Matemática – Teoria dos conjuntos – subconjuntos (contém, está contido).

 

Subconjuntos

Tomemos por exemplo o conjunto das vogais.

  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{ A = \{a, e, i, o, u\}}} $

No artigo anterior, falamos de uniãointerseção de dois conjuntos. Denominamos sub-conjunto  de um conjunto dado, a todo conjunto cujos elementos pertençam a este conjunto. No exemplo acima, conjunto das vogais, temos 5 (cinco) elementos. Vimos que existe o conjunto vazio, que não tem nenhum elemento; conjunto unitário com um elemento apenas e assim por diante. Iremos formar um conjunto de subconjuntos do conjunto $\color{navy}{A}$, também denominado conjunto das partes. Vejamos detalhadamente.

  • $\color{navy}{ A’_1 = ∅ ou \{ \}} $
  • $\color{navy}{ A’_2 = \{a\}}$
  • $\color{navy}{ A’_3 = \{e\}} $
  • $\color{navy}{ A’_4= \{i\}} $
  • $\color{navy}{ A’_5= \{o\}} $
  • $\color{navy}{ A’_6= \{u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_7= \{a, e\}} $
  • $\color{navy}{ A’_8= \{a, i\}} $
  • $\color{navy}{ A’_9= \{a, o\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{10}= \{a, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{11}= \{e, i\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{12}= \{e, o\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{13}= \{e, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{14}= \{i, o\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{15}= \{i, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{16}= \{o, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{17}= \{a, e, i\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{18}= \{a, e, o\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{19}= \{a, e, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{20}= \{a, i, o\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{21}= \{a, i, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{22}= \{a, o, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{23}= \{e, i, o\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{24}= \{e, i, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{25}= \{e, o, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{26}= \{i, o, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{27}= \{a, e, i, o\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{28}= \{a, e, i, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{29}= \{a, e, o, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{30}= \{a, i, o, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{31}= \{e, i, o, u\}} $
  • $\color{navy}{ A’_{32}= \{a, e, i, o, u\}} $

NOTA: Todo conjunto é sub-conjunto de si mesmo.

Para um conjunto $\color{navy}{A}$, vazio, ou sem nenhum elemento:

  • $\color{navy}{A =\emptyset}$
    • $\color{navy}{A’_1 = \emptyset}$

Vejamos um exemplo de um conjunto $\color{navy}{B}$,com apenas um elemento:

  • $\color{navy}{B = \{m\}} $
    • $\color{brown}{ B’_1 = Ø = \{ \}} $
    • $\color{brown}{ B’_2 = \{m\}} $

Um conjunto$\color{navy}{C}$, com dois elementos:

  • $\color{navy}{ C = \{ m, n\}} $
    • $\color{brown}{ C’_1 = ∅ = \{ \}} $
    • $\color{brown}{ C’_2 = \{m\}} $
    • $\color{brown}{ C’_3 = \{n\}} $
    • $\color{brown}{C’_4 = \{m, n\}} $

Um conjunto $\color{navy}{D}$, com três elementos:

  • $\color{navy}{D = \{ i, j, k \}}$
    • $\color{brown}{D’_1 = ∅ = \{  \}} $
    • $\color{brown}{D’_2 =\{ i \}} $
    • $\color{brown}{D’_3 = \{ j \}}  $
    • $\color{brown}{D’_4 = \{ k \}} $
    • $\color{brown}{D’_5 = \{ i, j \}} $
    • $\color{brown}{D’_6 = \{ i, k \}}$
    • $\color{brown}{D’_7 = \{ j, k \}} $
    • $\color{brown}{D’_8 = \{ i, j, k \}} $

Conjunto $\color{navy}{E}$ 4 elementos:

  • $\color{navy}{E = \{ a, b, c, d \}}$
    • $\color{maroon} {E’_1 = ∅ = \{  \}}$
    • $\color{maroon} {E’_2 =\{ a \}}$
    • $\color{maroon} {E’_3 = \{ b \}}$
    • $\color{maroon} {E’_4 = \{ c \}}$
    • $\color{maroon} {E’_5 = \{ d \}}$
    • $\color{maroon} {E’_6 = \{ a, b \}}$
    • $\color{maroon} {E’_7 = \{ a, c \}}$
    • $\color{maroon} {E’_8 = \{ a, d \}}$
    • $\color{maroon} {E’_9 = \{ b, c \}}$
    • $\color{maroon} {E’_{10} = \{ b, d \}}$
    • $\color{maroon} {E’_{11} = \{ c, d \}} $
    • $\color{maroon} {E’_{12}= \{ a, b, c,\}} $
    • $\color{maroon} {E’_{13} = \{ a, b, d \}}$
    • $\color{maroon} {E’_{14} = \{ b, c, d \}} $
    • $\color{maroon} {E’_{15} = \{ a, c, d \}}$
    • $\color{maroon} {E’_{16} = \{ a, b, c, d \}}$

Vejamos agora. O conjunto vazio tem um sub-conjunto. O conjunto de um elemento, tem dois sub-conjuntos. O conjunto com dois elementos, tem quatro sub-conjuntos. O conjunto de 3 elementos, tem 8 sub-conjuntos. O conjunto com 4 elementos, tem 16 sub-conjuntos e o de 5 elementos tem 32 subconjuntos. É notável que, o número de subconjuntos:

      n’={ 1, 2, 4, 8, 16, 32,…}

Todos eles são potências de 2. Vejamos:

  • $\color{blue}{2^0 = 1}$
  • $\color{blue}{2^¹ = 2}$
  • $\color{blue}{2^² = 4}$
  • $\color{blue}{2³ = 8}$
  • $\color{blue}{2^4 = 16}$
  • $\color{blue}{ 2^5 = 32}$

De onde podemos concluir que a quantidade de sub-conjuntos de qualquer conjunto é sempre uma potência de 2, cujo expoente é igual ao número de elementos do conjunto.

Por exemplo, um conjunto de 7 elementos, terá $\color{blue}{2^7 = 128}$.

  • Podemos concluir que o número de sub-conjuntos de um conjunto com $\color{navy}{n}$ elementos, é igual potência de base $\color{navy}{2}$ e expoente $\color{navy}{n}$.
  • $\color{dark green}{n(A) = n \Leftrightarrow n'(A’) = 2^n}$
  • Todos os sub-conjuntos de um conjunto dado, formam o conjunto das partes do conjuto dado. 

Num Diagrama de Venn fica assim:

Conjunto B é subconjunto de A - New Page

Conjunto A contém o conjunto B ou Conjunto B está contido no conjunto A.

Dizemos que o conjunto contém cada um de seus subconjuntos e cada subconjunto está contido no conjunto de origem.

Está contido:  $\mathbf{\color{maroon}{\subset}}$

Não está contido:  $\mathbf{\color{maroon}{\not\subset}}$

Contém:  $\mathbf{\color{maroon}{\supset}}$

Não contém: $\mathbf{\color{maroon}{\not\supset}}$

  • Vamos ver alguns exemplos.
    • $\color{navy}{\{a, b, c, d, e \} \supset \{a, c, e \}}$
    • $\color{navy}{\{a, b, c \}  \subset \{a, b, c, d, e \}}$
    • $\color{navy}{\{ \} \subset \{a, b, c, d, e\}}$
    • $\color{navy}{\{ d \} \subset \{ a, b, c, d, e\}}$
    • $\color{navy}{\{a, b, c, d, e\} \supset\{b, c\}}$
  • Escreva o conjunto dos subconjuntos ou conjunto das partes, dos conjuntos abaixo.
    • $\color{navy}{A = \{ 1, 2, 3\}}$
    • $\color{navy}{B = \{ n, p, q, r\}}$
    • $\color{navy}{C = \{ x, y \}}$
    • $\color{navy}{D = \{ t, u, v, x \}}$
  • Complete com os símbolos $\color{navy}{\supset, \not\supset, \subset, \not\subset}$ entre os conjuntos.
    • ${\{  \} ……. \{x, y, z \}}$
    • ${\{ c, d \} ……..\{ a, b, c, d, e \}}$
    • ${\{ m \} …….. \{ l, m, n, o, p\}}$
    • ${\{ 1, 3, 5, 7, 9 \} ……. \{ 3, 7 \}}$
    • ${\{ garfo, faca, colher, colherinha\} …… \{garfo\}}$
    • ${\{ xícara \} ……..\{ prato, xícara, tigela, sopeira \}}$

Curitiba, 06 de julho de 2016 (Revisão e atualização).

Décio Adams

decioa@gmail.com

adamsdecio@gmail.com

www.facebook.com/livros.decioadams

www.facebook.com/decio.adams

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celulares: (41) 9805-0732 / (41) 8855-6709

4 ideias sobre “Matemática – Teoria dos conjuntos – subconjuntos (contém, está contido).

  1. Maiara

    Muito boa a explicação. Simples e objetiva. Estava procurando algo para auxiliar uma amiga em um trabalho escolar e encontrei essa página que ajudou muito!

    Responder
    1. Décio Adams Autor do post

      Alô, Maiara!
      Me alegro imensamente em ter contribuido para lhe ajudar, no auxílio que estava prestando à sua amiga. Coloco-me à disposição para outros esclarecimentos. Também me disponho a aceitar sugestão de assuntos que ainda não abordei, pois o programa de matemática e física que me proponho a dissecar, é muito vasto. Demora bastante para cobrir todo conteúdo.
      Um bom final de semana.
      Décio Adams.

      Responder
  2. Dinho

    Nossa um assunto tão fácil, mas que a maioria dos sites fazem parecer um monstro com explicações complexas e com poucos fundamentos…

    Depois de ver a sua explicação foi tão fácil entender que nem acreditei que era simples assim.
    Muito Obrigado Décio.

    Responder
    1. decioadams Autor do post

      Caro amigo! Em especial na matemática, há sempre duas formas, talvez até mais, de encarar a questão. Podemos tomar o assunto pelo lado mais simples e fácil. Isso nos leva a um resultado rápido, leve e compensador. Podemos também adotar um caminho complexo e difícil. Neste caso iremos nos enredar em um cipoal de conceitos complicados e no final não chegamos a lugar algum.
      Estou às ordens para o que for preciso.
      Décio Adams.

      Responder

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *