Matemática – expoente negativo.

 

Radiciação, Potênciação, expoente negativo.

Já vimos que a radiciação é a operação inversa da potênciação. Lembrando:

  • Expoente igual a zero : potência de expoente zero, tem valor igual a 1.
  •  divisão de potências de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes. 
  • Então vejamos o seguinte:   \[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{\frac {1}{3^5}}}\]

Como vimos acima, podemos substituir o número 1, por uma potência de qualquer base e expoente igual a 0(zero). Assim nossa expressão acima, irá ficar:

\[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{\frac {3^0}{3^5}  = 3^{(0 – 5)}}}\]

Não resta dúvida de que a expressão \[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{\frac{1}{3^5} = 3^{-5}}}\]

  • Podemos converter denominador com determinado expoente,em um fator acima do traço de fração, ou seja parte do numerador, trocando sinal do expoente. Mais exemplos:
  • $\color{brown}{\frac {1}{5^3} = 5^{-3}}$
  • $\color{brown}{\frac{1}{2^4} = 2^{-4}}$
  • $\color{brown}{\frac{2}{3^{-2}} = 2\cdot {3^2}}$
  • $\color{brown}{\frac{3^5}{5^{-4}} = {3^5}\cdot{5^4}}$

Não fica difícil entender que, o denominador com expoente negativo, passa para o numerador com o mesmo expoente, porém positivo. Vejam como:

  • $\color{maroon}{\frac {1}{7^{-5}}  = 7^5 }$
  • $\color{maroon}{\frac{1}{{11}^{-4}} = {11}^4}$

Do mesmo modo, podemos transformar uma potência com expoente negativo, em fração cujo numerador é a unidade e o denominador a mesma potência com expoente positivo. Assim:

  • $\color{maroon}{7^{-3} = \frac{1}{7^3}}$
  • $\color{maroon}{5^{-7} = \frac{1}{5^7}}$

 

  • Exercícios para treinar esses procedimentos.
    •  Transformar as frações com potências, em expressões com expoentes de sinal trocado.
      • $\color{olive}{ \frac{1}{7^2}}$
      • $\color{olive}{\frac{1}{8^{-4}}}$
      • $\color{olive}{\frac{1}{5^5}}$
      • $\color{olive}{\frac{1}{3^{-4}}}$
      • $\color{olive}{ \frac{2}{3^4}}$
      • $\color{olive}{\frac{5}{6^5}}$
      • $\color{olive}{\frac{1}{13^{-4}}}$
    • Escreva as potências na forma de  frações com expoentes.
      • $\color{olive}{5^{-4}}$
      • $\color{olive}{3\cdot 7^{-3}}$
      • $\color{olive}{6^{5}}$
      • $\color{olive}{7\cdot 3^7}$
      • $\color{olive}{9^{-5}}$
      • $\color{olive}{2\cdot 5^{-6}}$
      • $\color{olive}{3\cdot 8^{4}}$

Vou aqui resolver os exercícios do último post que fiz sobre radiciação. Vamos ver se você conseguiu chegar às respostas. (Com o tempo você poderá omitir alguns passos intermediários, na medida que sua prática aumentar).

Façamos alguns exercícios aplicando o que foi visto acima. (No post anterior).

  • 1). $\color{brown}{(\sqrt {3^3})^4} $
  • $ (\sqrt[2] {3^3})^4 = \sqrt[2] {3^{3\cdot 4}} = \sqrt[2] {3^{12}} = 3^{12/2} = 3^6 = 64 $

 

  • 2). $\color{brown}{(\sqrt[5]{7^4})^3}$
  • $ (\sqrt[5] {7^4})^3 = \sqrt[5] {7^{4\cdot 3}} = \sqrt[5] {7^{12}}\\ = \sqrt[5] {7^10} \cdot \sqrt[5] {7^2} = 7^{10/5}\cdot \sqrt[5] {7^2} = 7^2\cdot \sqrt[5]{7^2}\\ =49\cdot\sqrt[5] {49}$

 

  • 3). $\color{brown}{(\sqrt [6]{4^3})^4}$
  • $ (\sqrt[6] {4^3})^4 = \sqrt[6] {4^{3\cdot 4}} = \sqrt[6] {4^{12}}\\ = 4^{12/6} = 4^2 = 16$

 

  • 4). $\color{brown}{(\sqrt[3]{5^4})^3}$
  • $ (\sqrt[3] {5^4})^3 = \sqrt[3] {5^{4 \cdot 3}} = \sqrt[3] {5^{12}}\\ = 5^{12/3} = 5^4 = 625 $

 

  • 5). $\color{brown}{(\root 9\of {7^3})^5}$
  • $(\sqrt [9] {7^3})^5 = \sqrt[9] {7^{3\cdot 5}} = \sqrt[9] {7^{15}}\\ = 7^{15/9} = 7^{5/3} = \sqrt[3] {7^5} = \sqrt[3] {7^3} \cdot \sqrt[3] {7^2}\\ = 7\cdot \sqrt[3] {7^2}$

 

  • Simplifique as expressões.
    • 1). $\color{brown}{(\sqrt[3]{4^2}\cdot\sqrt[3]{2^3}\cdot\sqrt[3]{5^4})^3}$
    • $(\sqrt[3] {4^2})^3 \cdot (\sqrt[3] {2^3})^3\cdot (\sqrt[3] {5^4})^3 = \sqrt[3] {4^{2\cdot 3}} \cdot \sqrt[3] {2^{3\cdot 3}} \cdot\sqrt[3] {5^{4\cdot 3}} \\ = 4^{6/3}\cdot 2^{9/3}\cdot 5^{12/3}  = 4^2\cdot 2^3\cdot 5^4 \\ = 16\cdot 8\cdot 625  = 80000$

 

  • 2). $\color{brown}{(\sqrt[4]{3^5}\cdot\sqrt[4]{6^3}\cdot\sqrt[4]{2^4})^5}$
  • $(\sqrt[4]{3^5})^5\cdot(\sqrt[4]{6^3})^5\cdot(\sqrt[4]{2^4})^5  = \sqrt[4]{3^{5\cdot 5}}\cdot\sqrt[4]{6^{3\cdot 5}}\cdot\sqrt[4]{2^{4\cdot 5}} \\ = \sqrt[4]{3^{25}}\cdot\sqrt[4]{{(2\cdot 3)}^{15}}\cdot\sqrt[4]{2^{20}} = \sqrt[4]{3^{24}}\cdot\sqrt[4]{3}\cdot\sqrt[4]{2^{12}}\sqrt[4]{2^3}\cdot\sqrt[4]{3^{12}}\cdot\sqrt[4]{3^3}\sqrt[4]{2^{20}}\\= 3^{24/4}\cdot\sqrt[4]{3}\cdot 2^{12/4}\cdot\sqrt[4]{2^3}\cdot 3^{12/4}\cdot\sqrt[4]{3^3}\cdot 2^{20/4} = 3^6\cdot 2^3\cdot 3^3\cdot 2^{10}\cdot \sqrt[4]{3}\cdot\sqrt[4]{3^3}\cdot\sqrt[4]{2^3} \\ = 729\cdot 8\cdot 27 \cdot 512\cdot\sqrt[4]{3^{1+3}} \cdot\sqrt[4]{2^3} = 10.077.696\cdot 3^{4/4}\cdot\sqrt[4]{2^3} \\ = 10.077.696\cdot 3\cdot\sqrt[4]{8} = 30.233.088\cdot\sqrt[4]{8}$

 

  • 3). $\color{brown}{(\sqrt[5]{7^3} \cdot\sqrt [5]{5^4}\cdot\sqrt[5]{3^4}\cdot\sqrt[5]{15^5})^4}$
  • $(\sqrt[5]{7^3})^4\cdot(\sqrt[5]{5^4})^4\cdot(\sqrt[5]{3^4})^4\cdot(\sqrt[5]{(3\cdot 5)^5})^4 = \sqrt[5]{7^{12}}\cdot\sqrt[5]{5^{16}}\cdot\sqrt[5]{3^{16}}\cdot\sqrt[5]{{3^{20}}\cdot {5 ^{20}}} \\=  \sqrt[5]{7^{10}}\cdot\sqrt[5]{7^2}\cdot\sqrt[5]{5^{15}}\cdot\sqrt[5]{5}\cdot\sqrt[5]{3^{15}}\cdot\sqrt[5]{3}\cdot 3^4\cdot 5^4 \\ = 81\cdot 625\cdot 7^{10/5}\cdot\sqrt[5]{7^2}\cdot 5^{15/5}\cdot\sqrt[5]{5}\cdot 3^{15/5}\cdot\sqrt[5]{3} \\= 50625\cdot 7^2\cdot 5^3\cdot 3^3\sqrt[5]{7^2}\cdot\sqrt[5]{5}\cdot\sqrt[5]{3} \\= 50625\cdot 49\cdot 125\cdot 9\cdot\sqrt[5]{7^2}\cdot\sqrt[5]{5}\cdot\sqrt[5]{3} \\ = 2.790.703.125\cdot\sqrt[5]{{7^2}\cdot 5\cdot 3} \\ = 2.790.703.125\cdot \sqrt[5]{735}$

Obs.: Em caso de dúvidas, faça contato por meio de um dos  canais fornecidos abaixo. Estou à disposição para esclarecer quaisquer outras dúvidas dentro do assunto aqui apresentado, mesmo de outro nível. 

Curitiba, 09  de março de 2015 (Revisado e atualizado em 18 de julho de 2016).

Décio Adams

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2 ideias sobre “Matemática – expoente negativo.

    1. Décio Adams Autor do post

      Poderia me mandar um exemplo, para que eu possa ver em que ponto está sua dúvida? Deve ter observado que nem todos os assuntos estão contemplados por enquanto com publicações. Mas se me expuser sua dúvida, talvez seja possível providenciar um post a respeito, ou talvez enviar por e-mail uma explicação. Estou à disposição para o que estiver ao meu alcance.
      Décio Adams.

      Responder

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