Matemática – Função do primeiro grau – Função afim.

Função afim!

Achou engraçado?

Mas é esse mesmo o nome que damos a uma função do primeiro grau, cuja representação gráfica cartesiana, não passa pela origem do sistema de eixos cartesianos. Sua forma geral é do tipo \[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{ y = a\cdot x + b }}\]

Coeficiente angular

O coeficiente do termo $\color{navy}{ax}$ é também nesse caso o coeficiente angular, indicando a inclinação da reta gráfica, em relação ao eixo das abcissas.

Coeficiente linear

Vejamos o que acontece se substituirmos a variável $\color{navy}{x}$ pelo valor 0(zero).

$ y = a\cdot 0 + b $ $\Leftrightarrow$ $ y = 0 + b = b $ $\Leftrightarrow$ $ y = b $

Isto significa que o ponto correspondente no plano cartesiano, corresponde ao valor do termo independente $\color{navy}{b}$. Neste ponto ocorre a intersecção do gráfico, com o eixo das ordenadas.

Nada melhor do que verificar como é que isso fica na prática. Seja a função $\color{navy}{y =f(x)}$, definida por $\color{navy}{y= x + 3}$.

  • Para $x=-10$ $\Leftrightarrow$ $y=-10 + 3=-7$, formando o par $\color{blue}{(-10,-7)}$.
  • Para $x= -7$ $\Leftrightarrow$ $y =-7 + 3 =-4$, formando o par $\color{blue}{(-7,-4)}$.
  • Para $x= -5$ $\Leftrightarrow$ $y=-5 + 3 =-1$, formando o par $\color{blue}{(-5,-2)}$.
  • Para $x=-3 $ $\Leftrightarrow$ $y=-3 +3 = 0$, formando o par $\color{maroon}{(-3,0)}$.
  • Para $x= 0$ $\Leftrightarrow$ $y =0 + 3 = 3$, formando o par $\color{maroon}{(0,3)}$.
  • Para $x= 3$ $\Leftrightarrow$ $y = 3 + 3= 6$, formando o par $\color{blue}{(3,6)}$.
  • Para $x=5$ $\Leftrightarrow$ $y = 5+ 3 =8$, formando o par $\color{blue}{(5,8)}$.
  • Para $x=7$ $\Leftrightarrow$ $y= 7 + 3 =10$, formando o par $\color{blue}{(7,10)}$.

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Podemos observar que o ponto em que o gráfico intercepta o eixo $\color{blue}{x}$, é o ponto indicado pelo número $\color{blue}{3}$, ou seja o coeficiente linear $\color{olive}{b = 3}$.

O coeficiente angular pode ser determinado pelos valores das coordenadas de dois pontos. Podemos usar pontos de nossa livre escolha, como por exemplo $\color{blue}{(7,10) (3,6)}$, vértices dos ângulos agudos do triângulo destacado no gráfico.

\[\Delta y = 10 – 6 = 4\]

\[\Delta x = 7 – 3 = 4\]

\[ a =\frac{\Delta y}{\Delta x}\]

\[a = \frac{4}{4} = 1\]

\[ a = 1\]

Só para ver, vamos usar a mesma função, trocando o sinal do coeficiente linear. Teremos então: $\color{navy}{y = f(x)}$ , definida por $\color{navy}{y = x – 3}$

Vamos apenas determinar os pontos para a traçar a reta.

  • para $x =-7$ $\Leftrightarrow$ $y=-7 – 3 = -10$, formando o par $\color{navy}{(-7,-10)}$.
  • para $x= -4$ $\Leftrightarrow$ $y=-4 – 3 =-7 $, formando o par $\color{navy}{(-4,-7)}$.
  • para $ x= o$ $\Leftrightarrow$ $y= 0 – 3 = -3$, formando o par $\color{navy}{(0,-3)}$.
  • para $x = 3$ $\Leftrightarrow$ $y = 3 – 3= 0$, formando o par $\color{navy}{(3,0)}$.
  • para $x= 7$ $\Leftrightarrow$ $y = 7 – 3 = 4$, formando o par $\color{navy}{(7,4)}$.
  • para $x= 10$ $\Leftrightarrow$ $y=10 -3= 7$,formando o par $\color{navy}{(10,7)}$.

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A nova função, tem o mesmo coeficiente angular $\color{blue}{a = 1}$. Os vértices dos ângulos agudos destacados no gráfico, permitem determinar o valor do coeficiente angular.

\[a = \frac{4 – 0}{7-3} =\frac{4}{4} = 1\]

O coeficiente linear $\color{blue}{b= -3}$. Se as retas tem a mesma inclinação em relação aos eixos cartesianos, e estão separadas de uma distância constante, elas são retas paralelas. Assim como elas poderíamos traçar uma infinidade de outras, paralelas a elas e deslocadas para cima ou para baixo no plano cartesiano.

Vamos tentar fazer representar no mesmo plano cartesiano as funções afim a seguir.

a)$y = 2x – 1$

b)$y = 2x +1$

c)$y = 2x + 2$

d)$y = 2x -2$

Curitiba, 29 de junho de 2016

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