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Exercícios resolvidos de produtos notáveis.

Exercícios de produtos notáveis.

  1. Usando a regra do quadrado da soma de dois números, obtenha os trinômios quadrados perfeitos que resultam das expressões a seguir. $${(uv + z)}^2 $$ $$ {(5m + r)}^2 $$ $$ {(7 + 2p)}^2$$ $${(a + 6b)}^2$$ $${(10x^{2 }+ y^{2})}^2$$ $${(mp^{3} + nr^{2})}^2$$

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Matemática – Álgebra. Produtos notáveis (continuação)

Agora o bicho vai pegar

Vamos avançar mais um pouco com os produtos notáveis. Nem todos os livros apresentam esses tópicos, mas vale a pena conhecer, se você deseja ir um pouco mais longe, desenvolver mais suas aptidões.

Vamos ver o Cubo da Soma de dois números.

Os dois números, serão novamente representados por duas letras. Para manter a sequência adotada nos primeiros três casos, vamos usar novamente as letras para isso.

$${{( a + b)}^3} $$ Podemos separar a potência de expoente 3 em um produto de potências de mesma base, com um expoente 2 e outro 1. Assim:

$${{( a + b)}^2}{(a + b)} $$ Como já sabemos o resultado do quadrado da soma, podemos agora fazer a multiplicação do trinômio quadrado perfeito resultante, pela soma dos números b. 

$${ (a^2 + 2ab + b^2)}{(a + b)} $$ $${(a^2)}{a} + {(2ab)}{a} +{(b^2)}{a} + {(a^2)}{b} + {(2ab)}{b} + {(b^2)}{b} $$ $${a^3} + {2a^{2}b} + {b^2}a + {a^{2}b} + {2ab^{2}}+ {b^3}$$ Temos agora um polinômio com seis termos, onde existem dois pares de termos semelhantes. Vamos agrupar estes termos e depois efetuar a adição de seus coeficientes numéricos. $${a^3} + 2a^{2}b + a^{2}b + 2ab^{2} + ab^{2} + {b^3} $$ $$ {a^3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b{^3}$$ O resultado é um polinômio de quatro termos e podemos enunciar a regra para sua obtenção da seguinte maneira:

“O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro termo, mais o triplo do produto entre o quadrado do primeiro termo e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo, pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Vejamos um outro exemplo para resolver, aplicando essa regra.

$${( 2x + 3y)}^3 $$ Para facilitar, vamos por partes. O primeiro termo é 2x  e o seu cubo é $$ {(2x)}^3 $$ $$ 8 x^3 $$

O triplo do quadrado do primeiro, multiplicado pelo segundo termo será: $$ {3\cdot{(2^{2}x^{2})}{(3y)}} $$ $$ 36 x^{2}y$$

O triplo do primeiro termo, multiplicado pelo quadrado do segundo será: $$ 3\cdot{2x}\cdot{(3^{2}y^{2})}$$  $$ 54xy^{2} $$

O cubo do segundo termo será $${(3y)}^3$$ $$ 27y^3$$

Falta agora apenas escrever os termos na ordem correta, para terminar:

$$ 8x^3 + 36 x^{2}y + 54xy^{2} + 27y^3 $$

Podemos dizer que esse polinômio de quatro termos é um cubo perfeito.

É a vez do cubo da diferença de dois números.

Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.

$${( a – b )}^3 $$ Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.

$${( a – b )}^{2} {(a – b)} $$ $$ { (a^2 – 2ab + b^2)}{( a – b )} $$ $$ a^{2}{a} – 2a{a}b + a{b^{2}} + a^{2}{(-b)} – 2ab{(-b)} + b^{2}{(-b)} $$ $$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b +2ab^{2} – b^{3} $$ Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:

$$ a^{3} – 2a^{2} b – a^{2}b + ab^{2} + 2ab^{2} – b^{3} $$ $$ a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3} $$ Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.

“O cubo da direrença entre dois números é dado pela cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.

$$ {( ax – by)}^{3} $$ O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra

O cubo do primeiro termo é $${(ax)}^{3} $$ $$ a^{3}x^{3} $$

O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é $$ 3{(ax)}^{2}{(by)} $$ $$ 3a^{2}bx^{2}y $$

O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é

$$ 3ab^{2}xy{2} $$

O cubo do segundo termo é $$ {(by)} ^{3} $$ $$b^{3}y^{3} $$

Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos

$$ a^{3}x^{3} – 3 a^{2}bx^{2}y + 3ab^{2}xy^{2} – b^{3}y^{3} $$

Produto do quadrado da soma, pela diferença de dois números.

$${( a + b)}^{2}\cdot {(a – b)} $$ Já sabemos que o quadrado da soma é um trinômio quadrado perfeito (trinômio soma). Podemos usar o resultado imediatamente.

$${( a^{2} + 2ab + b^{2})} {(a – b)} $$ $$ {a}{a^{2}} + {a}{(2ab)} + {a}{b^{2}} +{(-b)}{a^{2}} + {(-b)}{(2ab)} + {(-b)}{b^{2}} $$ $$ a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b – 2ab^{2} – b^{3} $$ $$ a^{3} + 2a^{2}b – a^{2}b + ab^{2} – 2ab^{2} – b^{3} $$ $$ a^{3} + a^{2}b -ab^{2} – b^{3} $$

Podemos enunciar a regra para obter o produto do quadrado de dois números pela sua diferença, como segue.

“O produto do quadrado de dois números, pela sua diferença é dado pelo cubo do primeiro termo, mais o quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo, menos o primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Vamos tentar por em prática? Seja:$$ {(2x + y)}^{2}\cdot{(2x – y)} $$  $${(4x^{2} + 4xy + y^{2})}{(2x – y)} $$ $$ {(2x)}^{3} + {(2x)}^{2}{y} – 2x{y^{2}} – {y^{3}} $$ $$ 8x^3 + 4x^{2}y – 2xy^2 – y^3 $$

Produto do quadrado da diferença entre dois números pela sua soma.

$${( a – b )}^{2}\cdot{(a + b)} $$ O procedimento é semelhante ao anterior.

$${( a^{2} – 2ab + b^{2})} {(a + b)} $$ $$ a^{2}a + {(- 2ab)}{(a)} + ab^{2} + a^{2}b + {(- 2ab)}{(b)} + {(b^{2})}{b} $$ $$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b – 2ab^{2} + b^{3} $$ $$ a^{3} -2a^{2}b + a^{2}b + ab^{2} -2ab^{2} + b^{3} $$ $$ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3}$$ $$ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3} $$

“O produto entre o quadrado da diferença entre dois números e a sua soma, é igual ao cubo do primeiro termo, menos o produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, menos o produto entre o primeiro termo e o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Obs.: Para memorizar, fica bastante fácil. Basta observar que os termos são obtidos de mesmo modo, apenas há a diferença entre os sinais dos termos. Se conseguir criar um mecanismo que permita recordar essas sequências, terá meio caminho andado para lembrar dos enunciados. 

Vamos por em prática. $$ {( ma + n)} {(ma – n)}^{2} $$ $${( ma + n)}{[(ma)^{2} – 2mna + n^{2}]} $$ $$ m^{3}a^{3} – m^{2}na^{2} – mn^{2}a + n^{3} $$

Vamos deixar os exercícios para um momento próximo. Esses são trabalhosos, mas em momentos de aplicação, ajudam a economizar um bocado de tempo no desenvolvimento de expressões maiores. Sem esquecer de um assunto que vem pouco à frente, que é a fatoração, onde fazemos o processo inverso do que fazemos aqui.

Curitiba, 15 de abril de 2016

Décio Adams

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Matemática – Álgebra – Produtos notáveis.

O que é algo notávelI? 

Tudo que tem uma característica que chama atenção, tem algo além do comum, pode ser apontado como algo notável. Então, a expressão Produtos notáveis tem algo de importante e que tem aplicações importantes em algum assunto mais adiante. Vejamos quais são esses casos.

Quadrado da soma de dois números. 

Você provavelmente irá pensar que é mais fácil efetuar a soma e depois calcular a potência, ou seja elevar ao quadrado. Mas, se os números estiverem representados por letras, ou letras e números, como fica? Vamos ver?

$${ a + b} $$ É a adição dos números representados por letras e fica indicada. Vamos elevar ao quadrado:

$${( a + b)}^2 $$ Temos a multiplicação de um binômio por ele mesmo. a é o primeiro termo e b é o segundo termo.

$${(a + b)}\cdot{(a + b)} $$ $$ {a}\cdot {a} + {a}\cdot{b} + {b}\cdot {a} + {b}\cdot{b}$$ $$ a^2 + ab + ba + b^2 $$ Há dois termos semelhantes, embora estejam com a ordem das letras invertida, isso não significa nada. Podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação e colocar ambos na mesma ordem.

$$ a^2 + ab + ab + b^2$$ $$ a^2 + 2ab + b^2$$ O resultado é um trinômio, cujo primeiro termo é o primeiro termo da soma elevado ao quadrado, o segundo termo é o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo e o terceiro termo é o quadrado do segundo termo da soma elevado ao quadrado. Isso nos permite estabelecer a regra que pode ser usada em qualquer caso de uma soma de dois números, elevada ao quadrado.

“O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Vamos aplicar isso em alguns exemplos:

a) $$ { (2x + y)}^2$$ Primeiro termo é 2x o segundo termo é y

$$ {(2x)}^2 + 2\cdot 2\cdot{x}{y} + y^2 $$ $$ 4x^2 + 4xy + y^2$$

b) $$ {(3m + 5)}^2$$ O primeiro termo é 3m e o segundo termo é 5.

$$ {(3m)}^2 + 2\cdot 3\cdot {m}\cdot 5 + 5^2$$ $$ 9m^2 + 30m + 25 $$

c) $${( 6 + 4xy)}^2$$ O primeiro termo é 6 e o segundo termo é 4xy.

$$ 6^2 + 2\cdot 6\cdot {(4xy)} + {(4xy)}^2 $$ $$36 + 48xy + 16x^{2}y^{2} $$

d) $$ {( p + 3 q)}^2$$ Primeiro termo é p o segundo termo é 3q.

$$ p^2 + 2\cdot {p}\cdot{3q} + {(3q)}^2 $$ $$ p^2 + 6pq + 9q^2$$

Quadrado da diferença de dois números

Da mesma forma que no caso da soma, também ocorre com a diferença. Os números são representados por letras, formando no final a multiplicação de dois binômios iguais. Seja o exempl:

$${( a – b)}^2 $$

 A letra a é o primeiro termo e a b é o segundo.

$${( a – b)}{(a – b)} $$ Cada termo do primeiro fator é multiplicado por todos os termos do segundo fator. O que resulta em:

$${a}\cdot {a} + {a}\cdot {(-b) } + {(-b)}\cdot {a} + {-b}\cdot{b} $$ $$ a^{(1+ 1)} – ab – ba + b^{(1 + 1)} $$ $$ a^2 – 2ab + b^2 $$

Os dois termos (- ab) e (-ba), são semelhantes, pois a ordem dos fatores pode ser alterada sem causar problemas no resultado. Assim passamos a ter que:

“O quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo multiplicado pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Vamos exercitar:

a) $${(x – y)}^2$$  O primeiro termo é a letra x e o segundo termo é a letra y.

$${(x – y )}{(x – y)}$$ $$ x^2 – 2xy + y^2$$

b) $${(3x – 2y)}^2$$ O primeiro termo é 3x e o segundo termo é 2y.

$${(3x)}^2 – 2\cdot {(3x)}{(2y)} +{(2y)}^2$$ $$ 9x^2 – 12xy + 4y^2 $$

c) $${(ab – bc)}^2$$ O primeiro termo é ab e o segundo termo é bc.

$${(ab – bc)} {(ab – bc)} $$ $${(ab)}^2 – 2\cdot{(ab)}{(bc)} + {(bc)}^2 $$ $$ a^{2}b^{2} – 2ab^{2}c + b^{2}c^{2} $$

d) $${(5 – 2a)}^2$$ $$ {(5 – 2a)}{(5 – 2a)}$$ $$ 5^2 – 2\cdot 5\cdot{2a} + {(2a)}^2$$  $$ 25 – 20a + 4a^2 $$

Obs.: Note que tanto o quadrado da soma como da diferença, resulta sempre em um trinômio, onde há dois termos que são quadrados e um termo que representa o produto dos dois termos. Costmeiramente esses trinômios recebem o nome de Trinômio quadrado perfeito. Voltaremos a falar neles em outro momento. 

Produto da soma de dois números pela sua diferença.

Sejam os números representados pelas letras b. A soma será (a + b) e a diferença será (a – b). Vamos multiplicar o binômio soma pelo binômio diferença.

$${(a + b) } {(a – b)} $$ $${a}{a} + {a}{(-b)} + {b}{a} + {b}{(-b)} $$ $$ a^2 – ab + ab – b^2$$ $$ a^2 – b^2$$

Notamos que os dois termos semelhantes, são simétricos e por isso sua soma é igual a zero, isto é, se anulam. O resultado é um binômio diferença entre as diferenças dos quadrados dos dois números. 

“O produto da soma de dois números pela sua diferença, é igual à diferença entre seus quadrados”. Poderíamos também dizer: O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo”. 

Vamos exercitar um pouco.

a) $$ {(mn + n)}{(mn – n)} $$ $$ {(mn)}^2 – n^2 $$ $$ m^{2}n^{2} – n^2 $$

b) $$ {(7 – 3x)} {(7 + 3x)} $$ $$ {7}^2 – {3x}^2 $$ $$ 49 – 9x^2 $$

c) $$ {(4x + 3z)}{(4x – 3z)} $$ $${(4x)}^2 – {(3z)}^2 $$ $$ 16x^2 – 9z^2 $$

d) $$ {( 1 + ab)}{( 1 – ab)} $$ $$ 1^2 -{(ab)}^2 $$ $$ 1 – a^{2}b^{2} $$

Curitiba, 09 de abril de 2016

Décio Adams

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