Matemática – Equações incompletas do segundo grau (Exercícios resolvidos)

Resolvendo exercícios

Determine o conjunto verdade das equações incompletas do segundo grau que seguem.

a. $$ 6x² = 0 $$ Um produto é nulo se um dos fatores é nulo. No caso, temos dois fatores onde um é igual a seis (6) e o outro $$ x^2$$. O único fator que pode ser nulo é o segundo e portanto: $$x^2 = 0 $$ $$ x = 0 $$  $$ V = \{0\} $$

b. $$ x² – 16 = 0 $$ Podemos aplicar o método abreviado ou reduzido na resolução dessa equação. Assim: $$ x^2 – 16 = 0 $$ $$ x^2 = 16 $$ $$\sqrt {x^2} = \sqrt{16} $$ $$ x = \pm {4 } $$ $$ V = \{ – 4, + 4\} $$

c. $$ 5x² – 125 = 0 $$ O mesmo caso do exercício anterior. $$ 5x^2 – 125 = 0 $$ $$ 5x^2 – 125 + 125 = 0 + 125 $$ $$ 5x^2 = 125 $$ $$ {{5x^2}\over 5} = {125\over {5}} $$ $$ x^2 = 25 $$ $$\sqrt{x^2} = \sqrt{25} $$ $$x = \pm 5 $$ $$ V = \{ -5, + 5\} $$

 

d. $$ 2x² + 10x = 0$$ Esta é uma equação incompleta do tipo em que o termo independente c é nulo. O procedimento agora é diferente, como vimos na parte explicativa.  $$ 2x^2 + 10x = 0 $$ Entre os dois termos da equação existe um fator comum $$ 2x $$ Vamos colocar em evidência esse fator comum, dividindo os dois membros por esse mesmo fator. $$ {2x} [{{2x^2 + 10x)}\over 2x}] = 0 $$ $$ 2x{(x + 5)} = 0 $$ Para concluir, vamos igualar os dois fatores a zero e obter as duas raízes correspondentes. $$ 2x = 0 $$ $$ x = 0$$ $$ x + 5 = 0 $$ $$ x + 5 – 5 = 0 – 5 $$ $$ x = -5 $$  $$ V = \{-5, 0\} $$

e. $$ 7x² – 49x = 0$$ O mesmo caso anterior. O fator comum entre os dois termos da equação é $$ 7x $$ Colocando em evidência: $${7x}[{{7x^2 – 49x}\over 7x}] = 0$$ $$ 7x[ x – 7] = 0 $$ Igualando os dois fatores a zero temos: $$ 7x = 0 $$ $$ x = 0$$ $$ x – 7 = 0 $$ $$ x – 7 + 7 = 0 + 7 $$ $$ x = 7 $$ $$ V = \{0, 7\} $$

f. $$ x² + 4x = 0 $$ Fator comum entre os dois termos $$ x $$. Colocando em evidência: $$ x\cdot[{{x^2 + 4x}\over x}] = 0 $$ $$ x\cdot [x + 4] = 0 $$ Igualando os fatores à zero, teremos: $$ x = 0$$ $$ x + 4 = 0 $$ $$ x + 4 – 4 = 0 – 4$$ $$ x = -4$$ $$V = \{-4, 0\} $$

g. $$ 3x² + 18x = 0$$ Mais um do mesmo tipo. Fator comum é $$ 3x $$ Colocamos em evidência: $${3x}\cdot({{3x^2 + 18x}\over {3x}}) = 0 $$ $$ 3x\cdot({x + 6}) = 0 $$ $$ 3x = 0 $$ $$ x = 0 $$ $$ x + 6 = 0 $$ $$ x + 6 – 6 = 0 – 6$$ $$ x = -6 $$ $$V = \{-6, 0\} $$

h. $$ 2x² + 12 = 0$$ Voltamos ao exemplo visto primeiro. Vamos resolver. $$2x^2 + 12 – 12 = 0 -12 $$ $$2x^2 = -12 $$ $${{2x^2}\over 2} = {-12\over 2} $$ $$ x^2 = -6 $$  $${ \sqrt{x^2}} = {\sqrt{-6}} $$ $$ {V = \emptyset} $$

i. $$ 10 x² – 90 = 0 $$ Vamos resolver. $$ 10 x^2 – 90 + 90 = 0 + 90 $$ $$ 10x^2 = 90 $$ $$ {{10x^2}\over 10} = {{90}\over 10} $$$$ x^2 = 9 $$ $$\sqrt{x^2} = \sqrt {9} $$ $$ x = \pm 3 $$ $$ V = \{-3, +3\} $$

Curitiba, 13 de maio de 2016

Décio Adams

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