Arquivo da categoria: Aritmética.

Matemática – Aritmética – Quatro operações – Divisão.

Divisão

 

  • Divisão. Do mesmo modo que a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a inversa da multiplicação.

Vamos tomar um exemplo.

  • A mãe volta do trabalho e passa pelo mercado. Compra os mantimentos necessários para fazer a janta e café da manhã. Para agradar seus três filhos, passa na seção de balas e doces, pegando um pacote de bombons, com 15 unidades.

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Matemática – Aritmética – Quatro operações – Multiplicação (parte 2)

Multiplicação

  • Vamos ver como se procede para multiplicar fatores com múltiplos algarismos. No post anterior, multiplicamos números com vários algarismos, por um algarismo. Mas há muitas situações em que isso não basta.
  • $\color{navy}{15\times 327= ?}$
  • Vamos começar por escrever os dois números na forma de colunas, sempre colocando como multiplicando o fator com mais algarismos.
  • Multiplicação com fatores de vários algarismos 7.1

    Multiplicação com fatores de vários algarismos 7.1

    Iniciamos multiplicando o algarismo das unidades do multiplicador (5), pelo algarismo das unidades do multiplicando. $\color{navy}{5\times 7 = 35}$. Resulta 3 dezenas e cinco unidades. Até aí fazemos igual ao que já vimos. O 5 (cinco), é escrito na coluna das unidades.

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Matemática – Quatro operações – Multiplicação.

Multiplicação.

– Vamos supor que nos seja proposta a soma:

3 laranjas + 3 laranjas + 3 laranjas = 9 laranjas.

  • $\color{navy}{3 + 3 + 3 = 9}$
  • Quantas parcelas de 3 laranjas foram somadas?
  • A resposta será: 3 parcelas.

A matemática sempre procura uma forma de escrever as coisas de maneira mais simplificada, mais compacta. Nesse caso, uma soma de 3 parcelas de 3 laranjas, pode ser representada pela multiplicação

  • $\color{navy}{3\times 3}$ laranjas = 9 laranjas.
  • Podemos representar isso na forma de reunião de conjuntos do quantidades iguais de elementos.

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Matemática – Aritmética, Quatro operações – Subtração

  • Subtração

  • Em que consiste a subtração?

  • Consiste em retirar, de um grupo de objetos, um determinado número desses objetos. O grupo de onde retiramos recebe o nome de minuendo e o grupo que retiramos, recebe o nome de subtraendo. Ao que sobra do minuendo, damos o nome de resto. 

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Matemática, Números relativos, multiplicação e divisão.

Multiplicação de relativos.

  • Números positivos.

    Vamos multiplicar os números:

  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{(+5)\cdot (+3)}}$
    • $\color{navy}{(+5)\cdot (+3) = (+5) + (+5) + (+ 5) = 15}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{(+4)\cdot(+2)}}$
    • $\color{navy}{(+4 )\cdot (+2)= (+4) + (+4)= 8}$
  • Para multiplicar números positivos multiplicamos os módulos e ao resultado damos o sinal (+). 

Obs.: Temos que lembrar de uma coisa. A multiplicação é uma soma de parcelas iguais. Temos o multiplicando e o multiplicador, isto é, o número que está sendo multiplicado e o que está multiplicando. Nada impede a inversão dessas posições, de acordo com a propriedade comutativa. Isso transforma a multiplicação em uma soma de tantas parcelas (multiplicando), iguais a quantidade expressa pelo multiplicador.

  • Números negativos.

  •  

    Sejam os números:

    $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{(- 4)\cdot (- 5)}}$

    $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{(- 7)\cdot (- 4)}}$

    • $\color{navy}{(-4)\cdot (-5) = {- (-4) – (-4) – (-4) – (-4) – (-4) = 4 + 4 + 4 + 4 + 4}= 20}$
    • $\color{navy}{(- 7)\cdot (-4) = – (-7) – (-7) – (-7) – (-7) =  7 + 7 + 7 + 7 = 28}$
  • Ao multiplicar dois números negativos, multiplicamos os módulos e atribuímos o sinal (+).
  •  Resumindo podemos dizer que na multiplicação de números de sinais iguais, o resultado é positivo. 

 

  • Números de sinais contrários.

Sejam os números:

  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{(- 6)\cdot (+ 3)}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{(+ 7)\cdot (-4)}}$
  • $\color{navy}{(- 6)\cdot (+3) = +(-6) + (-6) + (-6) = -6 -6 -6 = -18}$
  • $\color{navy}{(+ 7)\cdot (-4) = -( +7) – (+7) – (+ 7) – (+7) = – 7 – 7 – 7 – 7 = – 28}$
  • A multiplicação de números de sinais contrários é igual ao produto dos módulos, com o sinal (-), sem importar a ordem dos fatores. 

Resumindo

  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{(+)\cdot (+) = \{+\}}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{(-)\cdot (-) = \{+\}}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{(+)\cdot (-) = \{-\}}}$
  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{brown}{(-)\cdot (+) = \{-\}}}$

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Matemática, Números relativos, adição e subtração.

 

Operações com números relativos – adição.

  • Números com o mesmo sinal e sinais opostos.

Vamos usar exemplos práticos. Você e seu irmão trabalham, recebendo por dia de serviço. Se seu trabalho rende $\color{navy}{R\$ 100,00}$ por dia e o de seu irmão $\color{navy}{R\$ 110,00}$ por dia. Quanto terão a receber ao final de um dia de serviço?

É fácil dizer que a soma será de $\color{brown}{100,00 + 110,00 = 210,00}$. Representando os valores ganhos como números positivos, podemos escrever:

\[\color{maroon}{(+100) + (+110,00)= + 210,00}\]

Vamos supor que vocês compraram uma muda de roupas para cada um, gastando $\color{navy}{R\$ 90,00}$ na sua roupa e $\color{navy}{R\$ 85,00}$ na roupa do seu irmão. O dinheiro gasto, podemos representar por valores negativos, pois irão diminuir o saldo disponível.

  • $\color{navy}{(- 90,00) + (- 85,00) = -175,00}$

Vamos determinar o saldo que sobra no seu bolso e no de seu irmão.

  • $\color{navy}{(+100,00) + (- 90,00)= +10,00}$

No seu bolso haverá o saldo de $\color{brown}{R$ 10,00}$.

  • $\color{navy}{(+ 110,00) +(- 85,00)= +25,00}$

No bolso de seu irmão, haverá um saldo de $\color{brown}{R$ 25,00}$.

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Matemática, Números relativos.

Números relativos.

Nos primórdios da matemática, surgiram primeiramente os números, hoje denominados Números Naturais, associados a quantidades de objetos. A necessidade exprimir quantidades que não representam um número inteiro de objetos, fez surgir as divisões decimais. Os algarismos após a vírgula, mas exatos, ou as dízimas periódicas. Isso ampliou grandemente as opções de resolução de problemas. Persistia no entanto um problema. A subtração só era possível se o minuendo tivesse valor maior que o subtraendoIsso deixava a operação de subtração impossível em muitas situações. Como a necessidade costuma resultar no surgimento de inovações, foi também aqui que surgiu o que hoje conhecemos como Conjunto de Números Inteiros Relativos e posteriormente, os Racionais Relativos

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Matemática, aritmética, regra de três simples.

Aplicação das proporções – Regra de três.

  • Uma das principais aplicações das proporções é a conhecida Regra de Três. Cabe talvez a pergunta, por que o nome Regra de Três? 

Na verdade, o nome se deve ao fato de serem fornecidos três valores e existir um quarto valor desconhecido. A existência de proporção entre esses valores, permite que seja determinado o quarto valor, através do conhecimento dos outros três.

Vamos ver um exemplo.

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Matemática, Aritmética, Razões, proporções e suas propriedades.

Proporções e suas propriedades.

  • No post anterior sobre o assunto, chegamos a ver três propriedades das proporções. Vamos lembrar:
  •  O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
  • Alternando os extremos entre si, a proporção continua existindo.
  •  Alternando os meios entre si, a proporção continua existindo. 

OBS.: Se aplicarmos as propriedades dois e três ao mesmo tempo, equivale a aplicar uma quarta propriedade.

  •  Invertendo as posições dos antecedentes com seus consequentes, continuamos a ter uma proporção. Vejamos o exemplo.
    • $\mathbf{\color{navy}{{2\over 3} = {6\over 9}}}$
  • Se invertermos teremos.
    • $\mathbf{\color{navy}{{3\over 2} = {9\over 6}}}$

Tanto na primeira como na segunda proporção teremos:

  • $\mathbf{\color{navy}{{2\cdot 9} = {3\cdot 6}}}$
  • $\mathbf{\color{navy}{{3\cdot 6}={9\cdot 2}}}$
  • Ambas as  multiplicações resultam em igualdades e dão o mesmo valor.

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Matemática, Aritmética, Razão, proporção.

Razão. 

  • Normalmente essa palavra se refere a habilidade humana de raciocinar, pensar, elaborar teorias e conceitos. Aqui, na matemática, ela tem um significado ligeiramente diferente. Denominamos razão à divisão indicada entre dois números. Facilmente ela é confundida com uma fração, o que aliás não chega a ser nada muito grave, contanto que saibamos algumas regras aplicáveis às razões. Vamos começar com um exemplo. O fato de poder ser representada da mesma forma como as frações, não atrapalha o desenvolvimento do assunto.
  • $$\bbox[4px, border:2px solid olive]{\mathbf{\color{olive} {5\div 8}}}$$
  • $$\bbox[4px, border:2px solid olive]{\mathbf{\color{olive} {5\over 8}}}$$
  • $$\bbox[4px, border:2px solid olive]{\mathbf{\color{olive} {5/8}}}$$

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