Arquivo da tag: aritmética

Matemática, Aritmética, Razões, proporções e suas propriedades.

Proporções e suas propriedades.

  • No post anterior sobre o assunto, chegamos a ver três propriedades das proporções. Vamos lembrar:
  •  O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
  • Alternando os extremos entre si, a proporção continua existindo.
  •  Alternando os meios entre si, a proporção continua existindo. 

OBS.: Se aplicarmos as propriedades dois e três ao mesmo tempo, equivale a aplicar uma quarta propriedade.

  •  Invertendo as posições dos antecedentes com seus consequentes, continuamos a ter uma proporção. Vejamos o exemplo.
    • $\mathbf{\color{navy}{{2\over 3} = {6\over 9}}}$
  • Se invertermos teremos.
    • $\mathbf{\color{navy}{{3\over 2} = {9\over 6}}}$

Tanto na primeira como na segunda proporção teremos:

  • $\mathbf{\color{navy}{{2\cdot 9} = {3\cdot 6}}}$
  • $\mathbf{\color{navy}{{3\cdot 6}={9\cdot 2}}}$
  • Ambas as  multiplicações resultam em igualdades e dão o mesmo valor.

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Matemática, Aritmética, Razão, proporção.

Razão. 

  • Normalmente essa palavra se refere a habilidade humana de raciocinar, pensar, elaborar teorias e conceitos. Aqui, na matemática, ela tem um significado ligeiramente diferente. Denominamos razão à divisão indicada entre dois números. Facilmente ela é confundida com uma fração, o que aliás não chega a ser nada muito grave, contanto que saibamos algumas regras aplicáveis às razões. Vamos começar com um exemplo. O fato de poder ser representada da mesma forma como as frações, não atrapalha o desenvolvimento do assunto.
  • $$\bbox[4px, border:2px solid olive]{\mathbf{\color{olive} {5\div 8}}}$$
  • $$\bbox[4px, border:2px solid olive]{\mathbf{\color{olive} {5\over 8}}}$$
  • $$\bbox[4px, border:2px solid olive]{\mathbf{\color{olive} {5/8}}}$$

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Matemática, aritmética – Potenciação: potência de potência e potência com expoente exponencial.

Buscas na internet.

Pesquisando na internet, descobri que nos últimos dias a procura pelo assunto potenciação por parte dos internautas aumentou quase 100%. Isso significa que estou atacando um dos assuntos procurados. Vamos seguir mais um pouco. Apresentar mais uns detalhes sobre o assunto.

  • Vamos ver como se faz uma multiplicação de potências iguais.
  • Assim: $\color{navy}{3^2\times 3^2\times 3^2\times 3^2 = (3^2)^4}$
  • Temos agora uma potência de potência, isto é, três elevado ao quadrado, elevado a quarta potência.
  • Vamos aplicar no começo, a regrinha da multiplicação de potências de mesma base.
  • Teremos:$\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{3^{(2+2+2+2)} = 3^8}}$

Se observarmos bem, os expoentes na expressão $\color{navy}{{[(3)^2]}^4}$, vemos que, se multiplicarmos os expoentes $\color{navy}{2\times 4= 8}$ ou seja a soma dos expoentes das potências iguais.

Dessa forma pode-se afirmar que:

  • “Para elevar uma potência a outra potência, basta conservar a base e multiplicar os expoentes”.
  • Vamos exercitar um pouco?
    • $\color{navy}{[(4)^2]^3 = 4^{(2\times 3)} = 4^6}$
    • $\color{navy}{[(7)^3]^3 = 7^{(3\times 3)} = 7^9}$
    • $\color{navy}{[(11)^4]^2 = (11)^(4\times 2) = (11)^8}$
    • $\color{navy}{{[(5)^4]^5} = 5^{(4\times 5)} = 5^{20}}$

Fica muito simples perceber que a operação potenciação apresenta bem mais possibilidades de aplicações úteis, do que meramente substituir uma multiplicação por uma expressão mais simples, mais curta. Começam a pintar várias novidades. O que vimos até aqui é apenas um pequeno vislumbre do que é possível. Mas vamos devagar. Um degrau de cada vez.

Vamos recordar o que já vimos até aqui?

  • Transformar potências em multiplicações de fatores iguais.
    • $\color{navy}{7^3 = ?}$
    • $\color{navy}{5^2 = ?}$
    • $\color{navy}{8^6 = ?}$
    • $\color{navy}{3^4 = ?}$
    • $\color{navy}{2^5 = ?}$
  • Escrever na forma de potências as multiplicações.
    • $\color{navy}{3\times3\times3\times3\times5\times5\times5 = ?}$
    • $\color{navy}{5\times5\times5\times5\times5\times5 = ?}$
    • $\color{navy}{4\times4\times4\times4\times4\times4\times4\times4 = ?}$
    • $\color{navy}{{11}\times{11}\times{11}\times{11}\times{11} = ?}$
    • $\color{navy}{7\times7\times7\times7 = ?}$
  • Escrever o resultado das potências.
    • $\color{navy}{3^3 = ?}$
    • $\color{navy}{5^3 = ?}$
    • $\color{navy}{2^5 = ?}$
    • $\color{navy}{7^1 = ?}$
    • $\color{navy}{6^0 = ?}$
    • $\color{navy}{(500)^0 = ?}$
    • $\color{navy}{(50)^1 = ?}$
  • Efetuar as multiplicações de potências de mesma base.
    • $\color{navy}{{3^2}\times{3^4}\times{3^2}\times{3^3}\times{3^5} = ?}$
    • $\color{navy}{{5^4}\times{5^3} = ?}$
    • $\color{navy}{{4^0}\times{4^3}\times{4^5} = ?}$
    • $\color{navy}{{6^2}\times{6^3}\times{6^3}\times{6^2} = ?}$
    • $\color{navy}{{7^5}\times{7^1}\times{7^2} =?}$
  • Efetuar as divisões das potências de mesma base.
    • $\color{navy}{{(5^8)}\div {(5^3)} = ?}$
    • $\color{navy}{{(13)^5}\div{(13)^2} = ?}$
    • $\color{navy}{{(4^7)}\div{(4^7)} = ?}$
    • $\color{navy}{{(6^3)}\div{(6^1)} = ?}$
    • $\color{navy}{{(8^6)}\div{(8^5)} = ?}$

 

  • Vamos dar mais um passinho?
    • E se o expoente for uma potência?
    • $\color{navy}{5^{3^2} = 5^9}$
  • Trata-se agora de um expoente exponencial. Antes de elevarmos a base ao expoente, precisamos efetuar a potência desse expoente. Ou seja, precisamos efetuar o$\color{brown}{3^2= 9}$ e depois elevar o 5 à nona potência. Teremos então: $\color{brown}{5^9}$

Note que se multiplicássemos os expoentes ($\color{brown}{3\times 2 =6}$, teríamos $\color{maroon}{5^{3\times 2} = 5^6}$, que é totalmente diferente. Notamos que a coisa fica um pouco mais complexa. Portanto cuidado. Potência de potência não é o mesmo que potência com expoente exponencial. Felizmente o uso dessa forma é menos comum, do que a primeira. Um pouco de exercício faz bem, né!

  • Efetue as potências indicadas.
    • $\color{blue}{7^{5^2} = ?}$
    • $\color{blue}{5^{3^1} = ?}$
    • $\color{blue}{6^{4^3} = ?}$
    • $\color{blue}{8^{3^4} = ?}$
    • $\color{blue}{9^{2^3} = ?}$
  • Adendoleitor me enviou a seguinte pergunta, ou melhor questão: Realizar a divisão que ele encontrou num livro ou apostila e não entendeu como resolver. 
  • Exercício de divisão

    Exercício de divisão

  • A divisão apresentada é a divisão de duas potências. Seria assim:
  • $\color{navy}{{{{{{2^3}^2}^1}^8}^7}^6}\div {{{{{{4^2}^2}^8}^0}^9}^6}$
  • Vemos uma sucessão de potências em número de 6 (seis). À primeira vista parece algo difícil de resolver. Se fôssemos desenvolver tudo, iriamos fazer uma montanha de cálculos desnecessários. Não podemos esquecer que a matemática tem alguns atalhos que nos levam à resposta num piscar de olhos. Aquele problema gigante, se resolve num clic. 
  • Acompanhem o raciocínio. Na potência dividendo, temos no quarto expoente de cima para baixo o número 1(um). Isto significa que iremos elevar 1(um) ao expoente que existir acima dele e o resultado só pode ser 1(um). Continuando vamos ter:
  • $\color{navy}{2^1 = 2}$
  • Para terminar temos $\color{navy}{3^2 = 9}$
  • Reduzimos o dividendo à potência $\color{navy}{2^9}$
  • No divisor vamos encontrar na terceira posição, do último expoente para baixo. Sabemos que qualquer expoente para 0(zero), resulta igual a 0.
  • O próximo expoente é 8, e vamos ter $\color{navy}{8^0 = 1}$
  • Na sequência temos o expoente 2 e fica $\color{navy}{2^1 = 2}$
  • Terminamos com $\color{navy}{2^2 = 4}$
  • Passamos a ter $\color{navy}{4^4} = {(2^2)}^4 = {2^{2×4}} =2^8 $
  • Efetuando a divisão $\color{navy}{{2^9}\div{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2}$.
  • Este resultado comprova que a resposta indicada na figura é a correta.
  • Andamos mais um passo. Se você for um dos que procuraram pelo assunto potenciação na internet e tiver interesse em aprofundar o assunto, entre em contato comigo nos endereços que constam abaixo do artigo. Estou a disposição para orientar e tirar suas dúvidas. Legal?

Curitiba, 31 de janeiro de 2015. (Reformulado em 15 de julho de 2016).(Atualizado em 02/07/2016)

Décio Adams

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Matemática, Aritmética, Propriedades das quatro operações (multiplicação e divisão)

 Propriedades da multiplicação.

  • Se para a adição existem propriedades, vamos ver a multiplicação. Afinal, em outro momento vimos que a multiplicação nada mais é do que uma adição de parcelas iguais.

Será que a propriedade comutativa é aplicável à multiplicação? (Lembremos que ela consiste em mudar a ordem das parcelas. Aqui vamos então trocar a ordem dos fatores).

Observem:

  • $\color{navy}{7 \times 4 = ?}$   $\color{navy}{ (28)}$
  • $\color{navy}{4 \times 7 = ?}$     $\color{navy}{(28)}$
  • $\color{navy}{3 \times 6 \times 10 = ?}$  $\color{navy}{(180)}$
  • $\color{navy}{6\times 3\times 10 = ?} $ $\color{navy}{(180)}$
  • $\color{navy}{10\times 3\times 6 = ?}$  $\color{navy}{(180)}$

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Matemática – Aritmética, As quatro operações- Adição.(Refeito e ampliado em 10/7/2016)

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Figura da Idade Média, relativa a aritmética.

Aritmética.

Essa palavra designa a parte da Matemática que nos apresenta ao mundo dos números. Começamos por aprender a contar, associar um símbolo aos números que correspondem às quantidades de objetos que contamos. Esses símbolos denominamos algarismos, e os mais usados no mundo hoje em dia são os hindu arábicos. Essa denominação é devida ao fato de sua origem ter ocorrido na India e depois foram aperfeiçoados na Arábia. Depois de dominarmos a escrita e leitura dos números, fazendo o uso adequado da posição dos algarismos, começamos a aprender as quatro operações:

  • Adição

Consiste na reunião dos elementos de dois ou mais conjuntos. A quantidade de elementos resultante é denominada soma. A soma será o número de elementos do novo conjunto formado pela reunião dos primeiros. Por exemplo. Seja o conjunto $\color{navy}{A =\varnothing}$ e $\color{navy}{B = \{ O\}}$. O primeiro conjunto é vazio, isto é não tem nenhum elemento. Então o número de elementos é $\color{navy}{n(A) = 0}$. O segundo conjunto tem apenas uma letra “O“. Portanto $\color{navy}{n(B) = 1}$. Vamos representar isso num desenho.

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  • Vamos reunir os elementos dos dois conjuntos em um único conjunto e contar a quantidade de elementos resultante.

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  • Notamos que da reunião dos dois conjuntos resultou um novo conjunto com um único elemento. Isto nos permite afirmar que a adição dos números 0 (zero) com o número 1(um), resulta na soma 1 (um). Ou seja adicionar 0 (zero) com qualquer número não altera o resultado.
    • $\color{navy}{0 + 1 = 1}$
  • Vejamos agora dois conjuntos, tendo o primeiro 1(um) elemento e o outro 2(dois) elementos. Façamos a reunião dos mesmos e vejamos quantos elementos resultam.

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  • Notamos que o conjunto que reúne os dois conjuntos é um conjunto com um total de 3(três) elementos. Portanto:
  • $\color{navy}{ 1 + 2 = 3 }$
  • Este procedimento de juntar os elementos de dois ou mais conjuntos você pode fazer usando os dedos de suas mãos. Vejamos mais um exemplo. Um conjunto M com três elementos e um conjunto N com quatro elementos.

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Vemos na figura dois conjuntos com o mesmo tipo de elementos. O conjunto M formado por três elipses e o conjunto N por 4 elipses. Podemos reunir todos em um único conjunto e ver quantos serão os elementos do do novo conjunto formado pela reunião dos dois.

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Se contarmos o número de elementos existentes no novo conjunto encontraremos como resultado o número 7. Isto nos permite afirmar que a adição dos números que representam a quantidade de elementos dos dois conjuntos que foram reunidos, tem como resultado 7 (sete). Simbólicamente fica:

  • $\color{navy}{ 3 + 4 = 7} $
  • Se você quiser fazer a adição de 5 ovos com 7 ovos, usando os dedos das mãos, como irá proceder?
    • Em condições normais, você terá em sua mão esquerda 5 dedos, que podem representar os 5 ovos. Na outra mão terá também 5 dedos, que poderão representar outros 5 ovos. Se você continuar contando, depois do cinco vem o seis e logo o sete. Portanto faltarão dois dedos. Conte os dedos da mão esquerda, os da mão direita, chegando a 10, e volte a contar mais dois da mão esquerda. Deverá obter o número 12. Ou seja:
    • $\color{navy}{ 5 + 7 = 5 + 5 + 2 = 12 }$
    • 6 uvas + 3 maçãs = 9 frutas, mas não serão 9 uvas, nem 9 maçãs. Em geral não adicionamos coisas diferentes.
  • Os números que somamos são chamados parcelas. O número de parcelas de uma adição, não tem limites e nem importa a ordem em que as adicionamos, contanto que façamos o processo de maneira correta. 
Addition_Table.svg

Tabela de dupla entrada. Os números na primeira linha e coluna, tem suas somas no cruzamento das respectivas linhas e colunas.

  • A tabela apresentada acima, pode ser útil para obter a coma da adição de números entre 0(zero) e 9 (nove). Pode substituir os dedos ou outros objetos no momento de realizar a adição de números.

 

  • Adição de números maiores. 

  • Sejam, por exemplo as parcelas $\color{navy}{ 149 + 214 = ?}$
  •      Eles serão escritos um sobre o outro, formando a coluna das unidades, a coluna das dezenas, centenas, milhares e assim até o final. Começamos a efetuar pelas unidades e assim sucessivamente, até completar a adição. O número formado será a soma das parcelas.
Adição de números com vários algarismos20160710_12151978

Adição de números com vários algarismos em colunas 1

  • Na figura ao lado, vemos efetuada a adição dos dois números dados. Observe que adicionamos a partir das unidades. No caso $\color{navy}{ 9 + 7 = 16}$. Escrevemos as unidades 6 (seis) abaixo da linha horizontal e a dezena, colocamos acima do 4 (quatro), na coluna das dezenas. Repetimos o processo e obtemos $\color{navy}{1 + 4 + 1=6 (seis) dezenas. Não temos nenhuma centena. Adicionamos a coluna das centenas e resulta a soma $\color{navy}{366}$.
  • Ao lado temos a adição $\color{navy}{164 + 98 = ?}$. Na formação das colunas, a casa das centenas ficou vaga para o segundo número, uma vez que temos um número sem nenhuma centena. $\color{navy}{4 + 8 = 12}$, nos dá duas unidades e uma dezena. Escrevemos as duas unidades abaixo da linha horizontal e a dezena colocamos acima dos algarismos das dezenas. Somamos $\color{navy}{ 1 + 6 + 9 = 16}$ que nos dá seis dezenas de unidades e uma centena. O seis vai ao lado do dois, na casa das dezenas e a centena, acima dos algarismos das centenas. Somamos $\color{navy}{1 + 1 = 2}$, resultam duas centenas e a soma dos números é igual a $\color{navy}{262}$.
  • Tomemos mais dois exemplos.
    • $\color{navy}{1537 + 7259 = ? }$
    • $\color{navy}{2836 + 475 =?}$
Adição de números com vários algarismos 220160710_12385712

Adição de números com vários algarismos 2

  • Note que devemos colocar os algarismos na posição correta e sempre efetuar a adição da direita (unidades) para esquerda, seguindo a ordem das dezenas, centenas e demais classes.
  • Vamos exercitar.

    • Efetue as adições dos números, utilizando os dedos, outros objetos e mesmo a tabela apresentada acima.
      • $\color{blue}{9 + 12 = ?}$
      • $\color{blue}{15 + 8 = ?}$
      • $\color{blue}{16 + 9 = ?}$
      • $\color{blue}{21 + 5 = ?}$
      • $\color{blue}{33 + 4 = ?}$
      • $\color{blue}{27 + 3 = ?}$
      • $\color{blue}{35 + 8 =  ?}$
    • Efetue as adições dos números, escrevendo em colunas, como mostrado acima e efetue da direita para esquerda.
      • $\color{brown}{78 + 63 = ?}$
      • $\color{brown}{93 + 142 = ?}$
      • $\color{brown}{87 + 231 + 158 = ?}$
      • $\color{brown}{527 + 1872 = ?}$
      • $\color{brown}{2056 + 1932 = ?}$
      • $\color{brown}{5743 + 3278 + 7094 = ?}$

Curitiba, 10 de julho de 2017 (Post refeito e ampliado nesta data).

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