Matemática – Teoria dos conjuntos.

Matemática – teoria dos conjuntos.

 

  • O que é um conjunto?

Creio que não haverá dificuldades em entender o que é um conjunto. Na sua casa, deve haver vários conjuntos. Por exemplo: um conjunto de pratos, um conjunto de copos, um conjunto de xícaras, um conjunto de cadeiras, um conjunto de móveis, um ou vários conjuntos de brinquedos, seus e seus irmãos ou irmãs. Poderíamos citar mais uma porção de outros.

O que fica claro é que são coisas ou objetos que fazem parte de um grupo. Podemos estender esse conceito um pouco mais e teremos o que em matemática se chama conjunto. Podemos ter um conjunto de símbolos, letras, estrela, círculos, números e assim por diante. Da mesma forma como nossos pais quando nascemos, nos batizaram e fizeram nosso registro de nascimento identificando-nos por um nome, os nossos conjuntos em matemática, receberão um nome. Melhor dizendo, serão identificados por uma letra maiúscula: A, B, C, D, etc. Sempre que nos referirmos a um conjunto usaremos uma letra para identificar esse conjunto.

  • Representação de conjuntos.

Uma das formas de representar conjuntos é o denominado Diagrama de Venn. É formado por um círculo ou outra figura geométrica fechada, dentro do qual colocamos os elementos do conjunto. Por exemplo, o conjunto das vogais do nosso alfabeto:

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O conjunto das sete primeiras consoantes:

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Podemos representar os conjuntos de outra forma. Escrevemos a letra que irá identificar cada um, seguida de um sinal de $\color{maroon}{(=)}$ igual, abrimos uma chave$\color{navy}{\{}$, escrevemos ou desenhamos os elementos e fechamos com outra chave$\color{navy}{\}}$. Assim:

  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{V = \{ a, e, i, o, u \}}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{C = \{ b, c, d, f, g, h, j \}}}$

Cada forma de representar, serve para uma determinada finalidade que iremos ver mais adiante.

Vejamos agora um conjunto do qual não podemos escrever todos os elementos, por serem em número muito elevado. Por exemplo os números de 1 até 1000. Não é que seja impossível escrever todos eles, mas a chave que abre o conjunto e a que fecha, ficariam separadas por uma porção de linhas. Vamos identificar esse conjunto por enquanto por $A$.

Num Diagrama de Venn ficaria assim.

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Usando as chaves ficaria assim:

  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, …, 999, 1000\}}}$

Escrevemos os primeiros elementos e separamos por vírgulas, depois colocamos três pontinhos, seguidos os dois últimos ou apenas o último elemento.

Note que até aqui só falamos de conjuntos com um número determinado de elementos.

Existe um conjunto sem nenhum elemento?

É provável que sua resposta seja não, pois como vai haver um conjunto, se nem ao menos tem um elemento. Você verá mais adiante por que precisamos dos conceitos de conjuntos com apenas um elemento (unitário) e sem nenhum elemento, conjunto vazio.

Conjunto unitário – conjunto que contém apenas um elemento.

Conjunto vazio – conjunto que não contém nenhum elemento.

Vamos ver como fica?

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  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{B = \{ m \}}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{D = \{  \}}}$ ou $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{D = \varnothing}}$

E se for impossível escrever todos os elementos por ser infinitamente grande o número deles?

Neste caso temos o conjunto denominado infinito e  iremos representá-lo assim. Seja por exemplo o conjunto dos números naturais.

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  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{N = \{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, …\}}}$

Escrevemos os primeiros elementos, colocamos três pontos de reticências, fechamos a chave ou dentro do Diagrama de Venn.

Bem simples, não é verdade.

  • Conjunto finito é o conjunto cujo número de elementos é possível determinar. 
  • Conjunto infinito é o conjunto cujo número de elementos é impossível determinar. 
  • Conjunto unitário é o conjunto com apenas um elemento.
  • Conjunto vazio é o conjunto com nenhum elemento.

Vamos exercitar um pouco, pois isso ajuda a fixar o que foi visto até aqui.

  • Escreva os conjuntos, usando chaves. Use uma letra à sua escolha para denominar o conjunto.
    • Conjunto das letras da palavra Pindamonhamgaba.
    • Conjunto dos estados da região sul do Brasil.
    • Conjunto dos cargos eletivos do poder executivo, nos diferentes níveis.
    • Conjunto dos cargos eletivos do poder legislativo nos diferentes níveis.
    • Conjunto dos postos de oficiais do exército brasileiro.
    • Conjunto de planetas que giram ao redor da Terra.
    • Conjunto de satélites que giram ao redor da Terra.
    • Represente num Diagrama de Venn os conjuntos:
      • Conjunto das letras da palavra Guanabara.
      • Conjunto das letras da palavra república.
      • Conjunto de números pares naturais pares menores que 20.
      • Conjunto de números naturais ímpares maiores que 30 e menores que 45.
      • Conjunto de números primos menores que 50.
      • Conjunto de vogais da palavra sol.
      • Conjunto de consoantes da palavra ai.

     

  • Quantidade de elementos de um conjunto.

    É um número que representa quantos elementos tem o conjunto. Por exemplo a palavra Brasil, tem seis letras. Como não há letras repetidas, o conjunto das letras da palavra Brasil, também tem seis elementos.

    Já a palavra capital, tem sete letras, mas o conjunto das letras da palavra, tem somente seis elementos, pois a letra a, aparece duas vezes. Por isso é contada uma única vez na quantidade de elementos do conjunto. Um conjunto não tem elementos repetidos.

    Quantos elementos tem os conjuntos:

    • Estados do Brasil.
    • Cores da bandeira do Brasil.
    • Cidades brasileiras situadas na Argentina.
    • Cidades brasileiras que são Capital da República.
    • Letras do alfabeto latino.
    • Números impares menores que 10.
    • Números pares maiores que 9 e menores que 21.
    • Letras do nome Santa Catarina.

     

    Faça mais exercícios se desejar. Use desenhos, objetos, fatos, qualquer coisa que possa ser contado e tenha como representar.

     

  • Curitiba, 06 de julho de 2016 (Revisado e melhorado)
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