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Matemática, aritmética, regra de três simples.

Aplicação das proporções – Regra de três.

  • Uma das principais aplicações das proporções é a conhecida Regra de Três. Cabe talvez a pergunta, por que o nome Regra de Três? 

Na verdade, o nome se deve ao fato de serem fornecidos três valores e existir um quarto valor desconhecido. A existência de proporção entre esses valores, permite que seja determinado o quarto valor, através do conhecimento dos outros três.

Vamos ver um exemplo.

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Matemática, Aritmética, Razões, proporções e suas propriedades.

Proporções e suas propriedades.

  • No post anterior sobre o assunto, chegamos a ver três propriedades das proporções. Vamos lembrar:
  •  O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
  • Alternando os extremos entre si, a proporção continua existindo.
  •  Alternando os meios entre si, a proporção continua existindo. 

OBS.: Se aplicarmos as propriedades dois e três ao mesmo tempo, equivale a aplicar uma quarta propriedade.

  •  Invertendo as posições dos antecedentes com seus consequentes, continuamos a ter uma proporção. Vejamos o exemplo.
    • $\mathbf{\color{navy}{{2\over 3} = {6\over 9}}}$
  • Se invertermos teremos.
    • $\mathbf{\color{navy}{{3\over 2} = {9\over 6}}}$

Tanto na primeira como na segunda proporção teremos:

  • $\mathbf{\color{navy}{{2\cdot 9} = {3\cdot 6}}}$
  • $\mathbf{\color{navy}{{3\cdot 6}={9\cdot 2}}}$
  • Ambas as  multiplicações resultam em igualdades e dão o mesmo valor.

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Matemática, Aritmética, Razão, proporção.

Razão. 

  • Normalmente essa palavra se refere a habilidade humana de raciocinar, pensar, elaborar teorias e conceitos. Aqui, na matemática, ela tem um significado ligeiramente diferente. Denominamos razão à divisão indicada entre dois números. Facilmente ela é confundida com uma fração, o que aliás não chega a ser nada muito grave, contanto que saibamos algumas regras aplicáveis às razões. Vamos começar com um exemplo. O fato de poder ser representada da mesma forma como as frações, não atrapalha o desenvolvimento do assunto.
  • $$\bbox[4px, border:2px solid olive]{\mathbf{\color{olive} {5\div 8}}}$$
  • $$\bbox[4px, border:2px solid olive]{\mathbf{\color{olive} {5\over 8}}}$$
  • $$\bbox[4px, border:2px solid olive]{\mathbf{\color{olive} {5/8}}}$$

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Matemática, Aritmética, fração, razão, proporção.

Adição de frações.

 

  • Frações com o mesmo denominador.

  • Se os denominadores das frações são iguais, a adição será efetuada pela manutenção do denominador e adição dos numeradores.
  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\mathbf{\color{navy}{\frac{3}{7} + \frac{5}{7} + \frac{6}{7} = \frac{3 + 5 + 6}{7}}}}$
Frações de mesmo denominador

Tres frações de mesmo denominador.

 

  • Temos tres retângulos, divididos em sete partes iguais. No primeiro tomamos 3(três) partes, no segundo 5(cinco) partes e no terceiro 6(seis) partes.
  • Quantas partes iguais foram juntadas?
  • É fácil constatar que foram 14 partes. O que corresponde a exatamente dois inteiros.
  • $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\mathbf{\color{navy}{\frac {14}{7}  = 2}}}$
Frações de mesmo denominador (1)

A soma das frações representadas, totalizando dois inteiros, divididos em sete partes cada um.

 

 

  • No final foi possível fazer a divisão do numerador pelo denominador, resultando em um número inteiro. Vejamos outro exemplo.

 

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Matemática, Aritmética, Fração, Razão e Proporção.

Fração

  • Se você procurar no dicionário o significado da palavra fração, deverá encontrar entre diferentes respostas uma que é relativa ao que pretendo apresentar nesse artigo. Denominamos fração a um número representado pela divisão indicada de dois números quaisquer. Ao primeiro chamamos numerador e  é escrito acima de um traço horizontal ou inclinado para direita. Ao segundo chamamos denominador e é escrito abaixo do mesmo traço. Vejamos os exemplos:
  • \[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\mathbf{\color{brown}{\frac{3}{4}}}}\]
  • \[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\mathbf{\color{brown}{\frac{5}{7}}}}\]
  • \[\bbox[4px,border:2px solid olive]{\mathbf{\color{brown}{\frac {12}{9}}}}\]

No primeiro exemplo temos como numerador $\color{navy}{3}$ e denominador $\color{navy}{4}$. O numerador indica quantas partes do inteiro foram tomadas e o denominador, indica em quantas partes o inteiro foi dividido. Podemos representar isso gráficamente assim:

Fração 3-4 de um círculo

Fração três quartos de um inteiro.

 

Note que o circulo foi dividido em quatro partes iguais. Destas foi removida uma parte, restando três. Essa figura representa a fração

  • $\mathbf{\color{navy}{3/4}}$ ou $\mathbf{\color{navy}{\frac {3}{4}}}$

A parte que foi removida corresponde ao que falta para o inteiro e é representada pela fração

  • $\mathbf{\color{navy}{1\over 4}}$

Obs.: Repare no detalhe do numerador, partes tomadas e do denominador, partes em que foi dividido o inteiro.

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