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Matemática – Álgebra. Produtos notáveis (continuação)

Agora o bicho vai pegar

Vamos avançar mais um pouco com os produtos notáveis. Nem todos os livros apresentam esses tópicos, mas vale a pena conhecer, se você deseja ir um pouco mais longe, desenvolver mais suas aptidões.

Vamos ver o Cubo da Soma de dois números.

Os dois números, serão novamente representados por duas letras. Para manter a sequência adotada nos primeiros três casos, vamos usar novamente as letras para isso.

$${{( a + b)}^3} $$ Podemos separar a potência de expoente 3 em um produto de potências de mesma base, com um expoente 2 e outro 1. Assim:

$${{( a + b)}^2}{(a + b)} $$ Como já sabemos o resultado do quadrado da soma, podemos agora fazer a multiplicação do trinômio quadrado perfeito resultante, pela soma dos números b. 

$${ (a^2 + 2ab + b^2)}{(a + b)} $$ $${(a^2)}{a} + {(2ab)}{a} +{(b^2)}{a} + {(a^2)}{b} + {(2ab)}{b} + {(b^2)}{b} $$ $${a^3} + {2a^{2}b} + {b^2}a + {a^{2}b} + {2ab^{2}}+ {b^3}$$ Temos agora um polinômio com seis termos, onde existem dois pares de termos semelhantes. Vamos agrupar estes termos e depois efetuar a adição de seus coeficientes numéricos. $${a^3} + 2a^{2}b + a^{2}b + 2ab^{2} + ab^{2} + {b^3} $$ $$ {a^3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b{^3}$$ O resultado é um polinômio de quatro termos e podemos enunciar a regra para sua obtenção da seguinte maneira:

“O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro termo, mais o triplo do produto entre o quadrado do primeiro termo e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo, pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Vejamos um outro exemplo para resolver, aplicando essa regra.

$${( 2x + 3y)}^3 $$ Para facilitar, vamos por partes. O primeiro termo é 2x  e o seu cubo é $$ {(2x)}^3 $$ $$ 8 x^3 $$

O triplo do quadrado do primeiro, multiplicado pelo segundo termo será: $$ {3\cdot{(2^{2}x^{2})}{(3y)}} $$ $$ 36 x^{2}y$$

O triplo do primeiro termo, multiplicado pelo quadrado do segundo será: $$ 3\cdot{2x}\cdot{(3^{2}y^{2})}$$  $$ 54xy^{2} $$

O cubo do segundo termo será $${(3y)}^3$$ $$ 27y^3$$

Falta agora apenas escrever os termos na ordem correta, para terminar:

$$ 8x^3 + 36 x^{2}y + 54xy^{2} + 27y^3 $$

Podemos dizer que esse polinômio de quatro termos é um cubo perfeito.

É a vez do cubo da diferença de dois números.

Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.

$${( a – b )}^3 $$ Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.

$${( a – b )}^{2} {(a – b)} $$ $$ { (a^2 – 2ab + b^2)}{( a – b )} $$ $$ a^{2}{a} – 2a{a}b + a{b^{2}} + a^{2}{(-b)} – 2ab{(-b)} + b^{2}{(-b)} $$ $$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b +2ab^{2} – b^{3} $$ Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:

$$ a^{3} – 2a^{2} b – a^{2}b + ab^{2} + 2ab^{2} – b^{3} $$ $$ a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3} $$ Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.

“O cubo da direrença entre dois números é dado pela cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.

$$ {( ax – by)}^{3} $$ O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra

O cubo do primeiro termo é $${(ax)}^{3} $$ $$ a^{3}x^{3} $$

O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é $$ 3{(ax)}^{2}{(by)} $$ $$ 3a^{2}bx^{2}y $$

O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é

$$ 3ab^{2}xy{2} $$

O cubo do segundo termo é $$ {(by)} ^{3} $$ $$b^{3}y^{3} $$

Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos

$$ a^{3}x^{3} – 3 a^{2}bx^{2}y + 3ab^{2}xy^{2} – b^{3}y^{3} $$

Produto do quadrado da soma, pela diferença de dois números.

$${( a + b)}^{2}\cdot {(a – b)} $$ Já sabemos que o quadrado da soma é um trinômio quadrado perfeito (trinômio soma). Podemos usar o resultado imediatamente.

$${( a^{2} + 2ab + b^{2})} {(a – b)} $$ $$ {a}{a^{2}} + {a}{(2ab)} + {a}{b^{2}} +{(-b)}{a^{2}} + {(-b)}{(2ab)} + {(-b)}{b^{2}} $$ $$ a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b – 2ab^{2} – b^{3} $$ $$ a^{3} + 2a^{2}b – a^{2}b + ab^{2} – 2ab^{2} – b^{3} $$ $$ a^{3} + a^{2}b -ab^{2} – b^{3} $$

Podemos enunciar a regra para obter o produto do quadrado de dois números pela sua diferença, como segue.

“O produto do quadrado de dois números, pela sua diferença é dado pelo cubo do primeiro termo, mais o quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo, menos o primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Vamos tentar por em prática? Seja:$$ {(2x + y)}^{2}\cdot{(2x – y)} $$  $${(4x^{2} + 4xy + y^{2})}{(2x – y)} $$ $$ {(2x)}^{3} + {(2x)}^{2}{y} – 2x{y^{2}} – {y^{3}} $$ $$ 8x^3 + 4x^{2}y – 2xy^2 – y^3 $$

Produto do quadrado da diferença entre dois números pela sua soma.

$${( a – b )}^{2}\cdot{(a + b)} $$ O procedimento é semelhante ao anterior.

$${( a^{2} – 2ab + b^{2})} {(a + b)} $$ $$ a^{2}a + {(- 2ab)}{(a)} + ab^{2} + a^{2}b + {(- 2ab)}{(b)} + {(b^{2})}{b} $$ $$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b – 2ab^{2} + b^{3} $$ $$ a^{3} -2a^{2}b + a^{2}b + ab^{2} -2ab^{2} + b^{3} $$ $$ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3}$$ $$ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3} $$

“O produto entre o quadrado da diferença entre dois números e a sua soma, é igual ao cubo do primeiro termo, menos o produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, menos o produto entre o primeiro termo e o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Obs.: Para memorizar, fica bastante fácil. Basta observar que os termos são obtidos de mesmo modo, apenas há a diferença entre os sinais dos termos. Se conseguir criar um mecanismo que permita recordar essas sequências, terá meio caminho andado para lembrar dos enunciados. 

Vamos por em prática. $$ {( ma + n)} {(ma – n)}^{2} $$ $${( ma + n)}{[(ma)^{2} – 2mna + n^{2}]} $$ $$ m^{3}a^{3} – m^{2}na^{2} – mn^{2}a + n^{3} $$

Vamos deixar os exercícios para um momento próximo. Esses são trabalhosos, mas em momentos de aplicação, ajudam a economizar um bocado de tempo no desenvolvimento de expressões maiores. Sem esquecer de um assunto que vem pouco à frente, que é a fatoração, onde fazemos o processo inverso do que fazemos aqui.

Curitiba, 15 de abril de 2016

Décio Adams

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