Matemática, Equações do segundo grau (Exercícios resolvidos)

Hora de exercitar.

Nosso cérebro, com todas as suas funções, pode ser comparado a um atleta. Quanto mais ele for bem tratado, alimentado, mas não submetido à exercícios, não será campeão de coisa nenhuma. Portanto vamos buscar os exercícios passados no post onde mostramos a fórmula de Bhaskara e resolvê-los juntos. Vale dizer que essa fórmula e tudo que diz respeito às equações do segundo grau, é de constante aplicação na continuação dos estudos de matemática, física e outras disciplinas. Qualquer caminho que você resolva seguir em seus estudos, haverá um momento ou mesmo muitos em que irá aplicar esse assunto.

Vamos aos exercícios portanto.

a. $${x^2 -4x + 3 = 0}$$ Vamos começar por identificar os coeficientes dessa equação. Isso sempre começa pela comparação com a forma geral da equação: $$ ax² + bx + c = 0 $$

$$ a = 1 $$ $$ b = -4 $$ $$ c = +3 $$ Feito isso podemos começar por substituir esses coeficientes na fórmula $$ x = {{-b \pm\sqrt{b² – 4ac}}\over 2a} $$ $$ x = {{ -(-4)\pm\sqrt{(-4)² – 4\cdot 1\cdot (+3)}}\over 2\cdot 1}$$ $$ x = {{+4 \pm\sqrt{16 – 12}}\over 2} $$ $$ x = {{ 4 \pm\sqrt{4}}\over 2}$$ $$ x = {{ 4 \pm 2}\over 2 } $$ Hora de determinar as duas raízes diferentes, que caracterízam as equações do segundo grau.  $$ x’ =  {{ 4 + 2}\over 2} = {6\over 2} = +3 $$

 $$ x” = {{ 4 – 2}\over 2} = {2\over 2} = + 1 $$

$$ V = \{ +1, +3\} $$

b. $$ {x^2 -2x – 15 = 0} $$ $$ a = 1 $$ $$ b = -2 $$ $$c = -15 $$

Substituindo $$ x = {{-(-2)\pm\sqrt{(-2)² -4\cdot a\cdot (-15)}}\over {2\cdot 1}} $$ $$ x = {{ +2 \pm\sqrt{+4 + 60}}\over 2} $$ $$  x = {{ 2 \pm\sqrt{64}}\over 2} $$ $$ x = {{2\pm 8}\over 2} $$  $$x’ = {{ 2 + 8}\over 2} $$ $$ x= {10\over 2} = 5 $$ $$ x” = {{2 – 8}\over 2} = {-6\over 2} = -3 $$

$$ V = {\{ -3, +5 \}} $$

c. $$ {x^2 + 2x -35 = 0}$$ $$ a = 1 $$ $$ b = 2 $$ $$ c = -35 $$

Substituindo: $$ x = {{ -2 \pm\sqrt{(+2)^- 4\cdot 1\cdot (-35)}}\over {2\cdot 1}} $$ $$ x = {{ -2 \pm\sqrt{4 + 140}}\over 2} $$ $$ x = {{ – 2\pm\sqrt{144}}\over 2} $$ $$ x = {{-2 \pm 12}\over 2} $$ $$ x’ = {{-2 + 12}\over 2} = {10\over 2} = 5 $$ $$ x”= {{-2 – 12}\over 2} = {-14\over 2} = -7 $$

$$V ={\{ -7 , +5\} } $$

d. $$ {4x^2 -8x + 3 = 0}$$ Identificando os coeficientes: $$ a = 4 $$ $$b = -8 $$ $$ c = 3 $$ Substituindo na fórmula: $$ x = {{-(-8) \pm\sqrt{(-8)² – 4\cdot 4\cdot 3}}\over{2\cdot 4}} $$ $$ x= {{ 8\pm\sqrt{64 – 48}}\over 8}$$ $$ x = {{8 \pm\sqrt{16}}\over 8}$$ $$ x = {{ 8 \pm 4}\over 8} $$ As raízes serão: $$ x’ = {{8 + 4}\over 8} = {12\over 8} = {3\over 2} $$ $$ x” = {{8 – 4}\over 8} = {4\over 8} = {1\over 2} $$ $$ V = {\{{{1\over 2}, {3\over 2}}\}} $$

e. $${3x^+ 5x – 2 = 0} $$ Os coeficientes são: $$a = 3 $$ $$b = 5 $$ $$c = -2 $$ Substituindo na fórmula teremos: $$ x = {{-(-5)\pm\sqrt{(-5)² – 4\cdot 3\cdot (-2)}}\over {2\cdot 3}} $$ $$x = {{ 5 \pm\sqrt{25 + 24}}\over 6}$$ $$x = {{5\pm\sqrt{49}}\over 6} $$ $${{ 5 \pm 7}\over 6} $$ As raízes serão: $$ x’ = {{5 + 7}\over 6} = {12\over 6} = 2 $$ $$ x” = {{5 -7}\over 6} = {- 2\over 6} = {-{1\over 3}} $$

$$ V = {\{-{1\over3}, 2\}} $$

 f. $$ {4x^2 + 4x – 15 = 0}$$ Os coeficientes numéricos são: $$ a=4 $$ $$b = 4 $$ $$c=-15 $$ Substituindo na fórmula fica: $$ x= {{- 4 \pm\sqrt{4² – 4\cdot 4\cdot(-15)}}\over {2\cdot  4}} $$ $$ x = {{-4\pm\sqrt{16 +240}}\over 8} $$ $$ x= {{-4 \pm\sqrt{256}}\over 8}$$ $$ x = {{-4 \pm {16}}\over 8} $$ As raízes são pois: $$x’ = {{-4+16}\over 8} = {{12}\over 8} = {{3}\over 2} $$ $$ x” = {{-4 – 16}\over 8} = {{-20}\over 8} = {{-5}\over 2} $$

 $$ V = {\{-{{5}\over2}, {{3}\over 2}\}} $$

g. $${x^2 + 3x – 40 = 0}$$ Os coeficientes são: $$a = 1$$ $$b = 3 $$ $$ c = -40$$ Vamos substituir na fórmula: $$x={{- 3\pm\sqrt{3² – 4\cdot 1\cdot (-40)}}\over{2\cdot 1}}$$ $$ x = {{-3\pm\sqrt{9 + 160}}\over 2} $$ $$x={{-3\pm\sqrt{169}}\over 2} $$ $$ x= {{- 3\pm 13}\over 2} $$ As raízes serão: $$ x’ ={{-3 + 13}\over 2} = {{10}\over 2} = 5$$ $$x”= {{-3 – 13}\over 2} = {{-16}\over 2} = -8 $$

$$ V = {\{ {- 8}, 5\} } $$

Curitiba, 11 de maio de 2016

Décio Adams

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3 ideias sobre “Matemática, Equações do segundo grau (Exercícios resolvidos)

    1. decioadams Autor do post

      A equação é realmente uma equação do segundo grau, porém, suas soluções não são números reais. Resulta, na aplicação da fórmula de Baskhara, uma raiz de índice par (2), de um número negativo. Se os seus estudos já alcançaram a fase dos números complexos (a + bi), poderá resolver, caso contrário a resposta será que o conjunto solução não está contido no conjunto dos números reais.

      Deve verificar se não há alguma coisa errada, algum algarismo ou termo algébrico faltando ou mesmo um sinal podem fazer a diferença.

      Décio Adams

      Responder

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