Matemática – Aritimética. Divisão decimal exata e aproximada.

Divisão decimal aproximada.

Quando estudamos a divisão, vimos que grande parte das vezes essa operação não é exata, sobrando ao final do processo, um resto menor que o divisor. Naquele momento deixamos de efetuar esse complemento da operação. Ficamos com o resultado:

  • $\color{navy}{quociente\cdot divisor + resto = dividendo}$

Agora, vamos determinar o resultado da operação, com uma aproximação na forma de número decimal. Para isso recorremos à colocação de uma vírgula após o último algarismo inteiro e acrescentamos um zero no resto. A partir daí tentamos continuar a divisão. Se ainda não for possível, acrescentamos um zero ao quociente e mais outro no resto. Podemos continuar assim indefinidamente. Talvez em algum momento ocorra uma divisão exata, ou então teremos uma dízima periódica, quando um ou mais algarismos começam a se repetir no quociente. O melhor de tudo é fazer isso na prática. 

  • $\color{navy}{793\div 17 = ?}$
  • Colocamos os números na chave como há vimos antes e iniciamos o processo. Assim:
  • Divisão aproximada decimal 1

    Divisão aproximada decimal, primeiro passo

    Começamos por dividir os dois primeiros algarismos, que formam o número $79$, pelo divisor $17$. Observando, notamos que não pode ser $7$ o quociente, pois a multiplicação entre ele e o divisor, ultrapassa em muito o dividento $79$. É preciso baixar o valor. Iremos ver que a divisão é possível com $4$ no quociente, pois $\color{olive}{17\cdot 4 = 68\lt 79}$. Subtraindo $68$ de $79$, teremos no resto $11$. Colocamos $4$ no quociente, baixamos o último algarismo $3$ e voltamos a dividir.

  • Divisão aproximada decimal 2

    Divisão aproximada decimal, segundo passo.

  • Temos agora $113$ dividido por $17$. Pelas multiplicações iremos verificar que podemos usar no máximo o número $6$. Fazendo $\color{olive}{17\cdot 6 = 102\lt113}$ e subtraimos esse valor do dividendo. Resta $11$.

 

 

  • Divisão aproximada decimal 3

    Divisão aproximada decimal, terceiro passo.

    Como não há mais algarismos no dividendo para baixar, colocamos a vírgula no quociente, após o algarismo $6$ e acrescentamos um $0$ após o resto $11$. Vamos agora dividir $110$ por $17$, o que novamente nos dá $6$. $\color{olive}{17\cdot 6 = 102\lt 110}$. Subtraindo do dividendo, nos resta agora $8$. Tornamos a acrescentar mais um $0$ ao resto e voltamos a dividir, agora $80$ por $17$, onde encontramos $4$. $\color{olive}{17\cdot 4 = 68\lt 80}$. Subtraimos de $80$ e temos resto $12$.

  • Divisão aproximada decimal 4

    Divisão aproximada decimal, quarto passo.

  • Com mais um $0$ acrescentado, temos agora $120$, dividido por $17$. O resultado é $7$ e $\color{olive}{17\cdot 7 = 119\lt 120}$. Subtraimos o produto do dividendo, restando agora apenas $1$.
  • Se quisermos é possível continuar, mas na próxima tentativa de dividir, teremos $10$ dividido por $17$, que não é possível. Colocaríamos um $0$ no quociente e acrescentaríamos outro no dividendo. Já temos no quociente três algarismos após a vírgula, o que corresponde a décimos, centésimos, milésimos. Não iremos encontrar o valor exato da divisão de qualquer maneira.
  • Em diferentes situações poderemos precisar de mais ou menos algarismos decimais. Mas isso é assunto para outro momento.
  • Podemos escrever $\color{navy}{(46,647)\cdot 17 \simeq 793}$

Divisão decimal exata

  • Vamos ver um outro exemplo. Seja $\color{navy}{67\div 4 = ?}$. Colocando na chave, teremos:
  • Divisão decimal 1

    Divisão decimal, exata

    Começamos dividindo $6$ por $4$, obtendo $1$. Multiplicamos $\color{navy}{4\cdot 1 = 4\lt 6}$. Subtraimos e resta $2$.

  • Baixamos o próximo algarismo, obtendo no dividendo $27$. Teremos no quociente o próximo algarismo $6$. $\color{navy}{6\cdot 4 = 24 \lt 27}$. Subtraimos e irá restar $3$.

 

Divisão decimal 2

Divisão deciaml exata 2

 

  • Acrescentamos um $0$ e colocamos a vírgula no quociente. Temos agora $30$ dividido por $4$.
  • Divisão decimal 3

    Divisão decimal exata 3

    O próximo algarismo do quociente será $7$ e $\color{navy}{7\cdot 4 = 28\lt 30}$. Subtraindo do dividendo, resta $2$.

  • Acrescentamos outro $0$ ao resto e teremos agora $20$ dividido por $4$. O algarismo no quociente será $5$. Multiplicamos $\color{navy}{5\cdot 4 = 20 = 20}$.Divisão decimal 4
  • Subtraindo do dividendo, sobra agora resto $0$, indicando que a divisão, embora decimal, deu exata, pois não sobrou resto. Aqui podemos dizer que
  • $\color{navy}{(16,75)\cdot 4 = 67}$
  • Vamos a mais uns exemplos. 
  • $\color{brown}{12\div 45 = ?}$
  • Divisão decimal periódica 1

    Divisão decimal periódica 1

    Observamos que o dividendo é menor que o divisor e portanto, não teremos nenhum algarismo na parte inteira. Nesse caso vamos colocar $0$ na parte inteira, seguido de vírgula e acrescentar $0$ à direita do dividendo. Assim passamos a dividir $120$ por $45$.

    Divisão decimal periódica 2

    Divisão decimal periódica 2

     

     

  • O máximo que podemos colocar no quociente é $2$. Multiplicando $\color{olive}{2\cdot (45) = 90\lt 120}$. Subtraimos e resulta resto $30$.

 

 

Divisão decimal periódica 3

Divisão decimal periódica 3

 

  • Acrescentamos um $0$ ao resto e dividimos agora $300$ por $45$. O resultado será $6$. Multiplicando teremos $\color{olive}{6\cdot (45) = 270\lt 300}$. Subtraindo, resta novamente $30$.
    Divisão decimal periódica 4

    Divisão decimal periódica 4

     

     

  • Acrescentamos novamente um $0$ e tornamos a dividir $300$ por $45$, resultando o mesmo no quociente e resto.
  • Estamos diante de uma divisão que resulta em uma dízima periódica, isto é sempre irá sobrar resto $30$ e o algarismo 6 irá se repetir no quociente sem parar.
  • Neste caso temos uma dízima composta, pois o primeiro algarismo não faz parte do período, isto é, não se repete.
  • $\color{brown}{(0,266…)\cdot (45) = 12}$.
  • Vejamos um exemplo de dízima simples, onde todos os algarismos se repetem na mesma ordem.
  • $\color{olive}{10\div 7 = ?}$
  • Divisão decimal periódica simples 1

    Divisão decimal periódica simples 1

  • Dividindo $10$ por $7$, obtemos $1$ e o resto é $3$. Colocamos vírgula no quociente e acrescentamos um $0$.

 

 

 

Divisão decimal periódica simples 2

Divisão decimal periódica simples 2

 

  • Agora dividimos $30$ por $7$, obtgendo no quociente o algarismo $4$. Multiplicando $\color{olive}{4\cdot 7 = 28\lt 30}$. Subtraindo, resta $2$. Acrescentamos um $0$ ao resto e continuamos.Divisão decimal periódica simples 3
  • A divisão de $20$ por $7$, nos dá no quociente o algarismo $2$ e o resto é $6$. Acrescentamos ao resto o algarismo $0$.
  • Agora temos $60$, dividido por $7$ e o algarismo do quociente será $8$. A multiplicação nos dá $\color{olive}{8\cdot 7 = 56\lt 60}$. Subtraindo temos $4$ ao qual acrescentamos um $0$.
  • Divisão decimal periódica simples 4

    Divisão decimal periódica simples 5

    Divisão decimal periódica simples 5

  • O número $40$ dividido por $7$, nos dá no quociente o algarismo $5$. Multiplicando temos $\color{olive}{5\cdot 7 = 35\lt 40}$. O resto ao subtrair, será $5$ e acrescentamos a ele um $0$.
  • Divisão decimal periódica simples 6

    Divisão decimal periódica simples 6

  • Ao acrescentar $0$ ao resto, obtivemos o número $50$. Na divisão, resulta o algarismo $7$ no quociente. Multiplicando e subtraindo, temos resto $1$. Acrescentando $0$, vamos para mais uma divisão.
  • Divisão decimal periódica simples 7

    Divisão decimal periódica simples 7

    O número $1$, acrescido de um $0$, dividido por $7$, nos fornece mais um algarismo $1$ no quociente e o resto volta a ser $3$. Notamos que começa aí a repetição dos algarismos. Embora na parte decimal, neste caso, o algarismo $1$ apareça no final, ele é o primeiro do período.

  • Se estivéssemos dividindo $\color{olive}{1\div 7 =?}$, começaríamos por um $0$, seguido de vírgula. Todos os números que tenham por algarismo inicial $1$, seguido de um ou mais zeros, precedidos de um ou mais zeros, depois da vírgula, ao serem divididos por $7$, resultam na mesma sequência periódica de algarismos. O que muda é a posição da vírgula. Assim:
  • $\color{navy}{(0,001)\div 7 = 0,000142857…}$
  • $\color{navy}{(0,01)\div 7 = 0,00142857…}$
  • $\color{navy}{(0,1)\div 7 = 0,0142857…}$
  • $\color{navy}{(1)\div 7 = 0,142857…}$
  • $\color{navy}{(10)\div 7 = 1,428571…}$
  • $\color{navy}{(100)\div 7 = 14,2857…}$
  • $\color{navy}{(1000)\div 7 = 142,857…}$

Essa situação é bastante comum e é útil em diversas ocasiões. Neste exemplo usei de propósito uma divisão que resultou em um período longo (seis algarismos). Há outros com períodos menores e estes são em maior número.

  • Vamos aplicar esses procedimentos na efetivação das divisões que seguem.
  • $\color{maroon}{(50)\div (30) = ?}$
  • $\color{maroon}{(132)\div (78) = ?}$
  • $\color{maroon}{(12)\div (19) = ?}$
  • $\color{maroon}{(5)\div (9) = ?}$
  • $\color{maroon}{(50)\div (30) = ?}$

 

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