Física, Mecânica, Estática – Força resultante de sistemas múltiplos.

Um sistema de forças, com várias forças.

  • Vamos supor uma situação em que três ou mais forças estejam atuando sobre um mesmo corpo. Como iremos determinar a força resultante? Talves a primeira ideia seja, calcular a resultante entre duas delas e assim sucessivamente até chegar à uma única força, capaz de produzir o mesmo efeito do sistema.

Deve ter observado que é bem complexa a determinação da direção da resultante e se seguirmos por esse caminho, seremos obrigados a usar as razões trigonométricas senocosseno de ângulos aproximados, tornando mais difícil o cálculo. Não é impossível seguir esse caminho, mas é, sem dúvida, o mais complexo. Será tanto mais complexo, quanto maior for o número de forças componentes.

Foi para isso que vimos no estudo da adição de vetores a decomposição em componentes ortogonais. Se aplicarmos esse recurso às forças de nosso sistema, conseguiremos reduzir todas elas a um par de forças ortogonais, e então, aplicando o Teorema de Pitágoras teremos a força resultante, bem mais simples que o processo descrito acima.

Vamos ver como fica a questão? Observe a figura abaixo, onde temos um sistema composto de quatro forças concorrentes.

Sistema de forças com múltiplas componentes

Sistema de quatro forças no mesmo plano

  • $\color{navy}{\overline{F_1} = {8\sqrt 2}N } $
  • $\color{navy}{\overline{F_2}  = 6 N}$
  • $\color{navy}{\overline{F_3} = {10\sqrt 3} N}$
  • $\color{navy}{\overline{F_4} = 8 N}$

Vamos armar do diagrama de forças, transportando todas as componentes para a orígem do sistema de eixos $\color{brown}{\widehat{XOY}}$ e decompor as forças oblíquas em suas componentes ortogonais.

Sistema de forças com múltiplas componentes (diagrama de forças)

Diagrama de forças na orígem dos eixos XOY.

As forças $\color{navy}{F_1}$ e $\color{navy}{F_3}$ são oblíquas em relação aos eixos e vamos fazer sua decomposição nas componentes ortogonais

  • $\color{navy}{\vec{F_{1x}},\vec{F_{1y}},\vec{F_{3x}} e \vec{F_{3y}}} $
  • $\color{navy}{\overline{F_{1x}} = \overline{F_1}\cdot {cos 45º} \\ = {8\cdot\sqrt 2}\cdot {\sqrt 2\over2}  = {8\sqrt {2^2}\over 2} \\= {8\cdot 2\over2}  = 8,0 N}$
  • $\color{navy}{\overline{F_{1y}} =\overline{F_{1}}\cdot{sen 45º}  \\= {8,0\cdot\sqrt 2}\cdot {\sqrt 2\over 2} = {8,0\sqrt {2^2}\over 2} \\ = {8,0\cdot 2\over 2} = 8,0 N }$
  • $\color{navy}{\overline{F_{3x}} = \overline{F_{3}}\cdot{cos 30º} \\ = {10\cdot\sqrt 3}\cdot{\sqrt 3\over2} = {10\cdot\sqrt {3^2}\over 2} \\ = {10\cdot 3\over2} = 30\cdot 3 = 15,0 N}$
  • $\color{navy}{\overline{F_{3y}} = \overline{F_{3}}\cdot{sen 30º} \\= {10\cdot 3}\cdot{1\over2}  = {{10\cdot\sqrt 3}\over2} = {5\cdot\sqrt 3} N}$

As forças $\color{navy}{\overline{F_2}}$ e $\color{navy}{\overline{F_4}}$, conincidem com a direção do eixo $\color{navy}{Y}$ e portanto suas componentes na direção $\color{navy}{X}$ são nulas. Resultou agora um sistema com componentes em $\color{navy}{X}$ e componentes em $\color{navy}{Y}$. Podemos então determinar a resultante em cada uma dessas direções, o que nos fornece as componentes ortogonais do sistema.

  • $\color{navy}{\overline{F_{x}} = \overline{F_{1x}} – \overline{F_{3x}} = {8,0 – 15,0} = -7}$
  • $\color{navy}{\overline{F_{x}}  = – 7,0 N }$
  • $\color{navy}{\overline{F_{y}} = {F_{1y}} + {F_{2}} + {F_{3y}} – {F_{4}} \\ = {8,0 + 6,0 + (5\sqrt 3) – 8,0} = {6,0 + 5\cdot{1,73}}= {6,0 + 8,65}}$
  • $\color{navy}{\overline{F_{y}} = 14,65 N }$

O sistema de forças ortogonais terá a seguinte configuração gráfica.

Diagrama ortogonal do sistema

Diagrama ortogonal das forças do sistema.

Força resultante do sistema

Força resultante do sistema, para esquerda e para cima.

Agora aplicamos o Teorema de Pitágoras na determinação do módulo da força resultante do sistema.

  • $\color{navy}{\overline{F_{R}}^2 = \overline{F_{x}}^2 + \overline{F_{y}}^2 }$
  • $\color{navy}{\overline{F_{R}}^2 = {- 7,0}^2 + {14,65}^2}$
  • $\color{navy}{\overline{F_{R}}^2 = {49,00 + 214,65 } = 263,65}$
  • $\color{navy}{\overline{F_{R}} = \sqrt{263,65} = 16,24 N }$

Vamos determinar a direção da resultante.

  • $\color{navy}{tg\beta ={\overline{F_{y}}\over\overline{F_{x}}}  = {{14,65}\over {-7,0}} = -2,093 }$

Então: $\color{navy}{\beta = arc tg (-2,093)}$

A força resultante tem a direção tal que sua tangente é igual a -2,093, no segundo quadrante, percorrendo o plano cartesiano no sentido anti-horário.

Fica evidente que o número de forças componentes não importa, pois sempre irá resultar um conjunto de forças ortogonais, do qual será obtido um sistema de duas forças ortogonais. Aí reside a grande simplificação desse método de resolução de sistemas com mais de duas forças no plano. 

Para treinar um pouco, deixo alguns exemplos.

Exercício numero um.

Exercício numero um.

Exercício número dois

Exercício número dois

Exercício número três

Exercício número três

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