Matemática – Conjuntos numéricos (Revisão). Atualizado em 08/07/2016

Conjuntos de números.

  • A necessidade de contar ou quantificar as coisas, como número de animais caçados, composição do rebanho com o surgimento da pequária, volume de cereais e outros produtos colhidos e até o número de soldados de um exército, levou o homem, há muito tempo, a criar números e símbolos para representá-los. Existiu, ao longo da história, uma imensa variedade de sistemas de numeração. Muitos deles associados a alguma coisa ou até a uma parte do próprio corpo. Assim, os indígenas que habitavam a América, utilizavam um sistema de numeração de base 5(cinco), que é o número de dedos de uma mão. Os povos fenícios da antiguidade, usaram e espalharam por todos os lugares onde comerciavam, seu sistema de numeração  sexagesimal ,  isto é, de base 60. É deles que vem a divisão de uma hora em 60 minutos, e um minuto em 60 segundos. Uma circunferência é dividira em 360º, cada grau dividido em 60′ e cada minuto em 60″. Os sistemas de informática, são baseados na numeração de base 2 (dois) ou numeração binária. Associada, inicialmente à uma lâmpada apagada, representando o número 0(zero) e uma lâmpada acesa representando o número 1(hum)

Depois de muito tempo, surgiu o sistema de numeração, mundialmente utilizado nos dias atuais, que tem por base 10 (dez), também chamado decimal. Os símbolos usados são chamados de algarismos hindu arábicosSurgiram, em sua forma primitiva, na Ìndia. Foram adaptados para a forma mais moderna pelos árabes. No começo as necessidades do homem eram poucas na questão matemática. Assim, associava um número a grupos de coisas, objetos ou animais e é esse conjunto de números que hoje denominamos Números Naturais. O primeiro deles é o 0 e prossegue até o infinito representado pelo símbolo $\color{blue}{\infty}$.

Esses números podem ser associados aos pontos de uma semi-reta, estabelecendo-se uma relação bi-unívoca entre os pontos e os números. A esta semi-reta podemos denominar de Semi-reta Natural. Vejamos como fica.

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Entre um número e o seguinte, é possível inserir infinitos pontos, que corresponderão aos conjuntos numéricos que surgirão com a ampliação do universo numérico. Na notação de conjuntos, o conjunto dos Números Naturais, fica assim representado:

  • $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\mathbf{\color{navy}{ N} = \color{olive}{\{0; 1; 2; 3; 4; 5; …\infty\}}}}$

O fato de o conjunto dos números naturais não fozar da propriedade do fechamento para subtração, isto é, apresentar limitação para realização da operação de subtração de um número maior de outro menor, resultou na ampliação do universo numérico, para um conjunto maior. Foi criado o conjunto dos Números Inteiros Relativos. Para cada número natural, passou a existir o seu relativo com sinal (-) e na Reta numérica, ocupam posições situadas à distâncias iguais em relação ao ponto associado ao zero. O positivo fica à direita e o negativo à esquerda desse ponto tomado como rerferência. Este novo conjunto numérico é representado geralmente pela letra maiúscula Z. Na forma da notação utilizada, teremos:

  • $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\mathbf{\color{navy}{Z = \{-\infty;_{…}; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3;_{…}; \infty\}}}}$

Representando numa reta, teremos:

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O desenvolvimento de outras operações, apresentou novas dificuldades. A operação de divisão passou a não ter solução no universo desse conjunto e foi necessária nova ampliação. Agora o conjunto dos números passou a conter, além dos inteiros, os números fracionários, representados na forma de divisão indicada como $\color{navy}{\left(\frac{5}{7}\right)}$,  $\color{navy}{\left(\frac{3}{5}\right)}$ ou números contendo a parte não inteira representada por algarismos à direita de uma vírgula como $\color{navy}{ 3,7} $ ou $\color{navy}{ 1,33…}$. Nestes dois exemplos vemos que há casos em que o número decimal é exato e outros em que existe uma continuidade. A divisão não tem resultado exato. Sempre sobra um resto e os algarismos se repetem, formando o que chamamos de dízima periódica. Assim, surgiu o conjunto dos Números Racionais. A letra símbolo para esse conjunto é $\color{navy}{Q}$ e compreende todos os números imagináveis desde $\color{navy}{-\infty}$ até $\color{navy}{+\infty}$. Dessa forma, a cada um dos infinitos pontos de uma reta, corresponde um número desse conjunto.

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  • $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\mathbf{\color{navy}{Q = \left\{-\infty;_{…};-2;_{…};-\frac{3}{2};_{…};-1;_{…};-\frac{1}{3},_{…};0;_{…};\frac{2}{5};_{…};1;_{…};\frac{6}{4};_{…};2;_{…};\infty\right\}}}}$

Talvez você esteja ansioso por perguntar: “Mas os números inteiros como 3, 5, -4, também são parte do conjunto dos Racionais?

Responderei a essa sua pergunta com um sonoro “sim”. Por que? É que cada número, mesmo inteiro, pode ser representado em forma de uma divisão de outros dois números. Vejamos:

  • $ 5 = \left(\frac{20}{4}\right)$
  • $\left(\frac{12}{4}\right) = 3$
  • $ – 2 = \left(\frac{6}{-3}\right)=\left(-\frac{6}{3}\right)$

Os números decimais, tanto os exatos como dízimas periódicas, tem sua forma de divisão indicada.

  • $1,25 =\left(\frac{125}{100}\right) =\left( \frac{5}{4}\right) $
  • $2,33… = 2 +\left(\frac{3}{9}\right) = \left(\frac{2}{1}\right) +\left(\frac{1}{3}\right) =\left(\frac{6 + 1}{3}\right) = \left(\frac{7}{3}\right)$
  • $3,454545… = 3 +\left(\frac{45}{99}\right) = 3 + \left(\frac{15}{33}\right) = 3 +\left(\frac{5}{11}\right) = \left(\frac{33 + 5}{11}\right) = \left(\frac{38}{11}\right)$

Dessa forma, o conjunto dos números racionais engloba todos os números conhecidos até esse ponto. Será que há mais ampliação desse universo?

Vejamos por exemplo o número $\color{navy}{\sqrt{43} \simeq \pm6,55743…}$

Com exceção dos números que correspondem ao quadrado, cubo, ou à potência igual ao índice da raiz, os demais resultam em um número não exato e também não é dízima periódica. Os melhores computadores, conseguem aproximar esse cálculo, até milhares de casas decimais, sem jamais chegarem à raiz exata. Por esta razão, não podemos representar tais números na forma de divisão indicada e, por conseguinte, eles não são racionais. São irracionais. Temos novamente motivo para ampliar o conjunto numérico, dessa vez em um que inclua os números irracionais. A este novo conjunto chamaremos Números Reais e o representaremos pela letra maiúscula $\color{navy}{R}$.

  • $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\mathbf{\color{navy}{R= \{-\infty;_{…};-\sqrt{5};_{…};-1;_{…};-\frac{3}{4};_{…}; 0;_{…};\frac{2}{7};_{…}; 1;_{…};\sqrt[3]{6};_{…}\infty\}}}}$

Mas existe uma outra questão a levar em conta, com relação aos números colocados no interior de um sinal de raiz. Observemos os exemplos:

  • ${+3}^2 = {(+3)}\cdot{(+3)} = + 9$
  • ${(-3)}^2 = {(-3)}\cdot{(-3)} = +9 $
  • ${(-2)}^4 = {(-2)}\cdot{(-2)}\cdot{(-2)}\cdot{(-2)} = + 16$
  • ${(-3)}^3 = {(-3)}\cdot{(-3)}\cdot{(-3)} = -27 $
  • ${(-4)}^3 ={(-4)}\cdot{(-4)}\cdot{(-4)} = -64$

Você pode experimentar à vontade. Qualquer número, seja ele positivo ou negativo, ao ser elevado a uma potência de expoente par resulta em um número positivo. Já os números negativos, elevados à potência de expoente ímpar, resultam em um número negativo.

A radiciação é a operação inversa da potenciação. Mas, em vista do que lembrei acima, nem todos os números racionais, têm raízes racionais. Vejamos os seguintes exemplos.

  • $\sqrt[2]{25} = \pm 5$
  • $\sqrt[3]{27} = 3$
  • $\sqrt[3]{-27} = -3 $
  • $\sqrt[2]{-9} \not= \pm 3$

Se a raiz de índice par, de um número negativo, não é nem positiva, nem negativa, significa que tal número não existe no conjunto dos números que até aqui vimos. Surge o conjunto dos Números imaginários e a união dele com os Números Reais forma o chamado conjunto dos Números Complexos.

Para entender o que são números imaginários, ou melhor, como iremos trabalhar com eles, vamos partir de um conceito denominado unidade imaginária, representada pela letra “i”. Ela equivale a raiz quadrada de -1. Ou seja:

  • $\color{navy}{\sqrt{-1} = i}$. Dessa forma, passamos a transformar os números negativos encontrados sob um radical de índce par, geralmente 2, em uma multiplicação por -1. Assim tornaremos possível efetuar a raiz quadrada de um número negativo. Veja por exemplo:
  • $\sqrt{-4} = \sqrt{4\cdot{(-1)}} =\sqrt{4}\cdot\sqrt{-1} =  \pm2\cdot i$

Sabemos do estudo das operações com potências de mesma base, que qualquer número, elevado ao expoente 0 (zero) é igual a 1. Assim:

  • ${i}^0 = 1$
  • ${i}^1 = \sqrt{-1} = i$
  • ${i}^2 = (\sqrt{-1})^2 = -1$
  • ${i}^3 = {i}\cdot{i}^2 = {i}\cdot{(-1)}= -i$
  • ${i}^4 = {i}^2\cdot{i}^2 = {(-1)}\cdot{(-1)} = 1$
  • ${i}^5 = {i}\cdot{i}^4 = {i}\cdot{1} = i$
  • ${i}^6={i}^2\cdot{i}^2\cdot{i}^2 = (-1)\cdot(-1)\cdot(-1) = (-1)^3 = -1$
  • ${i}^7 = {i}^6\cdot{i} = (-1)\cdot{i} = -i$
  • ${i}^8 = {i}^4\cdot{i}^4 = (+1)\cdot(+1) = 1$

Ao observar a sequência das potências, notamos que os resultados se repetem a cada quatro expoentes.

  • Para os expoentes $\color{navy}{0; 4; 8; …}$, o valor da potência é igual a $\color{navy}{+1}$.
  • Para expoentes como $\color{navy}{1; 5; 9;…}$ o valor é $\color{navy}{\sqrt{-1}}$.
  • Para os expoentes $\color{navy}{2; 6; 10;…}$ a potência tem valor $\color{navy}{{-1}}$.
  • Para expoentes $\color{navy}{3; 7; 11;…}$ o valor da potência é igual a $\color{navy}{-{i} = -\sqrt{-1}}$.

Vou deixar para outro momento o estudo dos números complexos, onde o conhecimento sobre os imaginários é particularmente importante. Quem tiver intenção de ingressar em algum curso de eletrônica, precisará desse assunto como uma das ferramentas básicas no desenvolvimento do curso. Vamos dedicar vários posts a esse estudo, para ficar bem esclarecido.3

Obs.: Revisado e atualizado em 08 de julho de 2016.

Curitiba, 15 de junho de 2016

Décio Adams

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