Matemática: Teoria dos conjuntos, diferença entre conjuntos.

Diferença entre conjuntos.

Em artigos anteriores falamos de intersecção, reunião ou união, conjuntos disjuntos. Faltou apenas uma coisa. Diferença entre dois conjuntos A e B.

  • Denominamos diferença entre os conjuntos$\color{navy}{A}$ e $\color{navy}{B}$, ao conjunto dos elementos pertencentes ao conjunto $\color{navy}{A}$ , que não pertençem ao conjunto $\color{navy}{B}$ . Um Diagrama de Venn pode nos mostrar graficamente como é.
  • $\color{brown}{A = \{m, n, o, p, q\}}$
  • $\color{brown}{B =\{p, q, r, s, t\}}$
  • $\color{olive}{A – B = \{m, n, o\}}$ ou $\color{olive}{A/B = \{m, n, o\}}$
  • $\color{olive}{B – A = \{r, s, t\}}$ ou  $\color{olive}{B/A = \{r, s, t\}}$

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  • Os elementos comuns formam a intersecção dos conjuntos A e B.
    • $\color{navy}{ A\cap B = \{ p, q\}}$
  • Os conjuntos A e B, contém o conjunto intersecção:
    • $\color{olive}{ A \supset \{ p, q\}}$
    • $\color{olive}{ A \supset \{A \cap B\}} $
    • $\color{brown}{ B \supset \{p, q\}}$
    • $\color{brown}{ B \supset \{B \cap A\}} $
  • O conjunto interseção está contido nos conjuntos A e B.
    • $\color{olive}{ \{A\cap B\}\subset A} $
    • $\color{olive}{\{p, q\} \subset A}$
    • $\color{brown}{\{B\cap A\} \subset B}$
    • $\color{brown}{ \{p, q\} \subset B} $
  • Veja outro exemplo de diferença entre dois conjuntos$\color{navy}{C}$ e $\color{navy}{D}$.

Tomemos os conjuntos

  • $\color{navy}{C = \{1, 2, 3, 4\}}$
  • $\color{navy}{D = \{ 3, 4, 5, 6, 7\}}$

A direfença entre C e D ou D e C é:

  • $\color{brown}{C – D = \{ 1, 2\}}$
  • $\color{browwn}{D – C = \{5, 6, 7\}}$

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Os elementos que pertencem aos dois conjuntos, não fazem parte do conjunto diferença, e formam o conjunto intersecção.

  • $\color{olive}{C \cap D  = \{ 3, 4\}}$

Tanto o conjunto C, quanto o D, contém o conjunto intersecção.

  • $\color{brown}{D\supset \{3, 4\}}$
  • $\color{brown} {D\supset \{ D\cap C \}}$
  • $\color{olive}{C\supset \{3, 4\}}$
  • $\color{olive}{C \supset \{C\cap D\}}$
  • Vamos treinar resolvendo os exercícios a seguir. Para facilitar, copie em um caderno ou papel e faça a mão.
    •  Represente em um Diagrama de Venn, as diferenças entre os conjuntos. Depois escreva na forma entre $\color{brown}{\{…\}}$ o resultado
      • $\color{navy}{A = \{Merc\acute{u}rio, V\hat{e}nus, Terra, Marte, J\acute{u}piter, Saturno, Urano,\\ Netuno, Plut\tilde{a}o\}}$,  $\color{navy}{ B = \{Terra, Merc\acute{u}rio, V\hat{e}nus, J\acute{u}piter\}}$.
      • $\color{navy}{C = \{ a, b, c, d, e, f, g\}}$  e $\color{navy}{D = \{a, e, i, o, u\}}$
      • $\color{navy}{ P = \{ m, n, o, p, q\}}$ e $\color{navy}{Q = \{n, p, q\}}$
      • $\color{navy}{I = \{l, m, n, r, t\}}$ e $\color{navy}{J =\{n, r, s, t, u\}}$
    •  Faça a interseção dos conjuntos abaixo. Na forma escrita e no Diagrama de Venn.
      • $\color{olive}{A = \{f, g, h, i, j, l\}}$, $\color{olive}{B = \{b, c, d, f, g\}}$ $\Rightarrow$ $\color{brown}{A ∩ B = \{ …\}}$
      • $\color{olive}{D = \{1, 3, 5, 7, 9\}}$, $\color{olive}{E = \{ 3, 4, 5, 6, 7, 8\}}$ $\Rightarrow$ $\color{brown}{D\cap E =\{…\}}$
      • $\color{olive}{P = \{ 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13\}}$, $\color{Olive}{R = \{1, 3, 4, 7, 9\}}$ $\Rightarrow$ $\color{brown}{P\cap R =\{…\}}$
      • $\color{olive}{H = \{r, s, t, u, v, x, z\}}$, $\color{olive}{L = \{ k, w, y, v, z\}}$ $\Rightarrow$ $\color{brown}{H\cap L =\{…\}}$

 

  • Há um caso particular de diferença entre conjuntos. Se um deles é sub-conjunto do outro. Veja o caso do Diagrama de Venn abaixo.

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  • O conjunto $\color{navy}{M = \{b,c,d,f,g, h,j\}}$ e o conjunto $\color{navy}{N = \{ g, h, j\}}$. Podemos notar que todos os elementos do conjunto$\color{navy}{N}$, também pertencem ao conjunto $\color{navy}{M}$. A interseção desses conjuntos será igual ao conjunto $\color{navy}{N}$.
    • $\color{olive}{M\cap N = N }$
  • A diferença entre eles fica:
    • $\color{olive}{M – N = \{b, c, d, f\}}$
    • $\color{olive}{ N – M = \varnothing }$
  • Obs.: Neste caso o conjunto diferença é vazio, pois todos os elementos de N pertencem também a M.
  • Dizemos que a diferença entre M e N é o complemento ou complementar de N em M. Em outras palavras, a diferença é o conjunto dos elementos que faltam em $\color{navy}{N}$ para que ele se torne igual a $\color{navy}{M}$. Isso permite dizer que a união do conjunto $\color{navy}{N}$ com o conjunto diferença é o conjunto $\color{navy}{M}$. Simbólicamente fica.
  • $\color{olive}{M – N = \{ b, c, d, f\}}$
  • $\color{olive}{ N \cup (M – N) = M}$
  • $\color{olive}{N – M = \varnothing}$
  • $\color{olive}{M\cup \varnothing = M}$

 

  • Se definirmos um Conjunto Universo U, todos os conjuntos que podemos formar com os elementos desse universo, são sub-conjuntos deste. O conjunto complementar de um sub-conjunto A em relação ao Universo, pode ser representado por: $\color{navy}{C(A)}$.
    • $\color{navy}{U = \{ alfabeto\}}$
    • Tomemos como universo o conjunto das letras do alfabeto.
    • Seja um suconjunto desse universo, o conjunto das vogais.
    • $\color{olive}{A = \{a, e, i, o, u\}}$
    • O complementar de $\color{olive}{A}$, nesse caso, em relação ao universo, será o conjunto das consoantes, isto é, o alfabeto, retiradas as vogais.
    • $\color{brown}{C(A) = \{consoantes\}}$
    • Ou então $\color{olive}{U  = \{x \in (Impares) | 0\lt x \lt 50 \}}$
    • Seja $\color{navy}{A  = \{x’ \in (Impares)| 0\lt x’\lt 10\}}$
    • Nesse caso o $\color{olive}{C(A) = \{y \in (Impares) |{10}\lt y \lt{50}\}}$
    • Ou então $\color{olive}{B = \{ x” \in (Impares) |{35}\lt x” \lt {50}\}}$
    • Teremos $\color{olive}{C(B) = \{z \in (Impares) |0\lt z\lt {35}\}} $
  • Mais um exercício para concluir.
    •  Dados os conjuntos: $\color{navy}{A = \{a, b, c, d, e, f, g\}}$,  $\color{navy}{B = \{ b, c, d, f\}}$ e $\color{navy}{C = \{a, e\}}$, efetue as operações a seguir.
    • $\color{olive}{ A – B = \{ …\}}$
    • $\color{olive}{ A-C = \{…\}}$
    • $\color{olive}{ C – A = ?}$
    • $\color{olive}{ C – B = ?}$
    • $\color{olive}{B – C = ?}$
    • $\color{olive}{B – A = ?}$

OBS.: Não esqueça! Em caso de dificuldade, entre em contato por um dos meios abaixo citados. Estou pronto para ajudar.

Revisado e melhorado em 08 de julho de 2016.

Décio Adams

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