrar como.

 

  • Adição

Vamos começar pelas propriedades da adição. Antes de falar no nome, vamos ver como a primeira funciona.

Observemos a adição:

  • $\color{navy}{7 + 4 = ?}$       $\color{navy}{(11)}$
  • $\color{navy}{4 + 7 = ?}$      $\color{navy}{ (11)}$

O que existe de diferente?

Você deve ter observado que a ordem das parcelas foi trocada. Mas o resultado foi o mesmo. Essa propriedade é denominada de:

  • Propriedade comutativa: A ordem das parcelas não altera a soma.

Há vários sinônimos que poderíamos usar em lugar do verbo trocar, como permutar, comutar. Parece que o nome adotado, soa melhor do que os outros adjetivos derivados dos sinônimos. Vejamos: trocativa, permutativa.  Acho que o nome escolhido foi o melhor.

Isso pode ser aplicado em uma soma com qualquer número de parcelas. Em outras palavras, não importa em que ordem os números são adicionados. A soma será a mesma. Na aritmética em si, isso não tem grande utilidade. Mas depois, vai aparecer para que serve.

Exercite um pouco. Depois poderá criar seus próprios exercícios.

  • $\color{brown}{9 + 11 + 13 =?}$
  • $\color{brown}{14 + 10 + 17 + 15 =?}$
  • $\color{brown}{21 + 18 + 15 + 26 + 12 =?}$

Vamos olhar agora uma expressão com várias parcelas.

  • $\color{navy}{12 + 8 + 25 + 15 = 25 + 12 + 15 + 8 = 60}$.

Nesse caso podemos fazer uma “associação”, como segue:

  • $\color{navy}{(12 + 8) + (25 + 15) =  20  +  40  = 60}$

Nós substituímos na segunda parte as parcelas $12$ e $8$ por sua soma ou associação que é $20$, assim como $25$ e $15$, associados dão $40$. Observe que a soma deu o mesmo resultado. Poderíamos ter feito também a associação de forma diferente:

  • $\color{navy}{(25 + 12) + (15 + 8) = 37 + 23   = 60}$ ou
  • $\color{navy}{(12 + 8 + 25) + 15 = 45 + 15  = 60}$ ou ainda
  • $\color{navy}{12 + (8 + 25 + 15) = 12 + 48 = 60}$

Essa propriedade é denominada

  • Propriedade associativa: Numa soma de várias parcelas, podemos substituir duas ou mais parcelas pela sua soma (associação).

Vamos usar essa propriedade quando formos fazer uma coisa chamada “redução de termos semelhantes na álgebra”, e isso é sumamente importante. Aguarde para ver.

Que tal exercitar um pouco?

  • $\color{brown}{32 + 15 + 24 = ( …+ …) +… = … + (…+ …) =…}$
  • $\color{brown}{6 + 9 + 4 + 13 + 4 = (… +…+ …) + (…+…) =…}$

Crie seus próprios exercícios para fixar bem esse assunto.

  • Temos mais uma propriedade na adição. Vamos ver qual é?

Se tivermos a adição:

  • $\color{navy}{5 + 8 = 8 + 5 + 0 = 13}$
  • $\color{navy}{9 + 3 + 6 = 3 + 9 + 6 + 0 = 18}$

Note que nos dois exemplos, inserimos uma nova parcela, sem alterar o resultado. Essa parcela foi o número “zero”. Isso nos mostra que, se adicionarmos o número “zero” a qualquer soma, o resultado não se altera. Por essa razão essa propriedade é denominada:

  • Propriedade do Elemento neutro: o zero é o elemento neutro da adição.

Em qualquer soma, a presença de uma parcela igual a zero, o resultado não sofre alteração.

  • Propriedade do fechamento: dizemos que uma operação é fechada em um determinado conjunto numérico, se ela é sempre possível de ser realizada. 
  • Ainda não falamos de outros conjuntos numéricos e portanto estamos operando, neste momento, no conjunto dos números naturais.
  • $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{\{N = 0,1,2,3,3,4,6,…,\infty\}}}$
  • Observamos nos exemplos vistos antes e podemos fazer muitos outros, verificando que a adição de dois números naturais, sempre resulta em um outro número natural. Isto significa que a adição é sempre possível no conjnto N. Por isso, podemos afirmar que:
  • A adição é fechada para o conjunto dos números naturais”. 

 

  • Subtração:

Vimos que a subtração é a operação inversa da adição. Será que as propriedades da adição também são válidas para a subtração?

  • Vejamos a primeira, comutativa.
  • $\color{navy}{34 – 19 = 15}$

Vamos inverter os termos:

  • $\color{navy}{19 – 34 = ?}$     (essa operação só se torna possível no momento em que passamos a conhecer o conjunto dos números inteiros e o resultado não é o mesmo do anterior).
  • Logo, a propriedade comutativa não se aplica à subtração.
  • Será que se aplica a propriedade associativa?

É fácil perceber que não, pois associar está ligado à ideia de somar e aqui trata-se de subtrair.

  • E a propriedade do elemento neutro?

Também não, pois só poderíamos introduzir um subtraendo com valor zero. Não podemos colocar o zero no lugar de qualquer dos termos.

  • Propriedade do fechamento: Vimos que nem sempre a subtração de dois números naturais é possível. Não podemos subtrair um número maior de outro menor. Por isso, a subtração não é fechada no conjunto dos números naturais. 
  • Assim as propriedades comutativa, associativa,elemento neutro e do fechamento não se aplicam à subtração.

Décio Adams

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65 ideias sobre “Matemática – Propriedades das quatro operações. (adição e subtração)

    1. Maria edu

      Eu penso muito chatoooooooooo 👿q me deixa loca
      Q coisa horivel o deio MATEMATICA
      Uma coisa boa e estudar mais que situação

      Vaaaa com DEUS MATEMATICA
      Te espero no ano q vem
      PARABENS MATEMATICA VC E A MELHOR
      MAIS PENSA NUMAS QUESTÕES CHATAS ESPERO Q EU NÃO FIQUE DE RECUPERAÇÃO PARABENS MATEMATICAAAAA 👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨✨🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟🌟💫💫💫💫💫💫💫💫💫💫💫💫💫💫💫💫

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      1. decioadams Autor do post

        Espero que tenha sorte nas provas. Se você encarar o assunto de forma mais amena, vai ver que ficará bem menos chato. Pense numa coisa: tente identificar uma área da vida em que você não tem que fazer uso de matemática, nem nos mínimos detalhes. Se encontrar, me informe e discutiremos a questão. Eu tenho certeza que não irá encontrar, mas tente e veremos.
        Decio Adams

        Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Se esse humilde trabalho lhe ajudou, isso é motivo de muita alegria para mim. Não hesite em pedir ajuda em outros momentos. Sou professor de matemática/física, aposentado, mas ainda tenho condições de prestar preciosos serviços a quem trilha o caminho das ciências exatas. Parabéns, Júlia e muito obrigado por seu comentário. Disponha de mim quando for preciso.

      Responder
        1. Décio Adams Autor do post

          Gabriel, não sei você é colega do Raphael, mas se for, também você pode entrar em contato por vídeo chamada ou chamada de voz para tirar dúvidas que tiver. Estou à disposição para ajudar.

          Responder
  1. ivaldobotelho

    Professor, parabéns pela aula! Mas a Júlia disse uma coisa, depois disse outra, no entanto, acho que ela ainda não viu a propriedade de multiplicação, ou seja, “a ordem dos fatores não altera o produto”, será que ela iria entender? Bom, professor acho que a ordem dos fatores altera o produto mesmo! Vamos admitir que a Júlia sai hoje a noite com José maria e no outro dia saia com maria José! Veja professor que a ordem dos fatores alterou o produto, ou não?

    Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Ivaldo, não entendi direito a sua pergunta. Pelo menos não no sentido em que você colocou a questão. Essas propriedades são válidas estritamente na matemática/aritmética. Portanto não se aplicam na situação que você mencionou, isto é, de uma pessoa sair em dias diferentes com pessoas diferentes. Certamente que nesse caso não existe essa propriedade, pois não se trata de uma operação matemática e sim de situações relacionais entre pessoas. Não são meramente números, quantidades, percebe?
      Se a questão tem outro sentido, perdoe-me, mas eu não consegui atinar com ele e me parece que não é o objetivo do texto que escrevi. O texto é especificamente para o assunto citado no título da postagem.
      Por favor me retorne, se eu não fui claro, para que não restem dúvidas ao final.

      Responder
      1. ivaldoBotelho

        Professor, o senhor esta corretíssimo! O meu comentário foi apenas no sentido de descontração, humor. Assim, quem sou eu para discutir um assunto tão bem explicado, colocado e exposto por uma pessoa tão inteligente/sábia? Professor me desculpe pela formar que me expressei, mas fiquei satisfeito por ter me comunicado com o senhor!!

        Responder
  2. Filipe

    Eu tenho 9 anos e estou estudando esse assunto e e um que eu gosto muito eu amo esse assunto também gosto muito da matemática e vem legal você me ajudou muito com esse site

    Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Muito bom, Felipe. Fico satisfeito que tenha ajudado você a entender melhor o assunto. E posso te garantir que, no futuro você vai comprovar o que eu sempre afirmo. Essas propriedades são fundamentais para o desenvolvimento dos conteúdos que irá encontrar pela frente. Qualquer coisa que sinta dificuldades, use um dos canais de contato que constam no final dos posts, para fazer contato comigo. Não sei onde você mora, mas isso não é problema. A internet nos aproxima. Um abraço e continue estudando bastante.

      Responder
  3. Erica Jubiele

    Ola professor, Me resume o que e Operções; Propiedades, Por Favor?!
    Irei fazer uma prova para passar em um Curso, Mas estou no 2° ano do ensino Medio, Não me lembro muita coisa mais, preciso muito de Ajuda!

    Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Você está me pedindo para resumir o assunto? Me parece que eu postei no blog vários artigos, onde eu falo de todas as propriedades das quatro operações, além da potenciação e radiciação. Se você procurar vai encontrar. Som posts do ano passado, como é o caso desse em que você pediu ajuda. Vou te mandar um e-mail para podermos trocar mensagens a respeito. Só tem um problema. No blog eu uso uma ferramenta que permite escrever as expressões com notação matemática e nos editores de e-mail isso fica mais complicado. Talvez fique difícil colocar as expressões na forma adequada.
      Obrigado por visitar o blog e, se eu conseguir lhe ajudar, ficaria agradecido se deixasse um comentário a respeito de sua experiência.

      Décio Adams.

      Responder
  4. Caike

    Ola professor, excelente trabalho. Sou professor de matematica estou com uma turma do 6 ano. Minha dificuldade e a seguinte: 739 – ghi = 443, para mim e muito facil resolver a operacao isolando ghi, encontrando 296… mas como explicar essa solucao a uma turma do 6 ano? Estou seguindo as atividades do livro didatico sobre operacoes inversas. Desde ja agradeco! Abracos

    Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Tomei a liberdade de fazer a explanação detalhada numa mensagem privada para o seu endereço de e-mail. Fica mais fácil e assim ficaremos em contato, caso venha a necessitar de outros esclarecimentos futuros. Bem como troca de mensagens de outra natureza. Obrigado por acessar meu blog e disponha dele, em tudo que contém. Estarei reiniciando as postagens de outros assuntos de matemática e física. Talvez mesmo possa sugerir algum que lhe interesse.

      Responder
  5. Manuela

    Muito obrigado!
    Muito obrigado professor você me ajudou muito!
    Eu teria que fazer um resumo sobre isso para a prova, e a professora disse que o meu trabalho estava ótimo…
    Ótima fonte!
    Irei recomendar…..

    Responder
  6. Raphael Ribeirot

    Parabéns pela iniciativa professor. somos gratos por sua ajuda e dedicação. Abração e tudo de bom!!!

    Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Raphael, obrigado por visitar o blog e fico muito satisfeito e ter podido ajudar. Espero que tenha encontrado as respostas para suas dúvidas. Quando não encontrar, faça contato por um dos meios que disponibilizo ao final de cada post. Posso fazer um post especial, ou então escrever resolver a dúvida via vídeo chamada. Tenho quadro branco e fica bem fácil estabelecer a comunicação.

      Responder
    2. RITA DE CASSIA SOUZA

      Ola!!!!!, venho por meio desta agradecer ,pois as postagens sobre PROPRIEDADES ASSOCIATIVAS DA ADIÇÃO, me ajudaram muito com o trabalho que tenho que entregar. Mais uma vez muito obrigado pela ajuda e que DEUS o ilumine sempre……. um abraço.

      Responder
      1. Décio Adams Autor do post

        Boa noite, Rita de Cássia!
        Eu fico satisfeitíssimo em saber que meus humildes posts foram de utilidade para lhe ajudar. Estou a disposição para esse e outros assuntos. Estou me preparando para lançar também vídeos e futuramente, um sistema de aulas online, onde várias pessoas possam tomar parte.
        Coloco-me ao seu dispor para quaisquer dúvidas e, por outro lado, agradeceria imensamente se divulgasse entre seus colegas e amigos o blog, para que mais gente possa se beneficiar da minha experiência de longos anos na sala de aula. Hoje não posso mais voltar para uma sala, mas posso usar a internet e disponibilizar tudo isso a quem precisar.
        Disponha sempre.

        Décio Adams.

        Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Eu não entendi bem sua pergunta, pois o MMC de números, resulta da multiplicação de seus fatores primos comuns e não comuns. Ele é usado no processo de adição ou subtração de frações com denominadores diferentes, quando se busca igualar os denominadores. Desconfio que a sua dificuldade não seja bem o que disse e eu estou interessado em saber exatamente qual é o problema, para tentar lhe ajudar. Poderia me explicar melhor a dificuldade que está enfrentando?

      Décio Adams.

      Responder
  7. karen barbosa

    muito obrigada professor me ajudou muito com certeza vou tira nota dez eu tenho 10 anos e estou no 5 ano A essa prova e do segundo bimestre eu não tinha entendido nada que a minha professora . qualquer coisa vou le procura pelas redes sociais para vc me ajuda na materia de matematica tenho um pouco de dificuldade nesse assunto

    beijos de sua aluna

    tchac

    Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Prezada Karen Barbosa!
      Não sabes a alegria que me trazem suas palavras. É essa a minha intenção na manutenção desse Blog. Colocar meus anos de experiência à disposição dos estudantes, pouco importando a idade que tenham, para facilitar seu processo de aprendizagem de matemática. Ainda faltam muitos assuntos a serem abordados e, por isso, quando não encontrar o que procura, entre em contato e exponha sua dúvida que darei um jeito em lhe ajudar.
      Parabéns. Se está com 10 anos e na quinta série, está no ritmo apropriado e desejo que continue assim, alcançando muito sucesso Se eu puder contribuir com um grão de areia para isso, creio que já terei cumprido minha tarefa.
      Tchau
      Um abraço
      Décio Adams.

      Responder
  8. kelly

    professor quero agradecer,ótimo conteúdo!sua iniciativa de ajudar sem pedir nada em troca e admirável!você também e professor de física? certo! matemática por enquanto não estou tendo dificuldades,pois está bem explicado!mais se tiver deixo aqui minha dúvida! gostaria de saber se você possui uma página como essa para física,porque a matéria não entra na minha cabeça de jeito nenhum!

    Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Você fez vários comentários e fico muito contente em poder ajudar quem precisa. Se faltar alguma coisa, ou tiver alguma dúvida para a qual não encontre explicação no blog, não tenha receio. Estou aqui para ajudar. Por isso não perca tempo e me mande sua dúvida. Conforme a dúvida respondo por e-mail, podemos fazer uma vídeo chamada se tiver acesso com computador, ou publico um novo artigo no blog esclarecendo o assunto.
      Um abraço e bons estudos.
      Décio Adams.

      Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Fico feliz em poder contribuir para seu aprendizado. Deve ter observado que nem tudo está no site por enquanto. É muito conteúdo e não consegui ainda abranger todos os assuntos. Se tiver alguma dúvida específica e não encontrar resposta nos vários posts, me mande um e-mail expondo sua dificuldade. Se estiver ao meu alcance, tenterei lhe ajudar.

      Décio Adams.

      Responder
  9. Aléxia Rayane

    Nosso Deus… É uma frade honra conhecer virtualmente um professor q se dispõe a ajudar as pessoas q tem dificuldades nê matemática… Peço ao senhor q sempre preserva seu trabalho e coragem te parabenizo….

    Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Obrigado pela visita. Isso me estimula a melhorar o que já está feito. Agora mesmo estou trabalhando na elaboração de um programa, se não completo, mas pelo menos próximo disso, para, encima disso fazer as postagens que faltam, adaptar as que já tenho para ter um conjunto completo de todos os assuntos de matemática e física. Estou também buscando um meio de fazer aulas ao vivo, via computador, para poder alcançar mais pessoas. Isso certamente implicará em um pequeno gasto para cobrir minhas despesas para manter o sistema. Mesmo assim, deverá ser algo irrisório, comparado com muitos meios que existem disponíveis, muitas vezes sendo bem fracos e deficientes.
      Obrigado novamente e disponha para eventuais dúvidas que tenha sobre outros assuntos, ainda não abordados em meus posts.

      Décio Adams.

      Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Basta procurar nos outros posts e encontrar. Todos estão classificados como “Matemática, Aritmética e denominação específica.

      Responder
    2. decioadams Autor do post

      Há as propriedades de todas as operações. É importante observar que as operações de adição e multiplicação são mais “ricas” em questão de propriedades. Já subtração e divisão são mais limitadas nesse aspecto. Mas não há problema por conta disso. As propriedades de adição e multiplicação nos ajudam em muitas situações com a divisão e subtração.
      Às ordens para o que for necessário.
      Décio Adams.

      Responder
    1. decioadams Autor do post

      Fico feliz em poder ajudar. Ainda faltam muitos assuntos a ser abordados. Tudo virá no seu devido tempo.

      Décio Adams

      Responder
    1. decioadams Autor do post

      Fico feliz em ser útil. Disponha a vontade. Se tiver dúvida em algum assunto ainda não tratado no site, faça contato comigo por meio do e-mail e vou tentar ajudar.

      Décio Adams

      Responder
    1. decioadams Autor do post

      Boa tarde! Espero que sejas um dos relativamente raros indivíduos que realmente gostam de matemática. Se este for o caso, deves ter o dom da facilidade em aprender e compreender as regras da lógica, bem como provavelmente teve ocasião de defrontar-se com um professor(a) que tinha gosto em ensinar e lhe mostrou o caminho. Isso é uma grande sorte.
      Há muita gente que detesta ou odeia matemática, como se a disciplina tivesse em sí alguma culpa. Trata-se de pessoas que tiveram experiências desagradáveis no começo dos estudos de matemática, combinadas talvez com aptidão para outras disciplinas. Isso torna o aprendizado da lógica um pouco mais lento. Hoje sabemos que há variadas formas de inteligência. Tal fato é bom, uma vez que não haveria espaço nas atividades humanas para uma totalidade de especialistas em uma única área. Há necessidade de todas as especialidades.
      Mesmo assim, com empenho e boa orientação, todos têm capacidade de atingir o domínio mínimo da matemática, para os usos e aplicações que a vida irá lhe exigir, seja qual for sua área de atividade.
      Obrigado por visitar o blog e estamos abertos a receber críticas, uma vez que não temos pretensão de sermos ferfeitos ou infalíveis.

      Um abraço

      Décio Adams.

      Responder
  10. Bruno Barbosa

    Parabéns pelo belo trabalho e pela disposição em ajudar os outros , não se deixe abater por piadas os críticas , seu trabalho e magnífico . Continue assim !
    Obrigado

    Responder
    1. decioadams Autor do post

      Obrigado pelo apoio. Quanto a alguma piada, isso já faz parte da vida de professor, especialmente matemática, física e coisas do gênero. Estou num período de estiagem, mas logo vou retomar a elaboração de novos posts para completar aos poucos o conteúdo todo.
      Um abraço.
      Décio Adams.

      Responder
  11. Camila

    Muito bom! Me ajudou muito professor! Não ligue para esses cometarios bobos tipo “chato,odiei”. Parabéns!!!!!!!!!!!!

    Responder
    1. decioadams Autor do post

      Se eu ligasse para essas bobagens, não teria ficado trinta e poucos anos em sala de aula, enfrentando isso a cada dia que passa. Entre os debochados, existem sempre os bons alunos, que se empenham e esforçam.

      Décio Adams

      Responder
  12. Matheus

    Excelente trabalho meu professor!
    Matemática é bem complexa, mas esse é só o básico hahahaha.
    O engraçado é o povo que fica com dor de cabeça em algo tão simples..
    Boa sorte na geometria e trigonometria! UHDSAUHA

    Responder

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