Arquivo mensais:junho 2016

Fantástico mundo novo – Volume III – Reinício em Oriente, Cap. VII-Aceleração geral.

  1. Aceleração geral.

 

O rápido progresso científico proporcionado pela verdadeira “queima” de etapas, quando os registros da antiga civilização foram decifrados e seus significados compreendidos, chegou a causar uma perturbação ameaçadora no equilíbrio de todo planeta Orient. No entanto, a chegada do Melquisedeque, em uma outorga extraordinária, teve o poder de restabelecer o equilíbrio. Os pequenos grupos remanescentes das antigas dissidências religiosas, aos poucos foram perdendo força e significado, levando à gradual redução de seu número de adeptos. Muitos deram liberdade aos filhos para seguir o caminho de sua própria escolha e eles optaram por seguir o que lhes pareceu mais condizente. Aderiram ao culto da Trindade do Paraiso. Outros, mesmo já adultos de certa idade, decidiram mudar de opção, aprendendo a doutrina da religião da revelação. Desse modo alcançou-se um estado de quase uniformidade religiosa, embora existissem pequenas diferenças de uma região para outra, mas a crença básica era idêntica.

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Matemática – Inequações do segundo grau (Exercícios resolvidos e propostos)

Hora de treinar a cuca!

Vamos determinar o conjunto verdade de algumas inequações do segundo grau, fazendo o estudo de sua variação de sinais em relação às raízes.

a)  $\color{blue}{ -5x^2 + 25x + 70 \lt 0 }$

Vamos começar por identificar os coeficientes numéricos, comparando com a forma geral. Temos que $ a = -5 $, $ b = 25 $ e $ c =  70 $.

Para facilitar os cálculos, iremos dividir todos os termos por $-5$, simplificando e teremos \[\frac{-5x^2}{-5} + \frac{25x}{-5} + \frac{70}{-5} \lt 0\] \[x – 5x – 14 \lt 0\]  Agora os coeficientes passam a ser $ a = 1$, $b = -5$ e $c = -14$. É o momento de  determinar o discriminante \[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta =  b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta = {(-5)^2 – 4\cdot 1\cdot (-14)}\] \[\Delta = 25 + 56 \] \[\Delta = 81\] O discriminante é positivo e portanto teremos duas raízes reais e diferentes que tornarão a expressão igual a zero. Calculando as raízes \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[ x = {{-(-5)\pm\sqrt{81}}\over {2\cdot 1}} \] \[x= {{5\pm 9}\over 2}\] \[x’ = {{5 + 9}\over 2} = {14\over 2} = 7\] \[ x” = {{5 – 9}\over 2} = {-4\over 2} = -2\] Temos pois para valores que anulam a expressão em $x$ os números $-2 $ e $7$. Vejamos como fica o comportamento na Reta Real.

\[\underbrace{\color{lime}{-\infty\leftarrow =========}}{-2}\circ\underbrace{————-}{7}\circ\underbrace{\color{lime}{============\rightarrow\infty}}\]

Vimos que para valores externos das raízes, isto é, nesse caso para $x \lt -2$ ou $x \gt 7$ a expressão terá o mesmo sinal do coeficiente $a$ na inequação na forma original, sem simplificação. Vimos acima que $a = -5$ ou seja $ a \lt 0$, o que nos leva à conclusão de que o sinal  será negativo para esses valores. Já para os valores compreendidos entre $ -2 $ e $7$, a expressão terá o sinal contrário de $a$, portanto positivo. Assim deduzimos que o conjunto verdade dessa inequação é dado por: \[\bbox[silver, 5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = \{ x \in R | x \lt -2 \vee x \gt 7\}}} \]

b)$\color{blue}{ 3x^2 + 15x -72 \ge 0}$

Identificamos os coeficientes $ a = 3$, $b = 15$ e $c = -72$.  Observando esses valores, percebemos que é possível simplificar a expressão, dividindo todos os termos por $3$, o que nos dá \[\frac{3x^2}{3} +\frac{15x}{3} – \frac{-72}{3} \] \[ x^2 + 5x – 24 \ge 0\] Temos agora os novos coeficientes $ a= 1$, $b = 5 $ e $c = -24$. Vamos determinar o discriminante. \[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta =  b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = 5^2 – 4\cdot 1\cdot {-24} \] \[\Delta = 25 + 96 \] \[\Delta = 121\] Temos novamente $\Delta \gt 0$ e em consequência duas raízes reais e diferentes.

\[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x = {{- 5\pm\sqrt{121}}\over{2\cdot 1}}\] \[x= {{-5\pm{11}}\over 2}\] \[x’ = {{-5 + 11}\over 2} = {6\over 2} = 3 \] \[x” = {{-5 – 11}\over 2} ={-16\over 2} = -8\] Lançando esses valores na Reta Real, fica:

\[\underbrace{\color{lime}{-\infty\leftarrow ============(-8)\bullet}}\underbrace{———-}\underbrace{\color{lime}{3\bullet============\rightarrow\infty}}\]

As raízes $-8$ e $ 3$ anulam a expressão, enquanto os valores externos tornam a expressão positiva, por ter no mesmo sinal de $a$. Os valores internos tornarão a expressão negativa, que é o sinal contrário de $a$. Como a inequação é $\ge 0$, o conjunto verdade será também dado por:

\[\bbox[silver,5px,border: 2px solid blue]{\color{green}{V=\{ x \in R| x\le -8 \vee x \ge 3\}}} \]

c)$\color{blue} {x^2 -13x + 42 \le 0}$

Os coeficientes numéricos são $a=1$, $b= -13$ e $c = 42$. Notamos que agora não há simplificação a ser feita, pois o coeficiente $a =1$ e a expressão está na sua forma mais simples. Vejamos o discriminante:\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta =  b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta=(-13)^2 – 4\cdot 1\cdot 42 = 169 – 168 = 1\] Temos então que $\Delta \gt 0$ e novamente as raízes são reais e diferentes. \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x={{-(-13\pm\sqrt{1}}\over{2\cdot 1}}\] \[x = {{13\pm 1}\over 2}\] \[x’= {{13 + 1}\over2} = {14\over 2} = 7\] \[x”={{13 – 1}\over 2} = {12\over 2} = 6 \] Lançando os valores $6$ e $7$ na Reta Real, teremos:

\[\underbrace{-\infty\leftarrow —————-}\underbrace{\color{lime}{6\bullet========7\bullet}}\underbrace{———————-\rightarrow\infty}\]

Para valores de $x$ a esquerda de $6$ ou a direita de $7$, a expressão será positiva, isto é, o mesmo sinal de $a$, que é positivo. Para valores internos do intervalo $6$ e $7$, a expressão será negativa, o sinal contrário de $a$. Assim sendo, a desigualdade da inequação é $\le$, o conjunto verdade será formado pelos números entre $6$ e $7$, inclusive.

\[\bbox[silver, 5px, border:2px solid blue]{\color{green}{V = \{x \in R| 6 \le x \le 7\}}}\]

 d)$\color{blue}{ 3x^2 – 18x + 72 \gt 0} $

Notamos que é possível simplificar a expressão, pois todos os coeficientes são múltiplos de $3$. Então \[\frac{3x^2}{3} – \frac{18x}{3} + \frac{72}{3} \] \[ x^2 – 6x + 24 \gt 0\]

Agora os nossos coeficientes são $a = 1$, $b = -6$ e $c = 24$. Vamos ao discriminante.

\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta =  b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = {(-6)^2}\cdot 1\cdot {24} = 36 – 96 = -60\] Consequentemente constatamos que $\Delta \lt 0$, o que nos leva a conclusão de que nenhum número real tornará a expressão igual a zero. Como fica a inequação? Não temos ponto de referência para dizer que a expressão será positiva ou negativa para esse ou aquele valor. Vamos escolher três valores, sendo um negativo, o próprio zero e um positivo, substituindo e verificando o resultado. Sejam esses números $-3$, $0$ e $5$.

Para $x = -3$, teremos \[3x^2 -18x + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot (-3)^2 – 18\cdot{(-3)} + 72 \gt 0\] \[{3\cdot 9} + 54 + 72 \gt 0 \] \[ 27 + 54 + 72 \gt 0\] \[ 153 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.

Para $x = 0$, teremos \[3\cdot 0 – 18\cdot 0 + 72 \gt 0\] \[ 0 + 0 + 72 \gt 0\] \[ 72 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.

Para $x = 5$, teremos \[3\cdot 5^2 – 18\cdot 5 + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot 25 – 90 + 72 \gt 0\] \[75 – 90 + 72 \gt 0\] \[147 – 90 \gt 0\] \[ 57 \gt 0\] Sentença verdadeira. 

Vamos escolher mais um número negativo e dois positivos, para sanar qualquer dúvida. $-5$, $2$ e $7$.

Para $x=-5$, teremos \[3\cdot (-5)^2 – 18\cdot(- 5) + 72 \gt 0\] \[3\cdot 25 + 90 + 72 \gt 0\] \[75 +90 + 72 \gt 0\] \[ 237 \gt 0\] Sentença verdadeira. 

Para $x = 2$, teremos \[3\cdot 2^2 – 18\cdot 2 + 72 \gt 0 \] \[3\cdot 4 – 54 + 72 \gt 0\] \[ 12 – 54 + 72 \gt 0\] \[30 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Para $x = 7$, teremos \[3\cdot 7^2 – 18\cdot 7 + 72 \gt 0\] \[3\cdot 49 – 126 + 72 \gt 0\] \[147 – 126 + 72 \gt 0 \] \[93 \gt 0\] Sentença verdadeira.  

Fica evidenciado que para qualquer número real colocado no lugar de $x$ nessa inequação, o resultado é uma sentença  verdadeira. Podemos concluir que o conjunto verdade é então o próprio conjunto dos números reais.

\[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = R}}\]

Se a mesma inequação tivesse o sinal de desigualdade $\lt $ no lugar de $\gt$, essas sentenças todas seriam falsas e portanto o conjunto verdade da inequação seria um conjunto vazio. Assim

\[3x^2 – 18x + 72 \lt 0\] \[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = \emptyset}}\] O mesmo aconteceria se tivéssemos os sinais de desigualdade $\ge$ ou $\le$, uma vez que teríamos a conjunção alternativa $\vee$, que tornaria as sentenças igualmente verdadeiras. É interessante notar que nestes casos o sinal da expressão é sempre igual ao sinal de $a$. Se $a\lt 0$, a expressão será sempre negativa, para qualquer número $x \in R$. Se $a \gt 0$, a expressão será positiva para qualquer valor de $x \in R$.

Agora é a sua vez de praticar. Analise os sinais das inequações e determine o conjunto verdade em cada caso.

a) $\color{green}{x^2 – 17x + 70 \le 0}$

b) $\color{green}{2x^2 + 4x – 48 \ge 0}$

c) $\color{green}{ x^2 – 5x – 36 \gt 0} $

d)$\color{green}{ 3x^2 – 108 \lt 0}$

e) $\color{green}{5x^2 – 35x \lt 0}$

f)$\color{green}{ 4x^2 – 12x + 44 \gt 0}$

g) $\color{green}{5x^2 + 110 \ge 3x^2 + 14x} $

 h)$\color{green}{ 6x^2 + 54 \le 0} $

i) $\color{green}{4x -9 \gt x^2 }$

 j) $\color{green}{x^2 – 19x + 88 \lt 0}$

l) $\color{green}{ 7x^2 + 28x \gt 0}$

m) $\color{green}{{\frac{2}{3}}x^2 -\frac{3}{5} \le 0} $

Obs.: Se tiver dúvida sobre a resolução de algum desses exercícios, faça contato comigo. Estes eu não vou resolver logo em seguida. Legal? Procure se virar nos trinta, meu!

Curitiba, 10 de junho de 2016

Décio Adams

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Fantástico Mundo Novo – Volume III – Capítulo VI – Vinte anos mais tarde.

  1. Vinte anos depois.

 

Os novos moradores de Orient, prosseguiram em sua faina de ocupar o território, desenvolver atividades agrícolas e industriais, num ritmo acelerado. Pareciam ter pressa em progredir. Por toda parte se viam sorrisos, gente cantando e se cumprimentando alegremente. As colônias, em questão de poucos anos, dobraram a população. Famílias numerosas, com oito a dez filhos em média, havendo até algumas com maior número de membros, especialmente aquelas compostas de homens com duas esposas. Os jovens casavam-se ao atingir a idade adulta. Os rapazes com 18 anos e as moças com 15, formando suas famílias. Os primeiros anos transcorreram com a produção, destinada principalmente à alimentação das pessoas e animais. Quando completaram vinte anos de vida no planeta, já existia uma geração inteira de nativos Orientianos. Os novos casamentos ocorriam entre homens e mulheres, mal saídos da puberdade, mas já nascidos em Orient. Alguns dos mais idosos haviam encerrado sua jornada na carne, sendo os primeiros ocupantes de pequenos cemitérios. Os mortos por doenças e acidentes ainda eram em pequeno número.

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O que significa Elite?

Qual é o significado da palavra ELITE?

Diante de alguns questionamentos, decidi dirimir as dúvidas, se é que existiam e agora vou compartilhar o que apurei. Desde a época em que fiz o antigo curso Ginasial, sabia que esta palavra tem um significado ideal, ou seja, que o define enquanto vocábulo de nossa língua e que é usado, com pequenas variações de escrita e pronúncia em um bom número de línguas estrangeiras. Sua origem remonta ao tempo dos filósofos gregos, principalmente Sócrates, e significa:

“Elite é o que existe de melhor em uma sociedade ou grupo social”. Tem como sinônimos e significados semelhantes: escol, fina flor, nata, extrato superior.” Em francês “le Crème de la Crème”.

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