Matemátia – Álgebra – Divisão de polinômios.

Polinômios com uma variável

  • Seja por exemplo dividir os polinômios
  • $\color{navy}{(x^3 + 5x^2 + x – 10)}: {(x + 2)}$
  • Vamos recorrer a colocação dos polinômios na “chave” como fazemos na divisão de números com vários algarismos. Assim:
    Divisão de polinômios 1.1

    Divisão de polinômios 1.1

    Começamos com os polinômios colocados em ordem decrescente dos expoentes da variável. Dividimos o termo de maior grau do dividendo, pelo termo de maior grau do divisor. Multiplicamos o divisor pelo quociente $x^2$. O resultado devemos subtrair dos termos de mesmo grau do dividendo. Que resulta em $3x^2$.

  • Para continuar baixamos
    Divisão de polinômios 1.2

    Divisão de polinômios 1.

    o termo de maior grau seguinte. Ficamos com $3x^2 + x$. Dividimos o termo de maior grau por $x$ e multiplicamos pelo divisor, para depois subtrair do dividendo. O resto é $-5x$.

  • Divisão de polinômios 1.3

    Divisão de polinômios 1.3

    Baixamos o último termo $-10$, formando a expressão $-5x – 10$. Dividimos o termo de maior grau $-5x$ por $x$. Multiplicamos pelo divisor e subtraimos do dividendo. Os dois termos ficaram simétricos e o resto é zero.

  • Podemos então escrever a igualdade que segue.
    Divisão de polinômios 1.4

    Divisão de polinômios 1.

     

     

 

 

 

 

  • $\color{brown}{(x^2 + x – 5)\cdot (x + 2) = x^3 + 5x^2 + x -10}$
  • $\color{navy}{(x^5 -3x^3 + 3x^2 +2x -3)\div(x^2 – 1)}$. Antes de colocar os polinômios na chave, precisamos verificar se estão completos, isto é, apresentam todos os coeficientes da variável. Se faltar algum termo, é preciso completar, usando o coeficiente $0$. Assim teremos: $\color{navy}{{(x^5 + 0x^4 + -3x^3 +  3x^2 + 2x -3)}\div{(x^2 + 0x -1)}}$.
Divisão de polinômios 2.1

Divisão de polinômios 2.1

O termo de maior grau do dividendo, pelo de maior grau do divisor nos dá $x^3$. O produto pelo divisor resulta em $x^5 + 0x^4 -x^3$. Subtraindo do dividendo, temos o resto $-2x^3$.

  • Baixamos o próximo termo $3x^2$ e constatamos que temos somente um binômio. Para dividir, temos que baixar outro termo $2x$, formando um trinômio $-2x^3 +3x^2 + 2x$.
  • Divisão de polinômios 2.2

    Divisão de polinômios 2.2

    Vamos dividir $-2x^3$ por $x^2$ e resulta $-x$. Multiplicando e subtraindo do dividendo temos o resto $3x^2 + x$.

  • Vamos continuar, colocando à direita do binômio o último termo do polinômio $-3$. Formamos o trinômio $3x^2 + x -3$.
  • Vamos seguir dividindo.
  • Divisão de polinômios 2.3

    Divisão de polinômios 2.3

    Para concluir dividimos o termo $3x^2$ por $x^2$. Multiplicamos o divisor pelo resultado e subtraimos do dividendo, onde irá sobrar resto 0 (zero).

 

 

 

 

  • $\color{brown}{(x^3 – 2x + 3)\cdot(x^2 -1) = (x^5 -3x^3 + 3x^2 +2x -3)}$
  • Vamos exercitar

  • Efetuar as divisões de polinômios abaixo relacionadas.
    • $\color{maroon}{(5x^5 – 2x^4 -5x^3 +11x^2 + 5x -10)\div (x^3 – 3x^2 + 5) = ?}$
    • $\color{maroon}{(x^3 – 3x^2 + 9x – 7)\div (x – 1) = ?}$
    • $\color{maroon}{(3x^4 + 7x^3 + 4x^2 +9x – 5)\div (x^2 + 2x – 1) = ?}$
    • $\color{maroon}{(2x^6 – 9x^4 + 10x^2 – 3)\div (x^2 – 3) = ?}$
    • $\color{maroon}{(5x^3 +23x^2 – 5x + 25)\div (x +5) = ?}$
    • $\color{maroon}{(x^3 – 2x^2 -13x -10)\div (x^2 + 3x + 2) = ?}$
    • $\color{maroon}{(x^5 + x^4 + 2x^3 + 4x^2 + x -1)\div (x^2 + 2x + 1) = ?}$

Obs.: Em caso de dúvida, faça contato comigo por meio de um dos canais fornecidos abaixo. Dúvidas sobre assuntos ainda não abordados, também podem ser esclarecidos. 

Curitiba, 16 de julho de 2016.

Décio Adams

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