Matemática – Função do primeiro grau, Função afim (continuação).

Vamos dar mais um passo?

Na última vez que falamos desse assunto, vimos duas funções do tipo denominado função afim e deixamos alguns exercícios. Mas o assunto não ficou esgotado. Há mais coisas a saber sobre isso. Do mesmo modo que as funções lineares, também essas podem ter coeficiente angular negativo, isto é, apresentar-se na forma gráfica, inclinadas ao contrário dos dois exemplos vistos. Vejamos o primeiro.

Determinaremos alguns pares ordenados e representaremos graficamente a seguinte função $\color{navy}{y = f(x)}$ $\Rightarrow$ $\color{blue}{y = -2x + 2}$

  • para $x = -4$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{(-4)} +2 = 10$, par $\color{navy}{(-4,10)}$
  • para $x = -2$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{(-2)} +2 = 6$, par $\color{navy}{(-2,6)}$
  • para $x = 0$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{0} +2 = 2$, par $\color{maroon}{(0,2)}$
  • para $x = 2$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{2} +2 = -2$, par $\color{navy}{(2,-2)}$
  • para $x = 4$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{4} +2 = -6$, par $\color{navy}{(4,-6)}$
  • para $x = 6$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{6} +2 = -10$, par $\color{navy}{(6,-10)}$

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Note que o valor de y, correspondente a  x = 0, é 2. Ou seja, o coeficiente linear da função é

\[\color{navy}{b = 2}\]

Escolhendo dois pares ordenados para determinar o coeficiente angular, por exemplo $\color{navy}{(-4, 10) (4,-6)}$, que são os vértices dos ângulos agudos do triângulo retângulo formado abaixo do gráfico. . Determinaremos os intervalos dos dois pontos em cada eixo, ou seja os catetos do triângulo. Sempre percorremos os eixos da esquerda para direita e a diferença entre as coordenadas de dois pontos, é igual ao valor do ponto situado a esquerda subtraído do valor correspondente ao ponto situado à direita.

\[\Delta x = {4 -(- 4) } = 4 + 4 = 8 \] \[\Delta y = -6 – 10= -16\]

\[\color{navy}{a = \frac{\Delta y}{\Delta x}}\] \[ a = \frac{-16}{8} = -2\]

 Observamos que o coeficiente angular, continua sendo igual ao coeficiente do termo que contém a variável x e que corresponde à tangente do ângulo entre sentido positivo do eixo X e a reta gráfica. .

Variando o coeficiente linear, pela simples troca de seu sinal a função fica $\color{navy}{y = -2x – 2}$. Determinaremos os pares ordenados e representaremos no plano cartesiano.

  • para $x = -6$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{(-6)}-2 = 10$, par $\color{navy}{(-6,10)}$
  • para $x = -4$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{(-4)}-2 = 6$, par $\color{navy}{(-4,6)}$
  • para $x = -2$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{(-2)}-2 = 2$, par $\color{navy}{(-2,2)}$
  • para $x = 0$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{0}-2 = -2 $, par $\color{maroon}{(0,-2)}$
  • para $x = 2$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{2}-2 = -6$, par $\color{navy}{(2,-6)}$
  • para $x = 4$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{4}-2 = -10$, par $\color{navy}{(4,-10)}$.

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O coeficiente linear é: \[\color{navy}{b = -2}\].

O coeficiente angular, também deverá dar igual ao outro caso. Vejamos dois pontos $\color{blue}{\{(-4,6)(2,-6)\}}$, que são os vértices dos ângulos agudos do triângulo retângulo determinado sob o gráfico. O que distingue as retas entre si são seus coeficientes lineares. O coeficiente angular é determinado novamente pela divisão dos catetos do triângulo formado abaixo da reta gráfica.

\[\Delta y = -6 -(+6) = -6 -6 = -12\]
\[\Delta{x} = 2 – (-4) = 2 + 4 = 6\]

\[a = \frac{-12}{6} = -2 \]

Vejamos como ficam os gráficos de duas funções que tenham coeficientes angulares simétricos e coeficientes lineares iguais. Podemos usar a mesma equação inicial e trocar o sinal do coeficiente angular.

$\color{navy}{y = f(x)}$ $\Rightarrow$ $\color{blue}{y = -2x + 2}$

  • para $x = -4$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{(-4)} +2 = 10$, par $\color{navy}{(-4,10)}$
  • para $x = -2$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{(-2)} +2 = 6$, par $\color{navy}{(-2,6)}$
  • para $x = 0$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{0} +2 = 2$, par $\color{maroon}{(0,2)}$
  • para $x = 2$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{2} +2 = -2$, par $\color{navy}{(2,-2)}$
  • para $x = 4$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{4} +2 = -6$, par $\color{navy}{(4,-6)}$
  • para $x = 6$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{6} +2 = -10$, par $\color{navy}{(6,-10)}$

Trocando o sinal do coeficiente angular

$\color{navy}{y = f(x)}$ $\Rightarrow$ $\color{blue}{y = 2x + 2}$

  • para $x = -6$ $\Leftrightarrow$ $y=2\cdot{(-6)} +2 = -10$, par $\color{navy}{(-6,-10)}$
  • para $x = -4$ $\Leftrightarrow$ $y= 2\cdot{(-4)} +2 = -6$, par $\color{navy}{(-4,-6)}$
  • para $x = -2$ $\Leftrightarrow$ $y= 2\cdot{(-2)} +2 = -2$, par $\color{navy}{(-2,-2)}$
  • para $x = 0$ $\Leftrightarrow$ $y= 2\cdot{0} +2 = 2$, par $\color{maroon}{(0,2)}$
  • para $x = 2$ $\Leftrightarrow$ $y= 2\cdot{2} +2 = 6$, par $\color{navy}{(2,6)}$
  • para $x = 4$ $\Leftrightarrow$ $y= 2\cdot{4} +2 = 10$, par $\color{navy}{(4,10)}$

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São duas retas, onde o coeficiente linear é o mesmo e os coeficientes angulares são simétricos. A reta na cor oliva é dita uma reta descendente. Ela vai do segundo para o quarto quadrante e o coeficiente angular é negativo. A outra, na cor laranja, é uma reta ascendente, pois vai do terceiro para o primeiro quadrante e o coeficiente angular é positivo.

Na reta ascendente temos \[a = \frac{10 – 2}{4 – 0} = \frac{8}{4} = 2\]

Na reta descendente temos \[a = \frac{2 – 10}{0-(-4)} =\frac{-8}{4} = -2\]

Os coeficientes angulares são simétricos $-2 $ e $+2$.

Vamos exercitar, enquanto eu preparo o próximo passo, desse mesmo assunto. Ainda há vários detalhes e pormenores sobre o funções do primeiro grau.

Determine alguns pares ordenados que satisfazem as funções a seguir e represente-as num plano cartesiano. Em papel milimetrado, se possível, mas não dispondo desse material, use uma outra folha de papel e uma régua. O mais importante é compreender a forma de fazer isso, a precisão náo é táo importante.

a)$\color{olive}{y = 4x -1}$                                       b)$\color{olive}{y = -3x – 2}$

c)$\color{olive}{y = \frac{2x}{3} + 3}$                     d)$\color{olive}{y = -x + 4}$

e)$\color{olive}{y= \frac{x}{3} – 5}$                         f)$\color{olive}{y = 3x – 1}$

Curitiba, 29 de junho de 2016

 

Décio Adams

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