Matemática. Aritmética – Números primos, primos entre si.

  • Números primos

  • Oigalê! Números também tem primos e primas, que nem a gente?

Na verdade é a denominação dada a um grupo de números com uma característica bem definida. Se verificarmos sua família de divisores, veremos que ela tem somente dois elementos. O número 1 (um) e o próprio número. São números que não são divisíveis por outros números, além da unidade e de si próprios. Vejamos.

  • $\color{navy}{ fd(1) = \{1\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(2) = \{1, 2\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(3) = \{1,3\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(4) = \{1,2,4\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(5) = \{1,5\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(6) = \{1,2,3,6\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(7) = \{1,7\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(8) = \{1,2,4,8\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(9) = \{1,3,9\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(10)= \{1,2,5,10\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(11)= \{1,11\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(12)= \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(13)= \{1,13\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • Notamos que aos poucos os números primos vão ficando mais esparsos no meio dos números divisíveis por outros números. Para saber se um número é primo ou não, existem meios de fazer isso. Quando se trata de um número de valor mais elevado, demorarímos algum tempo, tentando escrever todos os seus divisores. E daí entramos com um outro recurso.

  • Critérios de divisibilidade.

  • Há dois modos de descobrir se um número é divisível por mais números ou apenas por si mesmo e por 1 (um).
    • Números pares – todo número par, com exceção do número 2, têm mais de dois divisores. Os números pares são todos múltiplos de  2 (dois) e por isso não são primos. Já dissemos que os números primos não são divisíveis por outros números e por isso também não são múltiplos de outros números. Todos os números que tenham como algarismo das unidades um número como $0,2,4,6,8$ são pares e portanto não são primos. 
    • Números ímpares  os números ímpares podem ser primos, mas não todos. É preciso verificar se não são divisíveis por outros números ímpares. Para isso a gente usa os Critérios de divisibilidade. 
    • Para saber se um número é divisível por 3 (três),  somamos os algarismos do número. Se o resultado for divisível por 3 (três), o número também é. É bem simples.
      • Por exemplo: $\color{navy}{ 12 \Rightarrow 1 + 2 = 3}$, divisível por 3.
      • Outro $\color{navy}{39 \Rightarrow 3 + 9 = 12}$, divisível por 3.
    • Embora o número $4$ não seja primo, também podemos verificar se um número é divisível por $4$. Primeiro verificamos se o algarismo das unidades é par $0, 2, 4, 6, 8$. Depois basta verificar o algarismo das dezenas. Se este for par, o número será divisível por $4$, se terminar por $0$,$4$ ou $8$. Se for ímpar, são divisíveis por $4$ os números cujo algarismo das unidades for $2$ ou $6$
    • Para saber se um número é divisivel por 5, basta observar o último algarismo. Se esse for 5 ou 0 (zero), o número é divisível por 5. Por isso, nenhum número terminado em 0 e 5 é número primo.
    • Para saber se um número é divisível por 7, retiramos o algarismo das unidades e o multiplicamos por 2 (dois). Esse resultado subtraimos do restante do número. Se o número assim obtido for divisível por 7 (sete) o número em estudo também é divisível por 7. Vejamos por exemplo.
      • $\color {navy}{ 378}$. O algarismo das unidades é o número 8. Fazemos $\color{navy}{8\cdot 2 = 16}$. Fazendo $\color{navy}{37 – 16 = 21}$. Sabemos que $\color{navy}{{21\div 7} = 3}$ e portanto 378 é divisível por 7.
      • $\color{navy}{396}$. O algarismo das unidades é 6. Fazemos $\color{navy}{6\cdot 2 = 12}$ e $\color{navy}{ 39 – 12 = 27}$. Fazendo $\color{navy}{{27\div 7} =\varnothing}$. Não é divisível por sete e por isso $\color{navy}{396}$ também não é.
      • $\color{navy}{73542}$. O $\color{navy}{2\cdot 2 = 4}$. Subtraindo do restante do número $\color{navy}{7354 – 4 = 7350}$. É bom repetir o processo. $\color{navy}{0\cdot2 = 0}$ e subtraindo $\color{navy}{735 – 0= 735}$. Dividindo $\color{navy}{735\div 7 = 105}$, mostrando que o número original é também divisível por $7$.
    • Para verificar se um número é divisível por 11, como procedemos? Veja por exemplo o número $\color{navy}{7938}$. Os algarismos de ordem ímpar, contando da direita para esquerda, são $\color{navy}{S_i = 8 + 9 = 17}$ e os algarismos de ordem par na mesma sequência são $\color{navy}{S_p = 3 + 7 = 10}$. A diferença entre estas somas é $\color{navy}{S_i – S_p = 17 – 10 = 7}$, que não é divisível por $\color{navy}{11}$. Logo, $\color{navy}{7938}$ também não é.
      • Um outro exemplo. Seja o número $\color{navy}{4125}$. Os algarismos de ordem ímpar são $\color{navy}{5 +1 = 6}$ e os de ordem par são $\color{navy}{4+2 = 6}$. Logo $\color{navy}{S_i – S_p = 6 -6 = 0}$. O número zero é divisível por qualquer número. Logo $\color{navy}{4125}$ é divisível por $\color{navy}{11}$.
      • Mais um exemplo. $\color{navy}{9746}$ é divisível por $\color{navy}{11}$? Vejamos:$\color{navy}{S_i=6 + 7 = 13}$ e $\color{navy}{S_p = 4 + 9 = 13}$.  Subtraindo $\color{navy}{S_i – S_p = 13 – 13 = 0}$. Logo é divisível por $11$.
      • $\color{navy}{8712}$ é divisível por $11$? $\color{navy}{S_i = 2 + 7 = 9}$ e $\color{navy}{ S_p =1 + 8 = 9}$. A diferença é $\color{navy}{S_i – S_p = 9 – 9 = 0}$ e portanto $\color{navy}{8712}$ é divisível por $\color{navy}{11}$.
      • Há outros critérios de divisibilidade, que iremos ver em uma próxima ocasião. Por hoje bastam esses.
    • É hora de exercitar.

    •  Identificar os números que são primos e os que não são primos na lista a seguir. 

      • $\color{olive}{{27} {\rightarrow }{…}}$
      • $\color{olive}{{57}{\rightarrow}{ …}}$
      • $\color{olive}{{19} {\rightarrow}{…}}$
      • $\color{olive}{{39}{\rightarrow}{ …}}$
      • $\color{olive}{{99}{\rightarrow}{…}}$
      • $\color{olive}{{89}{\rightarrow} {…}}$
      • $\color{olive}{{27}{\rightarrow} {…}}$
      • $\color{olive}{{67}{\rightarrow} {…}}$
      • $\color{olive}{{69}{\rightarrow} {…}}$
      • $\color{olive}{{127}{\rightarrow} {…}}$
      • $\color{olive}{{97}{\rightarrow} {…}}$
      • $\color{olive}{{55}{\rightarrow} {…}}$
      • $\color{olive}{{47}{\rightarrow} {…}}$
      • $\color{olive}{{43}{\rightarrow} {…}}$
      • $\color{olive}{{81}{\rightarrow} {…}}$
      • $\color{olive}{{23}{\rightarrow} {…}}$
    • Verifique se os números a seguir são divisíveis por $3$.
      • $\color{olive}{18, 38, 57, 147, 169}$
    • Verifique se os números a seguir são divisíveis por $5$.
      • $\color{olive}{20, 39, 45, 119, 150, 200, 10000}$
    • Verifique se os números são divisíveis por $7$.
      • $\color{olive}{329, 493, 616, 784, 1057, 1143, 2528}$
    • Verifique se são divisíveis por $11$ os números a seguir.
      • $\color{olive}{5962, 6743, 7205, 8439, 9784}$

Obs.: Havendo dúvidas sobre o conteúdo, ou resolução dos exercícios, faça contato por meio de um dos canais listados abaixo. Não quero deixar dúvidas, nem mesmo quanto a assuntos ainda não abordados aqui. 

Curitiba, 19 de julho de 2016.

Décio Adams

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