Matemática – Álgebra – Equações.

O que são equações?

Talvez você saiba o que é equalizar o som produzido por um aparelho. Na verdade você ajusta os níveis de saída dos diferentes sons agudos, médios e graves para que eles sejam produzidos de modo equilibrado e constante.

A palavra equação tem origem semelhante. Tem a ver com igualdade. Mas igualdade de que?

É comum encontrarmos problemas, envolvendo números ou quantidades que podem ser transformados em uma expressão algébrica e esta contem entre duas de suas partes, um sinal de igualdade. Esta expressão algébrica, que traduz um problema prático, contendo um sinal de (=)igual, recebe o nome de equação. 

Vamos ver um exemplo desse negócio. Bem simples para começar.

” Um balde cheio de água tem ao todo 12,0 kg. Se a massa do balde é de 1, 0 kg, qual é a massa da água?

Estamos diante de uma pergunta a ser respondida. Qual é a massa da água? Este é nosso valor desconhecido, ao qual costumamos chamar de “incógnita”Também usamos para representar essa incógnita, conforme falado no estudo da álgebra, uma das últimas letras do alfabeto. Pode ser qualquer uma delas, mas o mais comum é usar x. Se a massa total do balde cheio de água é 12,0 kg e o material do balde tem massa de 1,0 kg, podemos dizer que: $$ \begin{align} {x + 1} = {12}\end{align}$$No momento o mais importante nem é saber qual é de fato a massa do balde, mas sim o procedimento que iremos adotar, para obter a resposta em situações mais complexas. Se a massa do balde é 1,0 kg, fácil saberemos que dentro dele há 11,0 kg de água. E como encontramos essa resposta pelo raciocínio lógico?

Acho que podemos lembrar uma coisa estudada lá nas expressões aritméticas e, se bem me lembro, falei que isso seria importante no futuro. Pois esse futuro chegou. E o que foi que estudamos lá?

Seja a  soma, como por exemplo $$\begin{align}{5 + 2} = {7}\end{align}$$

Temos uma igualdade, apenas não há nela letras. Mas é uma igualdade. Vamos somar ou subtrair o mesmo valor dos dois lados do sinal de igual, como + 3  e -2

$$\begin{align} {5 + 2 + 3} = {7 + 3}\end{align}$$  $$\begin{align} {10} = {10}\end{align} $$

Continuamos a ter uma igualdade. O mesmo com a subtração.

$$\begin{align}{5 + 2 – 2} ={7 – 2} \end {align} $$ $$\begin{align}{4} = {5} \end{align}$$

Também permanece a existência da igualdade. Os valores mudaram, mas a igualdade não deixou de existir. É exatamente isso que nós vamos usar. Note que na equação que tempor $$\begin{align}{x +1} = {7}\end{align} $$ O que nos interessa é saber o valor x. Basta dar um jeito naquele número 1 que está junto com o x. Para isso basta que a gente some (-1) de cada lado da equação, isto é, no primeiro e no segundo membro. Assim iremos ter:

$$\begin{align}{x + 1 – 1} = {12 – 1}\end{align}$$ Efetuando as operações ou seja reduzindo os termos semelhantes, teremos: $$\begin{align}{x} = {11}\end{align}$$ Logo o valor de x é 11,0. Resolvemos nossa primeira equação. Simples é claro, mas é assim que a gente começa. Sempre no final, chegamos a uma situação semelhante.

Vamos ver um exemplo diferente agora. Maria foi ao mercado com uma nota de R$ 100,00, para comprar algumas coisas.  Comprou um pacote de arroz por R$ 11,50, 2 pacotes de café por R$ 8,25 cada, cinco caixinhas de leite UHT por R$ 2,20 cada uma. Feita a soma ela recebeu e conferiu o troco, constatando que estava correto. Pergunto: Qual foi o valor que Maria trouxe de volta do mercado, admitindo que ela é muito conscienciosa e não comprou nenhuma guloseima para ela.

Estamos novamente diante de uma pergunta: Qual foi o valor do troco? Novamente, o troco será representado pela letra x, pois é uma incógnita, ou valor desconhecido. Vejamos o que ela gastou:  1pacote de arroz R$ 11,50

               2 pacotes de café R$ 8,25 ==> 2 x 8,25 = 16,50

               5 caixinhas de leite R$ 2,20 cada ==> 5 x 2,20 = 11,00

Temos agora os dados para escrever nossa equação:$$ \begin{align}{x +11,50 + 16,50 + 11,00} = {100,00} \end{align}$$ O troco recebido, somado com as compras feitas, deve ser igual ao total de dinheiro que ela levou ao mercado.

$$\begin{align}{x + 39,00} = {100,00}\end{align} $$

E chegamos novamente ao ponto em que precisamos deixar o  sozinho, pois é seu valor que nos interessa. Quem está somando com x? É o 39,00. Pois então vamos subtrair 39,00 dos dois lados, ou somar (-39,00 o que dá no mesmo). Assim fica: $$\begin{align}{x + 39,00 – 39,00 }={100,00 – 39,00}\end{align} $$ $$ \begin{align}{x} = {61,00}\end{align} $$

A mãe de Teresa, dona Margarida, costura camisas sob encomenda e depois de voltar da escola no período da manhã, Teresa tem a seu encargo pregar os botões das camisas, do jeito que dona Margarida gosta. Serviço bem feito. Certo dia ela tinha um trabalho escolar atrasado e ela não pode terminar de pregar os botões das camisas que estavam prontas. Se cada camisa leva ao todo 7(sete) botões e havia 4 camisas prontas. Margarida costurou 5(cinco) no período da tarde. Quando interrompeu o serviço para fazer o trabalho ela havia pregado 20 botões. Neste caso, ficaram quantos botões daquele dia para serem pregados no dia seguinte, para poder fazer a entrega da encomenda?

Note que temos vários fatores a considerar. Primeiro foi dito que em cada camisa são usados sete botões. Havia quatro camisas prontas e mais cinco foram terminadas durante a tarde: $$ \begin{align}{(5+ 4)}\cdot 7 = 63 \end {align}$$ Ao todo havia 63 botões a serem pregados nas nove camisas costuradas naquele dia. Teresa havia pregado apenas 20. Podemos escrever substituindo os botões que faltam ser pregados por x.

$$\begin{align}{x + 20} = {63} \end{align}$$ Somando (-20) aos dois lados da igualdade, teremos.

$$\begin{align}{x + 20 – 20 } = {63 – 20} \end{align}$$ $$ \begin{align}{x } = {43}\end{align}$$

Pedro foi a uma loja de brinquedos com seu pai, que lhe permitiu escolher três brinquedos, sendo que um deles seria comprado em triplicata, para presentear dois rimos muito estimados pelo seu pai. Ele escolheu uma bola de basquete que custou R$ 120,00, um uniforme de basquete completo por R$ 450,00 e um carrinho que seria dado aos primos também. Se o total gasto pelo pai de Pedro na compra dos brinquedos foi de R$ 1020,00, qual foi o preço de cada carrinho, que tiveram  o mesmo preço.

O preço de cada carrinho é a nossa incógnita e portanto será nossa letra x, A soma de tudo são os R$ 1020,00. Isso nos dá: $$\begin{align}{3x + 450,00 + 120,00} = {1020,00}\end{align}$$ Efetuando as somas, fica: $$\begin{align}{3x + 570,00 } = {1020,00}\end{align}$$ Vamos somar (-570,00) aos dois membros da equação: $$\begin{align}{3x + 570,00 – 570,00 } ={ 1020,00 – 570,00} \end{align}$$ \begin{align} {3x } ={450,00}\en\{align}$$ Bem chegamos a uma igualdade, mas ainda não temos o valor de cada carrinho. Agora vamos recorrer ao artifício de dividir ambos os membros pelo mesmo número. Não por um número qualquer, mas por um que torne o coeficiente de x igual a 1. Esse numero é o 3.

$$\begin{align}{3x\over 3} = {450,00\over 3} \end{align}$$ $$ \begin{align}x = 150,00\end{align}$$

Cada carrinho custou R$ 150,00 (cento e cinquenta reais).

Veja a equação: $$ 2 x + 5 = 3X – 2 $$

Temos a variável x nos dois membros da equação e queremos o seu valor isolado. Como proceder?

Da mesma forma que somamos ou subtraímos um número aos dois membros da equação, podemos também somar ou subtrair um termo algébrico, sem que deixe de existir uma igualdade. Assim:

$$ {2 x + 5  – 3x} = {3x – 2 – 3x} $$ $$ – x + 5 = – 2 $$ Para deixar o x sozinho, vamos adicionar (-5) aos dois membros agora. $$ – x + 5 – 5 = – 2 – 5 $$ $$ – x = – 7 $$ Para não ficarmos com a resposta negativa para o (-x), vamos dividir ambos os membros por (-1).  $${-x\over {-1}} = {-7\over {-1}} $$ $$ x = 7$$

Temos que o valor de  que torna a expressão uma igualdade, é o número 7.

Equação do primeiro grau.

Observando os exemplos acima, notamos que as variáveis não tem expoentes diferentes de (1). A todas as equações que apresentam a variável com expoente unitário, são denominadas de equações do primeiro grau. Quando aparecer o expoente dois, a conversa vai mudar.

O número que encontramos ao final da resolução, transforma a sentença matemática em uma sentença verdadeira e por essa razão, o número é denominado Conjunto Verdade da equação. Dessa forma, podemos dizer que o conjunto verdade de uma equação do primeiro grau, é um conjunto unitário, pois possui apenas um elemento.

Vamos a alguns exercícios.

Determine o conjunto verdade das equações do primeiro grau que seguem.

$$ 7 y – 2 = 26 $$ $$ 25 – 3x = 17 – 7 $$ $$ 4x + 12 – x = 25 – 7 $$ $$ 6x – 9 = x + 26 $$ $$ {2\over 3}x + 5 = {44\over 4} $$

Curitiba, 02 de maio de 2016

Décio Adams

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