Matemática – Teoria dos conjuntos – Operações com conjuntos.

Operações com conjuntos.

 

  • União ou reunião de conjuntos.

Seja

  • $\color{navy}{A = \{a,e,i,o,u\}}$ $\rightarrow$ conjunto das vogais.
  • $\color{navy}{B = \{a,b,c,d,e,…,x,y,z\}}$

união ou reunião desses dois conjuntos, formará o conjunto das letras do alfabeto. Simbólicamente representamos isso da seguinte maneira:

  • $\color{navy}{A \cup B = U =\{a,b,c,d,e,f,g,…,x,y,z\}}$
  • Vemos que ao unir um conjunto a um de seus sub-conjuntos, o resultado é o próprio conjunto.

Num Diagrama de Venn:

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Vejamos outros exemplos:

  • $\color{maroon}{ M = \{0,1,2,3\}}$
  • $\color{maroon}{N = \{3,4,5,6\}}$
  • $\color{navy}{M\cup N = \{0,1,2,3,4,5,6,\}}$

Num Diagrama de Venn

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Notamos que o elemento comum aos dois conjuntos, na reunião aparece somente uma vez. No primeiro exemplo, os elementos do conjunto são todos também elementos do conjunto e portanto o número de elementos do conjunto união é igual ao número de elementos do conjunto B. No segundo exemplo, temos um elemento comum e assim o conjunto união tem um elemento a menos do que a soma do número de elementos dos conjuntos  M e N.

Se os conjuntos a serem unidos, não contiverem elementos comuns, bastará reunir todos os elementos em um único e teremos o conjunto união ou reunião. Vejamos os conjuntos:

  • $\color{navy}{A=\{-4,-2,0,2,4\}}$
  • $\color{navy}{B=\{-3,-1,1,3\}}$
    • $\color{maroon}{A\cup B=\{-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4\}}$

Notamos que o número de elementos $\color{blue}{n(A\cup B) = n(A) + n(B) = 4 + 5 = 9}$

Num Diagrama de Venn, teremos:

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  • Intersecção de conjuntos.

Como vimos nos exemplos anteriores, os conjuntos podem ter elementos comuns entre si. A este conjunto de elementos, que pertencem tanto a um quanto a outro conjunto, denominamos intersecção. Sejam os conjuntos:

  • $\color{brown}{ P = \{a,b,c,d,e\}}$
  • $\color{brown}{ Q = \{a,e,i,o,u\}}$

Entre os dois conjuntos, temos dois elementos comuns. A intersecção é representada simbolicamente pelo símbolo $\color{navy}{\cap}$. Portanto podemos escrever:

  • $\color{navy}{P\cap Q = \{a,e\}}$

Num Diagrama de Venn

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Ou

  • $\color{brown}{ G = \{1,3,5,7,9\}}$
  • $\color{brown}{ H = \{6,7,8,9,10,11\}}$

A intersecção fica assim:

  • $\color{navy}{G\cap H = \{7,9\}}$

No Diagrama de Venn

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  • Conjuntos disjuntos

O prefixo “dis” indica separação. Desse modo fica fácil compreender que estes conjuntos não tem elementos em comum, isto é, sua intersecção é um conjunto vazio. Podemos retomar o terceiro exemplo da união de conjuntos.

  • $\color{navy}{A = \{-3,-1,1,3\}}$
  • $\color{navy}{B = \{-4,-2, 0, 2,4\}}$
    • $\color{maroon}{A\cap B = \varnothing =\{\}}$

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  • Intersecção de mais de dois conjuntos. 

  • Podemos ter a intersecção entre vários conjuntos, pois um ou mais elementos podem fazer parte de todos eles. Sejam os conjuntos:
  • $\color{maroon}{A = \{a,b,c,d,e\}}$
  • $\color{maroon}{B = \{b,c,f,g,h,m\}}$
  • $\color{maroon}{C = \{b,e,f,h,l\}}$
  • $\color{navy}{A\cap B = \{b,c\}}$
  • $\color{navy}{B\cap C = \{b,f,h\}}$
  • $\color{navy}{A\cap C = \{b,e\}}$
  • $\color{navy}{A\cap B\cap C = \{b\}}$

Num diagrama de Venn, isso fica assim:

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Exercitanto um pouco.

  • Dados os conjuntos:
    • $\color{navy}{A = \{-10, -5, 0, 5, 10, 15\}}$
    • $\color{navy}{B = \{-2,-1,0,1,2,3\}}$
    • $\color{navy}{C = \{0,2,4,6,8\}}$
    • $\color{navy}{D = \{-1,0,1,3,5,7\}}$
    • $\color{navy}{E = \{2,4,6,8,10,12\}}$
    • $\color{navy}{F = \{1,2,3,4,5\}}$
    • $\color{navy}{G = \{1,5,9,13,17\}}$
  • Efetue as operações com os conjuntos e represente-as em Diagrama de Venn.
    • $\color{brown}{A \cup C =\{…\}}$
    • $\color{brown}{B\cap F = \{…\}}$
    • $\color{brown}{C\cup D\cup F =\{…\}}$
    • $\color{brown}{E\cup A\cup D =\{…\}}$
    • $\color{brown}{(A \cup D)\cap (F\cup E) = \{…\}}$
    • $\color{brown}{(B\cap C)\cup (E\cap F) = \{…\}}$
    • $\color{brown}{A\cap (D\cup F) = \{…\}}$

Curitiba, 07 de julho de 2016. Corrigido e atualizado em 04/11/2017 para republicação.

Décio Adams

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9 pensou em “Matemática – Teoria dos conjuntos – Operações com conjuntos.

    1. decioadams Autor do post

      Já efetuei a correção. Havia um algarismo 1, num dos conjuntos que não devia estar ali. Já retirei e agora está correto. Obrigado pela observação.

      Décio Adams

      Responder
    1. decioadams Autor do post

      Você precisa ler com atenção as explicações que há no início do post e entender o significado dos símbolos que indicam as operações. Depois tentar fazer os exercícios. Se não fizer um esforço ninguém será capaz de fazer isso entrar em sua cabeça, como que por milagre.
      Se não conseguir, vamos combinar uma vídeo-chamada e poderei tentar explicar num quadro que tenho aqui. É uma opção que posso oferecer.

      Responder
  1. Neia

    Gostei muito, mas vc, poderia me passar estas respostas do diagrama. Pois estou ensinando minha filha, ela está na 7 serie e até, então ao aprendeu conjunto.
    Obrigada.

    Responder
    1. decioadams Autor do post

      Vocês moram em que cidade? Podemos fazer uma vídeo aula, ou seja um contato por vídeo chamada e podere explicar à sua filha. Simplesmente escrever as respostas, não irá adiantar nada. Ela poderá decorar estas e não saberá porque é assim. Peça para ela ler com atenção as explicações que existem no começo do post, preste atenção aos exemplos e creio que já será uma boa parte do caminho andado. Também pode fazer isso junto com ela, ajudar a interpretar o significado de cada operação.

      Responder
    1. decioadams Autor do post

      1) A união dos conjuntos A e C, é formada por todos os elementos existentes no conjunto A e no C, sem repetir. Basta copiar e conferir.
      2) A intersecção dos conjuntos B e F é o conjunto dos elementos que existem tanto no conjunto B, como no F. Veja se não são os números 1, 2 , 3.
      3) A união dos conjuntos C, D e F, contém todos os elementos desses conjuntos, sem repetir.
      4) Igualmente para a união dos conjuntos E, A e D.
      5) O próximo exercício é mais simples. Basta verificar os elementos que são comuns aos quatro conjuntos A, D, F e E.
      6) Agora basta pegar os elementos comuns aos conjuntos B, C, E e F.
      7) Os elementos do conjunto A, também encontrados nos conjuntos D ou F, formam a próxima resposta.

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