Matemática. Aritmética-Numeros primos e divisibilidade.

Divisibilidade.

Recordando os critérios de divisibilidade, vamos resolver alguns exercícios sobre o assunto, antes de continuarmos com os outros casos. 

  • Verifique a divisibilidade dos números a seguir.
    • $\color{navy}{1546}$
    • O último algarismo é par e portanto é divisível por 2 (dois). $\color{navy}{1546\div 2= 773}$
    • A soma dos algarismos $\color{navy}{S=1+5+4+6= 16}$. Esse número não é divisível por $\color{navy}{3}$ e portanto o primitivo também não é.
    • termina em $\color{navy}{6}$ e assim não é divisível por $\color{navy}{5}$.
    • O dobro do último algarismo é $\color{navy}{2\cdot 6 = 12}$. Subtraindo esse valor do número formado pelos algarismos restantes, temos $\color{navy}{154 – 12 = 142}$. O número obtido não é divisível por $\color{navy}{7}$.
    • A soma das ordens pares e ímpares $\color{navy}{S_i = 6 + 5 = 11}$ e $\color{navy}{S_p= 4 + 1 = 5}$. A diferença entre essas somas $\color{navy}{S_i – S_p = 11 – 5 = 6}$. Como resultado não é mútiplo de $\color{navy}{11}$, o número também não é divisível por $\color{navy}{11}$.

  • Notamos que o processo de determinação da divisibilidade, aplicando os critérios, fica bastante complexo na medida que o número cresce e acaba ficando tão ou mais difícil do que fazer a divisão e verificar. Vamos ver ainda o critério para saber se um número é divisível por $\color{navy}{13}$. O procedimento é semelhante ao usado no caso do número $\color{navy}{7}$. O último algarismo é multiplicado por  $\color{navy}{4}$ (quatro) e adicionado ao número formado pelos algarismos restantes. E prosseguimos até obter um número divisível por $\color{navy}{13}$ ou não, mas fácil de identificar. Seja o exemplo: $\color{navy}{32708}$.
    • O último algarismo $\color{navy}{8\cdot 4 = 32}$.
    • Adicionado ao número restante $\color{navy}{3270 + 32 = 3302}$
    • $\color{navy}{2\cdot 4 = 8}$
    • $\color{navy}{330 + 8 = 338}$
    • $\color{navy}{8\cdot 4 = 32}$
    • $\color{navy}{33 + 32 = 65}$
    • $\color{navy}{65\div 13 = 5}$
    • O número do exemplo é divisível por 13. No entanto vemos que gastamos um bocado de tempo para chegar a essa conclusão. Talvez se fizéssemos a divisão diretamente, teríamos chegado à conclusão mais depressa. Isso nos mostra que não compensa muito recorrer a esses critérios para verificar a divisibilidade.

Números primos entre si

O que é isso agora?

Na definição de números primos, vimos que eles têm somente dois divisores, o 1 (um) e o próprio número. E agora, os primos entre si, como é que ficam?

  • Os números são chamados primos entre si, se eles tiverem como único divisor comum, o número 1(um).

O notável é que, dois números que não são primos, podem ser primos entre si. Como por exemplo $\color{navy}{ 8, 9}$. 

  • Os divisores de $\color{navy}{8}$ são $\color{brown}{\{1,2,4,8\}}$.
  • Os divisores de $\color{navy}{9}$ são $\color{brown}{\{1,3,9\}}$

Podemos perceber que todos os números primos, são também primos entre si, mas há números que não são primos, porém são primos entre si. Basta determinar a família ou  conjunto de divisores de cada um, depois comparar. Se houver somente o número 1(um) de comum entre eles, os números são primos entre si.

  • Verificar se os números a seguir, são primos entre si. 
    • $\color{brown}{15, 16}$
  • $\color{navy}{f(D)(15) = \{1,3,5,15\}}$
  • $\color{navy}{f(D)(16) = \{1,2,4,8,16\}}$
  • O único divisor comum entre eles é o número 1 (um) e por isso eles são primos entre si.
    • $\color{brown}{16, 21}$
  • $\color{navy}{f(D)(16) = \{1,2,4,8,16\}}$
  • $\color{navy}{f(D)(21) = \{1,3,7,21\}}$
  • Entre os divisores dos dois números, encontramos apenas o 1(um) de comum. Números primos entre si.
    • $\color{brown}{22, 25}$
    • $\color{brown}{32,35}$
    • $\color{brown}{12,13}$
    • $\color{brown}{17, 51}$
    • $\color{brown}{19, 54}$
    • $\color{brown}{19, 57}$
    • $\color{brown}{23, 36}$
    • $\color{brown}{18, 25}$
    • $\color{brown}{8, 12}$
    • $\color{brown}{13, 33}$
    • $\color{brown}{5, 7}$
    • $\color{brown}{10, 101}$
    • $\color{brown}{15, 24}$

Obs.: Havendo dúvidas, por obséqui, entre em contato por um dos canais abaixo listados para esclarecer. Havendo dificuldades em algum assunto ainda não abordado neste blog, não hesite em pedir auxílio. 

Curitiba, 28 de julho de 2016.

Décio Adams

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2 ideias sobre “Matemática. Aritmética-Numeros primos e divisibilidade.

    1. decioadams Autor do post

      Fico contente em saber que gostou. Coloco-me à disposição para qualquer dúvida dentro dos conteúdos de matemática e física de ensino fundamental e médio.

      Décio Adams

      Responder

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