Matemática, aritmética. Potenciação de números naturais.

Não é que eu estava esquecendo!

  • Estão lembrados que a multiplicação é uma soma de parcelas iguais?

E se tivermos uma multiplicação de fatores iguais? Será que podemos pensar em uma forma de escrever isso de maneira mais resumida?

  • Por exemplo:   $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{3\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3 = ?}}$
  • Muito simples. Basta irmos multiplicando o três tantas vezes quantas estiver indicado. Mas será que não tem outro jeito? Há muito tempo, pesquisei e não encontrei quando isso aconteceu, alguém olhou para essas expressões e pensou em uma maneira de encurtar a “tripa”. Como?
  • Foi criada a Potenciação, também conhecida como Exponenciação ou forma exponencial. Basta escrever o número de fatores iguais, um pouco acima, do lado direito daquele número que é repetido. Então como fica a expressão aí de cima?

\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{3^6}}\]

  • Nessa forma de escrever, temos um número na forma exponencial. Lemos: três elevado a sexta potência, ou três elevado a seis.

Denominamos ao número $\color{brown}{3}$ de base e ao $\color{brown}{6}$ de expoente. Em algumas situações, principalmente em programas de informática, a forma de indicar a potenciação é feita de maneira um pouco diferente:

3^6

Isso facilita no momento da programação. Na linguagem dos computadores isso torna o processo mais fácil. Mas em geral a forma usada é essa descrita acima. Vejamos a leitura de alguns números exponenciais.

  • $\color{navy}{5^2}$ é cinco elevado à segunda potência ou cinco elevado à dois.
  • $\color{navy}{7^3}$ é sete elevado a terceira potência ou sete elevado a três.
  • $\color{navy}{2^5}$ é dois elevado à quinta potência ou dois elevado a cinco.

No caso específico dos expoentes serem $\color{navy}{2}$ e $\color{navy}{3}$, existe uma forma especial de enunciar essas potências. Por exemplo:

  • $\color{navy}{6^2}$ é seis elevado ao quadrado.
  • $\color{navy}{8^3}$ é oito elevado ao cubo.
  • Por que isso? É que no cálculo da área de um quadrado, multiplicamos o lado por ele mesmo e isso pode ser representado pela potência de expoente $\color{navy}{2}$. Então qualquer potência de expoente dois, diz-se que é um quadrado.
  • Já o volume de um cubo, é igual à medida de sua aresta (lado das faces) elevada à terceira potência. Por isso adotou-se denominar as potências de expoente $\color{navy}{3}$, de cubos.
  • $\color{navy}{4^2}$ é quatro ao quadrado.
  • $\color{navy}{5^2}$ é cinco ao quadrado.
  • $\color{navy}{(11)^3}$ é onze ao cubo.
  • $\color{navy}{9^3}$ é nove ao cubo.
  • Vamos transformar algumas multiplicações de fatores iguais em potências e depois, potências em multiplicações de fatores iguais.
    • $\color{brown}{5 \times 5\times 5\times 5 = 5^4}$
    • $\color{brown}{7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7\times 7 = 7^7}$
    • $\color{brown}{12\times 12\times 12 = (12)^3}$
    • $\color{brown}{8^5 = 8\times 8\times 8\times 8\times 8}$
    • $\color{brown}{6^4 = 6\times 6\times 6\times 6}$

Fácil né. Talvez, quem teve a ideia de fazer isso, nem pensasse no que acabaria virando sua criação. Depois de se difundir essa forma de representar multiplicações de múltiplos fatores iguais, começou-se a descobrir uma porção de propriedades que fazem parte hoje do nosso arsenal de recursos usados nos diversos cálculos. Vamos começar por um ponto bem simples.

  • Seja: $\color{maroon}{3^5 \times 3^2 = 243 \times 9 = 2187}$
  • Mas podemos fazer: $\color{maroon}{(3\times 3\times 3\times 3\times 3)\times (3\times 3) = ?}$

Note que agora temos uma multiplicação de $\color{maroon}{7}$(sete) fatores iguais e podemos escrever então:

  • \[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{3^5 \times 3^2 = 3^{(5+2)} = 3^7}}\]

Isso nos mostra que, quando multiplicamos potências de mesma base, podemos somar os expoentes e deixar o resultado na forma exponencial.

  • “Para resolver um produto de potências de mesma base, somamos os expoentes e conservamos a base”.

Não vou usar aqui letras para substituir os números, pois ainda não falei de álgebra. Estou tratando apenas de aritmética, onde não entram símbolos alfabéticos.

  • Vamos exercitar?
  • $\color{brown}{6^2\times6^4 =?}$
  • $\color{brown}{4^3\times4^2\times4^5=?}$
  • $\color{brown}{2^1\times2^2\times2^2\times2^3=?}$
  • $\color{brown}{5^3\times5^4\times5^2=?}$

 

  • Obs.: eu coloquei de propósito no terceiro exercício uma potência de expoente $\color{navy}{1}$. Por que isso? Existe uma demonstração algébrica para provar isso, mas não quero aqui usar letras. Mas se o expoente é $\color{navy}{1}$, significa que teríamos uma multiplicação de $\color{navy}{1}$(um) fator igual a $\color{brown}{2}$. Então o seu resultado só poderia ser dois. Por extensão, todos os números escritos sem expoente, tem automaticamente como expoente o número $\color{brown}{1}$. De maneira que não é preciso escreve-lo, pois sabemos que ele existe. Em outro momento vamos demonstrar quanto vale uma potência de expoente$\color{brown}{0}$(zero).

 

  • E se em em vez de multiplicar potências de mesma base, estivermos dividindo essas potências?
  • Assim: $\color{brown}{2^7 : 2^5 = 128 : 32 = 4}$

Podemos notar que $\color{brown}{4 = 2^2}$.

  • Olhando bem para o resultado, vemos que esse último expoente é igual a $\color{brown}{(7 – 5)}$, ou seja a diferença entre os expoentes do dividendo e do divisor. Então podemos resolver a divisão de potências de mesma base, fazendo a subtração dos expoentes (dividendo – divisor) e conservar a base. Vamos ver outros exemplos.
  • $\color{brown}{6^5 : 6^3 = 6^{(5-3)} = 6^2}$
  • $\color{brown}{7^8 : 7^5 = 7^{(8-5)}=7^3}$
  • $\color{brown}{3^12 : 3^7 = 3^{(12 – 7)} = 3^5}$

É possível perceber que a divisão dessa forma fica facilitada. Em lugar de multiplicarmos os números, encontrar o resultado das potências e depois dividir, para transformar novamente em potência, fazemos apenas uma subtração e o resultado aparece de forma simples.

  • Para dividir potências de mesma base, conservamos a base e efetuamos a subtração do expoente do dividendo menos o do divisor”.

Assim fica fácil. São os primeiros degraus, antes dos outros que vem a seguir.

Falei antes que iria demonstrar por que os números com expoente $\color{brown}{1}$, são iguais à base. É bem fácil.

  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{3^5 : 3^4 = 3^{(5-4)} = 3^1}}$

Vamos desenvolver as potências:

  • $\color{brown}{(3\times 3\times 3\times 3\times 3) : (3\times 3\times 3\times 3) = 243 : 81  = 3}$

A divisão feita na forma de potências resultou $\color{brown}{3^1}$ e com os números representados pelas potências o resultado foi $\color{brown}{3}$. Será que pode mudar o valor do resultado, pelo simples fato de representar os números de forma diferente?

É claro que não. E então podemos dizer que $\color{brown}{3^1 = 3}$. Isso se aplica a todos os números. O número escrito sem expoente, sempre se subentende que ele têm por natureza o expoente $\color{brown}{1}$. Certo?

Potências de expoente igual a unidade, tem valor igual à base”.

Agora vamos ver outro caso

  • $\color{brown}{6^2 : 6^2 = 6^{(2 -2 )} = 6^0}$

Desenvolvendo as potências:

  • $\color{brown}{(6\times 6) : (6\times 6) = 36 : 36 = 1}$

O resultado das duas formas de fazer a divisão deu diferente. Já vimos que isso não pode acontecer. Qual é a conclusão?

  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{6^0=1}}$

Novamente se aplica a qualquer número. Se o seu expoente for igual a $\color{brown}{0}$ (zero), o valor do número é $\color{brown}{1}$.

  • Qualquer potência de expoente $0$(zero) tem valor igual a unidade”.

 

  • Uns exercícios para treinar.

    • Escreva na forma de potenciação as multiplicações.
      • $\color{navy}{3\times 3\times 3\times 3\times 3 =?}$
      • $\color{navy}{8\times 8\times 8 =?}$
      • $\color{navy}{6\times 6\times 6\times 6 =?}$
      • $\color{navy}{4\times 4\times 4\times 4\times 4 =?}$
    • Escreva na forma de multiplicação as potências.
      • $\color{navy}{7^5 = ?}$
      • $\color{navy}{(13)^3 =?}$
      • $\color{navy}{9^4=?}$
      • $\color{navy}{5^1 =?}$
      • $\color{navy}{(1000)^0 =?}$
      • $\color{navy}{3^7=?}$
    • Efetue as multiplicações de potências de mesma base.
      • $\color{navy}{7^3\times7^2\times7=?}$
      • $\color{navy}{5^2\times5^4\times5^3 =?}$
      • $\color{navy}{8^7\times8^3=?}$
      • $\color{navy}{3^4\times3^2=?}$
    • Efetue as divisões de potências de mesma base.
      • $\color{navy}{(12)^5 : (12)^2 =?} $
      • $\color{navy}{(15)^6:(15)^2=?}$
      • $\color{navy}{9^4:9^1=?}$
      • $\color{navy}{8^5:8^5=?}$
      • $\color{navy}{7^4:7^3=?}$

Se for de seu desejo, é fácil criar novos exercícios semelhantes. Os números estão à sua disposição. Eles não reclamam, não cobram nada mais do que atenção e raciocínio.

Obs.:Em caso de dúvida, faça contato para esclarecer e sanar sua dificuldade, usando um dos meios fornecidos logo abaixo. Mesmo que a dificuldade seja de outra ordem, dentro de matemática, talvez possa ajudá-lo. Não espere a dúvida ficar velha e criar problemas. 

Post refeito e melhorado em Curitiba,15 de julho de 2016.

Décio Adams

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