Matemática, Aritmética, Propriedades das quatro operações (multiplicação e divisão)

 Propriedades da multiplicação.

  • Se para a adição existem propriedades, vamos ver a multiplicação. Afinal, em outro momento vimos que a multiplicação nada mais é do que uma adição de parcelas iguais.

Será que a propriedade comutativa é aplicável à multiplicação? (Lembremos que ela consiste em mudar a ordem das parcelas. Aqui vamos então trocar a ordem dos fatores).

Observem:

  • $\color{navy}{7 \times 4 = ?}$   $\color{navy}{ (28)}$
  • $\color{navy}{4 \times 7 = ?}$     $\color{navy}{(28)}$
  • $\color{navy}{3 \times 6 \times 10 = ?}$  $\color{navy}{(180)}$
  • $\color{navy}{6\times 3\times 10 = ?} $ $\color{navy}{(180)}$
  • $\color{navy}{10\times 3\times 6 = ?}$  $\color{navy}{(180)}$

Notou que podemos trocar a ordem dos fatores (termos da multiplicação) à vontade e o resultado não se altera. O que nos leva à conclusão de que a propriedade se aplica à multiplicação. Podemos então dizer:

“Na multiplicação, a ordem dos fatores, não altera o produto”.

Use e abuse dessa propriedade para exercitar, se ainda tem dúvida. Além desses poucos exemplos, crie os seus próprios, pois basta escrever alguns números de sua escolha, ligados pela operação de “multiplicar”, depois é só se divertir mudando-lhes a ordem (cuidado para não trocar os “valores”, daí o resultado vai mudar).

  • $\color{brown}{15\times 7\times 2 =?}$
  • $\color{brown}{7\times 4\times 9\times 5 =?}$
  • $\color{brown}{18\times 3\times 7 =?}$
  • $\color{brown}{32\times 4\times 15\times 6 =?}$
  • Qual era a próxima propriedade que vimos na adição? Lembram?
  • É a propriedade associativa. Associar sempre significa unir, reunir, juntar, agrupar. Vamos tentar fazer isso em uma multiplicação de vários fatores.
  • $\color{navy}{6\times 3\times 8\times 4 = 6\times (3\times 8)\times 4 = 6\times 24\times 4 = 576}$
  • $\color{navy}{(6\times 3)\times (8\times 4) = 18\times 32 = 576}$
  • $\color{navy}{6\times (3\times 8\times 4) = 6\times 96 = 576}$

Já vimos que é possível associar, isto é, substituir dois ou mais fatores pelo seu produto. Nos exemplos fizemos isso, mantendo a ordem, isto é sem aplicar a propriedade comutativa. Vamos ver se mudando a ordem também funciona assim.

  • $\color{navy}{(6\times 4)\times (8\times 3) = 24\times 24 = 576}$
  • $\color{navy}{(4\times 3\times 6)\times 8 = 72\times 8 = 576}$
  • $\color{navy}{(3\times 6\times 8)\times 4 = 144\times 4 = 576}$

Assim ficou demonstrado que a propriedade associativa na multiplicação se aplica e podemos enunciar:

“Na multiplicação, podemos substituir (associar) dois ou mais fatores pelo seu produto, sem alterar o resultado final”.

Vamos treinar um pouco?

  • $\color{brown}{2\times 5\times 8\times 9 =?}$
  • $\color{brown}{4\times 3\times 7\times 5\times 2 =?}$
  • $\color{brown}{10\times 9\times 7\times 3 =?}$
  • $\color{brown}{8\times 4\times 5 =?}$

Treine à vontade. Quando for estudar fatoração de expressões algébricas e redução de termos semelhantes, irá aplicar essa propriedade e o domínio do assunto vai facilitar sua vida.

  • Se não me engano, vimos mais uma propriedade na adição. E seu nome era Elemento neutro. Podemos adicionar o número “zero” e a soma não se altera.

Será que se multiplicarmos uma série de fatores por “zero”, o resultado não se altera?

Vejamos:

  • $\color{navy}{7\times 4\times 0  = 28\times 0 = 0}$  (soma de “zero” parcelas iguais a $\color{navy}{28}$)
  • Fica fácil perceber que “zero” não é elemento neutro da multiplicação.
  • Existirá outro número pelo qual possamos multiplicar uma série de fatores e o resultado não será alterado?
  • Vamos tentar o número $\color{navy}{1}$(um).
  • $\color{navy}{8\times 4 = 32}$
  • $\color{navy}{8\times 4\times 1 = 32\times 1 = 32}$ (soma de uma parcela igual a $\color{navy}{32}$).

Vemos que na multiplicação o elemento neutro não é o número zero, mas sim o número $\color{navy}{1}$(hum).

  • Concluímos então que a multiplicação goza da propriedade do elemento neutro e esse é o número $\color{navy}{1}$(hum).

Multiplicando uma expressão pelo número 1(um), o resultado não se altera. Assim o elemento neutro  da multiplicação é o número 1(um), no conjunto dos números naturais.

  • Mas a multiplicação, goza de uma propriedade além das outras operações. E sua aplicação é muito, mas muito importante no estudo da álgebra em especial, quando iremos multiplicar expressões algébricas por termos algébricos e por outras expressões. Na hora apropriada veremos isso.

Mas que propriedade é essa? Vamos observar atentamente os exemplos a seguir.

  • $\color{navy}{4\times (7 + 5) = 4\times 12 = 48}$.

Substituímos o $\color{navy}{7 + 5}$ pela sua soma e multiplicamos. Vamos tentar fazer de outra maneira. Que tal multiplicar o $\color{navy}{7}$ e o $\color{navy}{5}$ por $\color{navy}{4}$. Somar os resultados e ver o que encontramos.

  • $\color{navy}{4\times (7 + 5) = 4\times 7 + 4\times 5 = 28 + 20 = 48}$

Será que isso acontece sempre?

  • $\color{navy}{(8 + 3)\times 6 = 11\times 6 = 66}$
  • $\color{navy}{(8 + 3)\times 6 = 8\times 6 + 3\times 6 = 48 + 18 = 66}$

Se no parênteses tivermos uma subtração, como fica?

  • $\color{navy}{(16 – 5)\times 7 = 11\times 7 = 77}$
  • $\color{navy}{(16 – 5)\times 7 = (16\times 7) – (5\times 7) = 112 – 35 = 77}$
  • OBS.: Por que eu coloquei as multiplicações entre parênteses? Isso não seria necessário, se já tivéssemos falado na ordem de precedência na realização das operações em uma expressão matemática (tanto faz que seja aritmética ou algébrica). Vamos falar disso em outro momento.

O que notamos é que podemos efetuar a soma ou subtração e multiplicar o resultado pelo fator externo ou multiplicar cada um dos termos da soma ou subtração, para depois realizar a soma ou subtração dos resultados. A resposta final é a mesma. Nas expressões aritméticas isso não tem muita utilidade, mas, novamente veremos o quanto é importante esse procedimento no estudo da álgebra. É geralmente esse o entrave dos alunos para entender as operações algébricas.

Que nome tem essa propriedade que acabamos de ver?

Podemos notar que o fator que aparece multiplicando no início, é distribuído  para os termos da adição ou subtração. Exatamente por isso, essa propriedade é denominada:

  • “Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração”.

Podemos fazer uso dessa propriedade em casos como o do exemplo a seguir.

Temos:

  •  $\color{navy}{8\times 45 = ?}$  $\color{navy}{(360)}$

Podemos substituir o $\color{navy}{45}$ por uma soma de duas ou mais parcelas  e o resultado não será alterado. Observemos.

  • $\color{navy}{8\times (19 + 26) = 8\times 19 + 8\times 26 = 152 + 208 = 360}$
  • $\color{navy}{8\times (14 + 20 + 11) = 8\times 14 + 8\times 20 + 8\times 11 = 112 + 160 + 88  = 360}$

Podemos também substituir um fator por uma subtração:

  • $\color{navy}{12\times 17 = ?}$  $\color{navy}{(204)}$
  • $\color{navy}{(25 – 13)\times 17 = (25\times 17) – (13\times 17) = 425 – 221 = 204}$

Ou     $\color{navy}{12\times 17 = 12\times (35 – 18)}$

  • $\color{navy}{(12\times 35) – (12\times 18) =  420 – 216 = 204}$

Viu como podemos jogar com os números? É suficiente estar atento e aplicar as propriedades, as regras. Isso se consegue com exercícios, que podemos inventar facilmente, em especial nesse nível inicial. É bem por isso que esses assuntos, parecendo tão simples e até sem importância, fazem falta na hora que vamos aprender os conteúdos mais complexos e que são justamente baseados nessas questões tão elementares. Imagine uma escada. Para subir o segundo degrau, é preciso subir antes o primeiro. Não se chega ao 10 degrau, sem antes galgar um a um os nove que vem antes. Assim é com tudo, não apenas matemática, mas na matemática isso é crucial. A falta de uma parte, é igual construir uma casa, sem fazer o alaicerce, ou deixar esse com buracos, falhas. Na hora que tentar construir os outros andares, ou colocar o telhado, o alicerce cede e vem tudo abaixo. Por isso eu volto a chamar atenção para a importância desses conteúdos básicos.

  • Propriedade do fechamento.

Você já se viu em uma situação, na qual não fosse possível fazer a multiplicação de dois números naturais?

Creio que não. Sempre que multiplicamos dois números naturais, o produto é também um número natural. Isso nos mostra que a multiplicação é fechada no conjunto dos números naturais. 

  • A multiplicação goza da propriedade do fechamento para o conjunto dos números naturais”. 

Em determinadas situações isso poderá ser útil na nossa vida prática. Você irá descobrir ao longo da vida.

 

Divisão 

A divisão, de modo semelhante à multiplicação, da qual é a operação inversa, poderia ser representada como uma subtração sucessiva de termos. Por exemplo:

  • $\color{navy}{30 : 6 = 5}$
  • $\color{navy}{30 – 6 – 6 – 6 – 6  – 6 = 0}$

Subtraímos do dividendo $\color{navy}{30}$(trinta) cinco vezes o divisor $\color{navy}{6}$ e sobrou 0(zero). Isso por ser uma divisão exata. O número de subtrações sucessivas é igual ao quociente. Se a divisão não for exata, iremos ter no final um resto menor que o divisor. Vejamos.

  • $\color{navy}{47 : 7 = 6}$, sobrando resto $\color{navy}{5}$.
  • $\color{navy}{47 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 – 7 = 5}$ $\Leftrightarrow$ $\color{navy}{(7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 5 = 47})$

Subtraímos seis vezes o divisor $\color{navy}{7}$ do dividendo $\color{navy}{47}$ e na última subtração, ficou sobrando o resto $\color{navy}{5}$. Para obter novamente o dividendo, somamos seis parcelas iguais a $\color{navy}{7}$ e no final também o resto $\color{navy}{5}$.

Podemos facilmente deduzir que a divisão não goza de todas as propriedades da multiplicação, assim como a subtração não goza das propriedades da adição. O que foi dito acima, vale para as divisões exatas, como vimos. Se sobrar resto, não obtemos um resultado inteiro. Esse assunto será estudado ao abordar o conjunto dos números racionais (fracionários).

  • Propriedade distributiva: Vejamos a seguinte situação. 
  • $\color{navy}{(15 + 18)\div 3 = 33\div 3 = 11}$
  • $\color{navy}{(15\div 3) + (18\div 3) = 5 + 6 = 11}$
  • Neste caso, fizemos uma distribuição do divisor pelos termos da adição que forma o dividendo.
  • $\color{navy}{ (55 – 33)\div 11 = 22\div 11 = 2}$
  • $\color{navy}{(55\div 11) – (33\div 11) = 5 – 3 = 2}$
  • Fizemos o mesmo com a subtração e podemos dizer que o divisor é distributivo em relação aos termos da soma ou subtração.
  • Se colocarmos na ordem inversa, como por exemplo $\color{navy}{64\div (12 + 4) = 64\div 16 = 4}$. Não podemos fazer a distribuição do dividendo pelos dois termos do divisor. $\color{navy}{(64\div 12) + (64\div 4) = \frac{64}{12} + 16 \not= 4}$.
  • Isso nos mostra que a propriedade distributiva na divisão, se aplica ao divisor que pode dividir os termos da adição ou subtração, sem alterar o resultado. Já com o dividendo não acontece o mesmo. Por isso não posso afirmar que a divisão goza da propriedade distributiva em relação à adição e subtração, como acontece na multiplicação.
  • Elemento neutro – outro dia uma leitora dessa matéria me perguntou por que eu considerei que a divisão não goza do elemento neutro e afirmou que ela o considerava como sendo o número $1$. Analisei e foi preciso dar razão a ela, mas fazendo a ressalva, como aliás já fiz também para a multiplicação, de que isso só vale com o número natural $1$, quando ele é o divisor. O que só vem confirmar a afirmação de que esta propriedade não se aplica na divisão. 

Resumo das propriedades:

Adição:

  • Comutativa – a ordem das parcelas não altera a soma.
  • Associativa – podemos substituir duas ou mais parcelas pela sua soma (associação), sem alterar a soma final.
  • Elemento Neutro – adicionar uma parcela igual a zero a uma soma, não altera o resultado. Zero é o Elemento neutro da adição.
  • Propriedade do fechamento – a adição sempre é possível no conjunto dos números naturais. A soma de dois números naturais, é igual a outro número natural.

Multiplicação:

  • Comutativa – a ordem dos fatores não altera o produto.
  • Associativa – podemos substituir dois ou mais fatores pelo seu produto (associação), sem alterar o produto final.
  • Elemento Neutro – multiplicar por 1(hum) não altera o produto. O número 1(hum) é o elemento neutro da multiplicação.
  • Distributiva em relação a adição e subtração – a multiplicação de um fator por uma soma ou subtração, pode ser feita distribuindo o fator por cada um dos termos e depois realizar a adição ou subtração entre os resultados. O produto final será o mesmo.

Subtração:  Não goza das propriedades comutativa, associativa,elemento neutro e fechamento no conjunto dos números naturais.

Divisão: Não goza das propriedades comutativa, associativa. O elemento neutro é o número natural $1$ quando colocado como divisor, jamais como dividendo. Isso equivale a dizer que a propriedade não se aplica. A propriedade distributiva em relação a adição e subtração, funciona apenas com o divisor. Com o dividendo não funciona. Na prática não devemos usar essa propriedade para a divisão.

Décio Adams

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21 ideias sobre “Matemática, Aritmética, Propriedades das quatro operações (multiplicação e divisão)

  1. Edson Jeronymo

    Meu caro,
    Apreciei muito seu esforço desinteressado para transmitir aos jovens conhecimentos sobre a Matemática, uma das bases de nossa civilização.

    MInha formação é em Filosofia, mas estou preparando um trabalho amplo sobre a formação da Cultura Ociental, o que inclui a evolução da Matemática.

    Se não for abusar de sua paciência, gostaria de sua opinião sobre o que estou escrevendo a respeito.

    Abraço

    Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Não garanto se estarei à altura de opinar de obra com tal enfoque, mas no que estiver ao meu alcance, pode contar com minha humilde colaboração.
      Obrigado pelo comentário.

      Décio Adams.

      Responder
  2. carlos

    como é ou como se faz seguinte operaçao e porque ?
    5+5×5+5=
    tem pessoas respondendo de diversas maneiras:
    5+5=10 x 5+5=10=10×10=100
    5+5+5=15×5=75
    5+5=10×5=50+5=55
    5+5×5=25+5=35
    qual é a resposta certa e porque?
    obrigado.

    Responder
      1. Décio Adams Autor do post

        Obrigado por visitar meu blog e também por fazer contato para tirar uma dúvida.
        Essa questão está relacionada ao que nos ensina a aritmética fundamental, na parte em que trata da “ordem de realização das operações” em uma expressão aritmética. Em diversos autores poderá encontrar ligeiras mudanças na forma da frase, mas o significado é sempre o mesmo.
        “Em uma expressão aritmética, contendo várias operações, estas são efetuadas obedecendo o seguinte critério. Primeiro efetuamos as multiplicações e divisões, na ordem indicada; depois as adições e subtrações, também na ordem indicada”.
        Isso traduzido em “miudos” quer dizer que seguindo os termos da expressão, devemos localizar primeiro as operações de multiplicação e divisão, seguindo a ordem, substituindo esses termos pelos resultados. Depois iremos ver as adições e subtrações, procedendo da mesma maneira, o que nos dará ao final o resultado correto.
        Em sua pergunta você apresenta a expressão: 5 + 5 x 5 + 5 =
        Veja, logo no começo temos uma adição, depois uma multiplicação e ao final nova adição. Seguindo a regra, é correto efetuar a multiplicação 5 x 5 = 25. Fazendo a substituição dos termos pelo resultado da operação efetuada, resulta.
        5 + 25 + 5 =
        Note que restaram agora três termos, unidos pela operação de adição. Obedecendo novamente a regra vamos efetuar a primeira delas.
        5 + 25 = 30 –> substituindo na expressão teremos.
        30 + 5 = 35, que é o resultado correto da expressão.

        Obs.: Quando há somente adições como foi nesse caso final, poderíamos ter agrupado os dois termos 5 e teríamos:
        5 + 5 = 10
        Por sua vez fazendo 10 + 25 = 35, nos dando o mesmo resultado.
        Para abreviar as operações, poderíamos ter agrupado logo da seguinte maneira.
        5 + 5 +(5 x 5) = 10 + 25 = 35.
        São algumas variações que as propriedades fundamentais das quatro operações básicas nos facultam usar, sem prejuízo da regra citada acima.
        Espero ter ajudado. Se tiver mais dúvidas, é só perguntar. Em geral as “grandes” dificuldades com a matemática, tem sua origem em simples regrinhas aritméticas que ficam esquecidas. Ou são mal compreendidas e pouco aplicadas, tornando o aprendizado do resto mais difícil. Um abraço.

        Responder
    1. Guardencio

      olá, nesta operação primeiro se usa a multiplicação para se chegar a uma solução.
      5+5×5+5=
      5+25+5=35

      Responder
      1. decioadams Autor do post

        Certamente. Na resolução de expressões numéricas, as operações de multiplicação e divisão têm precedência sobre as de subtração e adição. No caso de haver multiplicações e divisões seguidas umas das outras, elas devem ser resolvidas na ordem indicada, isto é, resolve-se primeiro quem vem em primeiro lugar.
        Neste exemplo você procedeu de forma correta. A multiplicação deve ser resolvida primeiro, restando depois duas adições para resolver. Parabéns.

        Décio Adams

        Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Sinceramente eu não entendi o significado da expressão acima. Por obséquio, seja mais preciso na forma da expressão.

      Responder
  3. Marta

    Uma pergunta, Professor!
    O elemento neutro da divisão não é o 1? Não entendi porque o senhor acha que não há elemento neutro na divisão.

    Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Seu questionamento tem fundamento. De fato, se eu dividir um número qualquer por 1(um), o resultado não se altera. Porém, como existe também o número -1 (um negativo), corre-se o risco de considerar também esse como elemento neutro e não é o caso. Ao dividir por (-1), provocamos a troca do sinal. Não sei se você já viu esse assunto. Geralmente isso é estudado depois da aritmética básica. Para não causar confusão, não entrei nesse detalhe. Mas concordo com você, ao dizer que o número um, colocado como divisor, não altera o resultado. Inclusive procurei em outros sites para ver o que outros professores dizem a respeito e sequer citam o assunto.
      Parabéns pela sua perspicácia em perceber essa sutileza. Não hesite em perguntar em outras ocasiões sobre o assunto que tenha dúvidas.
      Estou à disposição.
      Décio Adams.

      Responder
  4. Marina

    Olá!

    Agradeço a sua explicação. Entretanto, não vejo o número 1 como neutro na divisão, uma vez que 1:2, por exemplo, não é 2, mas sim 0,5… Assim, se o número 1 ficar no numerador ele irá afetar o resultado, fazendo com que ele não seja neutro.
    É assim? Pode me explicar? Obrigada!

    Responder
    1. decioadams Autor do post

      Creio que me confundi com essa questão. Na verdade as operações de subtração e divisão, não gozam das propriedades aplicáveis à adição e multiplicação.
      Desculpe se fiz confusão. Creio que fui induzido a um raciocínio errado, só não lembro por que motivo, pois já faz algum tempo que isso ocorreu.
      Continuo à disposição para quaisquer dúvidas.
      Décio Adams

      Responder
  5. robson

    boa noite, acredito que o número 1 não é elemento neutro pois 3/1 é diferente de 1/3, portanto é elemento neutro a direita

    Responder
    1. decioadams Autor do post

      Acabei de fazer uma correção. Na forma como estava realmente deixava dúvidas. Em termos práticos a propriedade do elemento neutro não se aplica na divisão. Podemos considerar o número 1, quando ele é divisor.
      Da mesma forma a propriedade distributiva em relação à adição e subtração não se aplica. Pode-se admitir a aplicabilidade para o divisor, isto é, uma adição ou subtração, dividida por um número qualquer. Por exemplo: (8 + 12): 4 = (8: 4) + (12 : 4) = 2 + 3 = 5
      (8 + 12) : 4= 20 : 4 = 5
      Saudações

      Décio Adams

      Responder
  6. Benny

    Cordiais saudações,

    Relativamente ao assunto relacionado às proprirdades, peço a vossa ajuda na resolução deste caso:

    1. (_____ – 120) : 10 =150 : ____ – ______ : ______

    2. ( ____ + ____) : 6 = 36 : 6 + 442 : _____

    Responder
    1. decioadams Autor do post

      Trata-se de aplicar a propriedade distributiva da divisão em relação à subtração e adição. Assim, pode-se preencher as lacunas, transformando a igualdade em uma sentença verdadeira. Vejamos.

      1.(_____ – 120): 10 = 150 : ____ – _____:_____
      (150 – 120): 10 = 150 : 10 – 120 : 10
      30 : 10 = 15 – 12
      3 = 3
      Obs.: Note que efetuamos primeiro a divisão para depois resolver a subtração. divisão e multiplicação tem precedência sobre adição e subtração.

      2. (_____+______): 6 = 36 : 6 + 442 :______
      ( 36 + 442): 6 = 36 :6 + 442 : 6
      478 : 6 = 6 + 442 : 6
      Obs.: Não dá divisão exata com esses números. Se quiser fazer divisão aproximada (decimal) pode efetuar.

      79,666.. = 6 + 73,666… = 79,666…

      Creio que o exercício não exige que seja efetuada a operação, apenas aplicada a distribuição dos termos da subtração e soma à divisão.

      Qualquer dúvida, retorne para esclarecer.

      Décio Adams

      Responder
    1. decioadams Autor do post

      Se o ‘i’ for a representação do número imaginário que corresponde à uma raiz quadrada de número negativo, o valor dessa espressão é i = raiz quadrada de -1.

      Responder

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