Matemática – Álgebra, multiplicação de polinômios (continuação)

Multiplicando polinômios

No post anterior, vimos como se multiplica um termo algébrico por outro e também um termo por um polinômio. E se tivermos que multiplicar um polinômio por outro, como fica a questão? Seja por exemplo:

$${(mx^2 + my)}\cdot{(2x + 3xy – 5y)}$$

Vamos multiplicar alternadamente o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, até terminar. O resultado será uma expressão com vários termos, entre os quais é possível haver termos semelhantes. Bastará fazer a redução e teremos o resultado procurado. Façamos em partes.

$${mx^2}\cdot{2x + 3xy – 5y}$$ $${(mx^2)}{2x} + {(mx^2)}{3xy} +{(mx^2)}{(-5y)}$$ $${2\cdot m\cdot {x^2}\cdot x} + {3\cdot m\cdot{x^2}\cdot{(xy)}} +{(-5)\cdot m\cdot  {x^2}\cdot y}$$ $${2mx^3 + 3m{x^3}y – 5mx^2y}$$

$${my}\cdot {2x} +{my}\cdot{3xy} + {my}\cdot{(-5y)}$$ $${2mxy + 3mxy^2 – 5my^2}$$

Escrevendo as duas partes juntas, verificaremos que não há termos semelhantes e assim ficaremos com uma expressão de seis termos no final.

$${2mx^3 + 3m{x^3}y – 5m{x^2}y + 2mxy + 3mxy^2 – 5my^2}$$

Vamos a outro exemplo: $${( 3x^2 + 2x)}\cdot{(2x^3 + x^2)}$$

Na multiplicação do primeiro termo pelo segundo polinômio resulta:

$${(3x^2)}\cdot{2x^3 +x^2}$$ $${(3x^2)}{(2x^3)} + {(3x^2)}{(x^2)}$$ $${6{x^{(2 + 3)}} + 3{x^{(2+2)}}}$$ $${6x^5 + 3x^4}$$

A segunda parte fica: $${(2x)}\cdot{(2x^3 +x^2)}$$ $${(2x)\cdot {2x^3} + (2x)\cdot{x^2}} $$ $${ 4{x^{(1+3)}} + 2{x^{(1+2)}}}$$ $${4x^4 + 2x^3}$$

Reunindo as duas partes teremos: $${6x^5 + 3x^4 +4x^4 + 2x^3}$$

Temos dois termos semelhantes: $${6x^5 +{(3x^4 + 4x^4)} + 2x^3}$$  $$ {6x^5 + 7x^4 + 2x^3}$$

Podemos, para facilitar, fazer as multiplicações na mesma sequência, sem separar, subentendendo alguns passos, depois de dominarmos o processo. Ou seja, podemos fazer as multiplicações mentalmente e escrever apenas os resultados, de modo a diminuir o espaço ocupado no papel. Mas isso deve ser feito, depois de termos perfeito domínio de cada passo. Não significa que iremos omitir os passos, apenas os fazemos em sequência e depois escrevemos o resultado. Isso acontece na medida em que adquirimos desenvoltura com as diferentes operações.

Hora de exercitar.

  1. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos a seguir.

$${({7\over 5}{bx})}{({5\over 3}{cx^2})}$$ $${(2ay)}{(5ay)}$$ $${(6 pr)}{({2\over3}{qr})}$$ $${(3 i)}{(5ij)}$$ $${(4mn)}{(3n^3)}$$ $${(a{x^2}y)}{(bx{y^3})}$$

2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.

a) $${{(3ab)}\cdot {(2a + 3b – 5c)}}$$

b) $${(mx^2)}\cdot {(mx + n{x^2}y + mxy)}$$

c) $${(5 {u^2}v)}{(2uv + 4u – 5v + {{u^2}v^3})}$$

d) $${({2\over 3}{axy^3})}{(6xy – 3ay^2 + 9a{x^2}y)}$$

3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.

a)$${( a + ab)}{(abx + x)} $$

b)$${(pm – {p^2}n)}{(m^2 – pm^2 – pn)}$$

c)$${(2x – 3 y)}{(5 + 2xy – 4 x^2 + 3xy^3)}$$

d) $${(3u + 5v)}{(6u^2 – 2 v + 7uv)}$$

Curitiba, 31/março/2016

Décio Adams

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