Matemática – Teoria dos conjuntos – Operações com conjuntos.

Operações com conjuntos.

 

  • União ou reunião de conjuntos.

Seja

  • $\color{navy}{A = \{a,e,i,o,u\}}$ $\rightarrow$ conjunto das vogais.
  • $\color{navy}{B = \{a,b,c,d,e,…,x,y,z\}}$

união ou reunião desses dois conjuntos, formará o conjunto das letras do alfabeto. Simbólicamente representamos isso da seguinte maneira:

  • $\color{navy}{A \cup B = \{a,b,c,d,e,f,g,…,x,y,z\}}$

Num Diagrama de Venn:

Rendered by QuickLaTeX.com

Vejamos outros exemplos:

  • $\color{maroon}{ M = \{0,1,2,3\}}$
  • $\color{maroon}{N = \{3,4,5,6\}}$
  • $\color{navy}{M\cup N = \{0,1,2,3,4,5,6,\}}$

Num Diagrama de Venn

Rendered by QuickLaTeX.com

Notamos que o elemento comum aos dois conjuntos, na reunião aparece somente uma vez. No primeiro exemplo, os elementos do conjunto são todos também elementos do conjunto e portanto o número de elementos do conjunto união é igual ao número de elementos do conjunto B. No segundo exemplo, temos um elemento comum e assim o conjunto união tem um elemento a menos do que a soma do número de elementos dos conjuntos  M e N.

Se os conjuntos a serem unidos, não contiverem elementos comuns, bastará reunir todos os elementos em um único e teremos o conjunto união ou reunião. Vejamos os conjuntos:

  • $\color{navy}{A=\{-4,-2,0,2,4\}}$
  • $\color{navy}{B=\{-3,-1,1,3\}}$
    • $\color{maroon}{A\cup B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}}$

Notamos que o número de elementos $\color{blue}{n(A\cup B) = n(A) + n(B) = 4 + 5 = 9}$

Num Diagrama de Venn, teremos:

Rendered by QuickLaTeX.com

 

  • Intersecção de conjuntos.

Como vimos nos exemplos anteriores, os conjuntos podem ter elementos comuns entre si. A este conjunto de elementos, que pertencem tanto a um quanto a outro conjunto, denominamos intersecção. Sejam os conjuntos:

  • $\color{brown}{ P = \{a,b,c,d,e\}}$
  • $\color{brown}{ Q = \{a,e,i,o,u\}}$

Entre os dois conjuntos, temos dois elementos comuns. A intersecção é representada simbolicamente pelo símbolo $\color{navy}{\cap}$. Portanto podemos escrever:

  • $\color{navy}{P\cap Q = \{a,e\}}$

Num Diagrama de Venn

Rendered by QuickLaTeX.com

Ou

  • $\color{brown}{ G = \{1,3,5,7,9\}}$
  • $\color{brown}{ H = \{6,7,8,9,10,11\}}$

A intersecção fica assim:

  • $\color{navy}{G\cap H = \{7,9\}}$

No Diagrama de Venn

Rendered by QuickLaTeX.com

  • Conjuntos disjuntos

O prefixo “dis” indica separação. Desse modo fica fácil compreender que estes conjuntos não tem elementos em comum, isto é, sua intersecção é um conjunto vazio. Podemos retomar o terceiro exemplo da união de conjuntos.

  • $\color{navy}{A = \{-3,-1,1,3\}}$
  • $\color{navy}{B = \{-4,-2,0,1,2,4\}}$
    • $\color{maroon}{A\cap B = \varnothing =\{\}}$

Rendered by QuickLaTeX.com

  • Intersecção de mais de dois conjuntos. 

  • Podemos ter a intersecção entre vários conjuntos, pois um ou mais elementos podem fazer parte de todos eles. Sejam os conjuntos:
  • $\color{maroon}{A = \{a,b,c,d,e\}}$
  • $\color{maroon}{B = \{b,c,f,g,h,m\}}$
  • $\color{maroon}{C = \{b,e,f,h,l\}}$
  • $\color{navy}{A\cap B = \{b,c\}}$
  • $\color{navy}{B\cap C = \{b,f,h\}}$
  • $\color{navy}{A\cap C = \{b,e\}}$
  • $\color{navy}{A\cap B\cap C = \{b\}}$

Num diagrama de Venn, isso fica assim:

Rendered by QuickLaTeX.com

Exercitanto um pouco.

  • Dados os conjuntos:
    • $\color{navy}{A = \{-10, -5, 0, 5, 10, 15\}}$
    • $\color{navy}{B = \{-2,-1,0,1,2,3\}}$
    • $\color{navy}{C = \{0,2,4,6,8\}}$
    • $\color{navy}{D = \{-1,0,1,3,5,7\}}$
    • $\color{navy}{E = \{2,4,6,8,10,12\}}$
    • $\color{navy}{F = \{1,2,3,4,5\}}$
    • $\color{navy}{G = \{1,5,9,13,17\}}$
  • Efetue as operações com os conjuntos e represente-as em Diagrama de Venn.
    • $\color{brown}{A \cup C =\{…\}}$
    • $\color{brown}{B\cap F = \{…\}}$
    • $\color{brown}{C\cup D\cup F =\{…\}}$
    • $\color{brown}{E\cup A\cup D =\{…\}}$
    • $\color{brown}{(A \cup D)\cap (F\cup E) = \{…\}}$
    • $\color{brown}{(B\cap C)\cup (E\cap F) = \{…\}}$
    • $\color{brown}{A\cap (D\cup F) = \{…\}}$

Curitiba, 07 de julho de 2016

Décio Adams

decioa@gmail.com

adamsdecio@gmail.com

www.facebook.com/livros.decioadams

www.facebook.com/decio.adams

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celulares: (41) 9805-0732

Uma ideia sobre “Matemática – Teoria dos conjuntos – Operações com conjuntos.

Deixe uma resposta

O seu endereço de e-mail não será publicado. Campos obrigatórios são marcados com *