Quando o máximo é menor e o mínimo é
maior.
– Uai! Como é que pode? O máximo é menor e o mínimo maior? Que trem mais esquisito é esse?
Com certeza haverá quem esteja se perguntando exatamente isso diante dessa afirmação. Isso não é assim tão estranho. Até bem comum em diversas situações da vida. Nesse caso especificamente, estou me referindo a uma curiosidade da matemática.
Lembram quando estudaram os números, as quatro operações: adição, subtração, multiplicação e divisão? Depois vieram algumas propriedades das operações como a associativa, comutativa e elemento neutro da adição? Em seguida apareceu também a associativa, comutativa, distributiva e elemento neutro da multiplicação? Também a ordem de precedência na realização das operações numa expressão aritmética: Primeiro se resolvem as multiplicações e divisões na ordem indicada, depois adição e subtração também na ordem indicada.
Cada um desses pequenos passos representa um degrau na grande escalada do edifício da matemática. Não podemos chegar ao topo, sem vencer cada um dos degraus. Mais ou menos nessa época apareceu uma coisa denominada mdc(máximo divisor comum) e mmc(mínimo múltiplo comum). Agora começa a brincadeira do mínimo maior e do máximo menor. Querem saber como?
Pois é. Vamos começar pelo MDC. Primeiro, vamos lembrar o que é um divisor. Damos esse nome a todo número pelo qual um outro número dado pode ser dividido.
Exemplo: 32. Por quais números o 32 pode ser dividido?
O primeiro sempre é o número 1. Sendo número par também é divisível por 2. Da taboada sabemos que o 4 também está entre os divisores de 32. Depois vem o 8 N e 16, além do próprio número 32, pois todo número é divisível por si mesmo. Portanto temos:
D(32) = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
Tomando outro exemplo: 48.
Novamente vamos encontrar, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48. Portanto:
D(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
Observando os dois conjuntos de números vamos ver que existem alguns repetidos e outros não.
D(32) = { 1, 2, 4,8,16, 32} D(48) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
Notem que os números em vermelho, fazem parte dos dois conjuntos. São pois os divisores comuns de 32 e 48. Qual deles é o Máximo divisor comum? Todos responderão que é 16. Agora eu pergunto, o 16 é maior ou menor do que 32 e 48?
Ninguém vai dizer que é maior. Todos vão dizer que é menor.
Daí se conclui que o máximo divisor comum é geralmente menor que os números. Em alguns casos pode ser igual ao menor dos números quando o outro é múltiplo deste. Como por exemplo: 15 e 45. O mdc é 15, pois 45 é múltiplo de 15. Ele ainda é menor do que um dos números.
O objetivo aqui não é dar aula de matemática, apenas chamar a atenção para essa curiosidade.
Vamos agora ao mínimo que é maior. Novamente vamos lembrar do mmc.
O que é um múltiplo de um número? O resultado da multiplicação desse número por outro. Vejamos o conjunto dos múltiplos do número 3.
O que é um múltiplo de um número? O resultado da multiplicação desse número por outro. Vejamos o conjunto dos múltiplos do número 3.
M(3) = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45,48,51,54,57,60,63,…}
Uai! Parou por quê? O que querem dizer aqueles três pontinhos no final?
Podem me dizer qual é o último número pelo qual podemos multiplicar o número 3? Alguém dirá que é infinito, outro poderá dizer que não existe e isso dá praticamente no mesmo. Significa que não haveria papel suficiente no mundo para escrever todo o conjunto dos múltiplos do número 3.
Vamos agora olhar os múltiplos do número 7.
M(7) = {7,14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, …}
Olhando para os dois conjuntos de números, vamos encontrar outra vez alguns que fazem parte dos dois.
Vejamos: mc(3,7) = {21, 42, 63, …}. Também aqui o conjunto não tem fim. Existem muitos outros múltiplos comuns aos números 3 e 7. Mas entre todos eles qual é o menor? Não há dúvida de que é 21 e ele é maior do que 3 ou 7. É o caso do mínimo que é maior. Outra vez temos o caso em que, um dos números é múltiplo do(s) outro(s) e então o mmc será igual a elel. Todavia ele continua sendo maior do que os outros. Porque “os” outros e não “o” outro? É que o mmc assim como o mdc não existem só para dois números, mas para quantos números quisermos e precisarmos. Esses conceitos são particularmente importantes em outras partes da matemática que vem mais tarde. Uma delas é a adição e subtração de frações onde usamos o tempo todo o mmc dos denominadores, para transformar as frações em semelhantes.
Se você lembra de alguma outra curiosidade, mande para mim pelo por um dos endereços de e-mail abaixo: