Matemática – Inequação do primeiro grau

Inequação! Que é isso?

Lembremos que uma equação é uma igualdadeentre duas quantidades, representadas por números, letras e expressões de letras com números. O prefixo in é uma negação. Assim a palavra inequação poderíamos dizer que é uma negação de uma equação. Em outras palavras é uma desigualdade. Existem alguns símbolos que usamos para indicar essas desigualdades como:

“Menor do que”$$\lt $$

“maior do que” $$\gt $$

“menor ou igual a” $$\le $$

“maior ou igual a”$$ \ge$$

“Diferente” $$ \neq $$

“Não menor do que” $$\not\lt $$

“Não maior do que”$$\not\gt $$

“Não maior ou igual a”$$\not\le$$

“Não maior ou igual a” $$\not\ge$$

Em determinados momentos, todos esses símbolos poder aparecer em uma expressão matemática. No caso presente, estudo das inequações, iremos usar principalmente os quatro primeiros. Vejamos uns exemplos: $$2x -3 \lt 0 $$ $$ x + 7 \gt 2 $$ $$ 8 -x \ge 5 $$ $$ 4 + x \le 2x $$

A determinação do conjunto verdade de uma inequação, é feita de modo semelhante ao procedimento adotado nas equações, com algumas peculiaridades próprias. Vamos pegar como exemplo a primeira das quatro citadas acima. $$2x – 3\lt 0$$ O objetivo é obter uma desigualdade que indique onde estão localizados os valores que servem para substituir  nessa inequação. Temos então que deixar o isolado no primeiro membro. $$ 2x – 3 + 3 \lt 0 + 3 $$ $$2x \lt 3 $$ $$ {{2x}\over 2} \lt {3\over 2} $$ $$ x \lt {3\over 2} $$ Isso nos mostra que todos os números reais, menores do que o número 3/2 servem para x, isto é, transformam a expressão em uma sentença verdadeira. Logo: $$ V = \{ x\in R | {x\lt {3\over 2}}\} $$ Representando o conjunto dos números reais numa reta numérica, o conjunto verdade dessa inequação será toda a extensão dessa reta, à esquerda do ponto que corresponde ao número 3/2.

Vejamos o segundo exemplo. $$ x + 7 \gt 2 $$ $$ x + 7 – 7 \gt 2 – 7 $$ $$ x \gt -5 $$ O conjunto verdade será $$ V =\{x\in R|{x \gt -5}\} $$ Igualmente aqui, se representarmos a reta numérica real, o conjunto verdade será formado por todos os números à direita do número (-5). O -5 fica excluído, assim como todos os números à sua esquerda.

A vez da terceira $$ 8 -x \ge 5 $$ $$ 8 – 8 – x \ge 5 – 8 $$ -x \ge -3 $$ Observe que o os dois membros da inequação são precedidos do sinal (-), o que nos indica que para melhor interpretação, devemos multiplicar a expressão toda (-1). Lembrando da reta numérica, vamos observar que a posição dos números negativos, fica invertida em relação ao zero(0), isto é, quanto maior for o módulo, mas à esquerda. A consequência disso é que, a multiplicação de uma inequação por (-1), inverte o sentido da desigualdade, ou seja se era $$\le$$, passa para $$\ge$$ e vice versa. Vamos ver como fica nosso exemplo. $$ {(-x \ge – 3)}\cdot{(-1)} $$ $$ x\le 3 $$ O conjunto verdade dessa inequação será pois: $$ V = \{x\in R|{x\le 3}\} $$ Neste caso o número 3, faz parte do conjunto verdade. Ficam excluídos apenas os números à direita do 3.

O último exemplo. $$ 4 + x \le 2x $$ $$ 4 – 4 + x \le 2x – 4 $$ $$ x – 2x \le 2x – 2x – 4 $$ $$ -x \le -4 $$ Novamente é preciso multiplicar por (-1), e inverter o sinal da desigualdade. $${(-x \le -4)}\cdot{(-1)} $$ $$ x \ge 4 $$ O conjunto verdade será composto por todos os números reais, desde o 4 inclusive, até infinito. $$V = \{x\in R|{x\ge 4}\} $$

O final da resolução de qualquer inequação de primeiro grau será sempre a variável, seguida de um sinal de desigualdade e depois um número. Se a variável tiver sinal negativo, devemos multilicar por (-1) e inverter o sinal da desigualdade. Isso não pode ser esquecido. 

Vamos “malhar”?

Determine o conjunto verdade das inequações a seguir.

$$ 4x – 7 \lt 2x + 1 $$ $$ 11 + 3x \gt – 8 $$ $$ – 6 + 2x \ge 3x + 1$$ $$ 6 \le 5 – 3x $$ $$ 3y + 4 \le 7 – y $$ $$ 15 – 4x \lt 11 + x $$ $$ 6x + 5\gt 4x – 7$$ $$ 2 + 7x \ge 6x + 4 $$

 Curitiba, 21 de maio de 2016

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Matemátida – Equação bi-quadrada

Equação bi-quadrada?

Achou engraçado o nome?! Pois é, apesar do nome é um tipo de equação do 4º Grau, porém incompleta. Vejamos. Uma equação do 4º Grau, completa fica assim em sua forma geral. $$ ax^4 + bx^3 + cx^2 +dx + e = 0$$ Grande, não é?! Essas equações são resolvidas por um método diferente e apenas para adiantar, elas podem ter até quatro raízes reais. Mas ainda não é o momento de estudarmos coisas desse nível. Então o que é essa tal de equação bi-quadrada? Eu disse no começo que ela é uma equação incompleta do 4º Grau. Sua forma geral pode ser apresentada assim: $$ax^4 + bx^2 + c = 0 $$ Ela não tem os termos onde a variável x aparece com expoente ímpar $$(x^3 ; x)$$

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Matemática – Sistemas de equações com duas incógnitas

Resolvendo os exercícios.

  1. Determine o conjunto verdade dos sistemas de equações a seguir.

a) $$ 3x – 2y = 10 $$ $$ x + y = 13 $$ O caminho mais fácil é exprimir o valor de uma das incógnitas em função da outra, partindo da segunda equação. $$ x + y = 13$$ $$ x – x + y = 13 – x $$ $$ y = 13 – x $$ Substituindo da outra equação, teremos: $$ 3x – 2\cdot{(13 – x)} = 10 $$ $$ 3x -26 + 2x = 10 $$ $$ (3x + 2x) – 26 + 26 = 10 + 26 $$ $$ 5x = 36 $$ $$ {{5x}\over 5} = {{36}\over 5} $$ $$ x = 7,2$$ Substituindo na outra expressão: $$ y = 13 – 7,2 $$ $$ x = 5,8 $$  $$ V = \{(5,8; 7,2)\} $$

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Sistemas de equações, com duas incógnitas.

Duas incógnitas

Até o último post falando de equações, vimos somente situações em que aparece apenas uma incógnita. E se nos depararmos com um problema em que haja duas incógnitas, como iremos proceder?

Com as ferramentas, ou seja, métodos de resolução vistos até agora, fica complicado. No entanto existem modos de chegarmos a uma resposta satisfatória. Depende das informações que tivermos a respeito dessas incógnitas. Geralmente é necessário saber de duas relações entre essas incógnitas, o que nos permitirá escrever duas equações envolvendo essas incógnitas e assim formaremos um sistema de duas equações. De posse dessas duas equações, aplicando o raciocínio adequado, poderemos determinar o valor das incógnitas.

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Matemática – Equações incompletas do segundo grau (Exercícios resolvidos)

Resolvendo exercícios

Determine o conjunto verdade das equações incompletas do segundo grau que seguem.

a. $$ 6x² = 0 $$ Um produto é nulo se um dos fatores é nulo. No caso, temos dois fatores onde um é igual a seis (6) e o outro $$ x^2$$. O único fator que pode ser nulo é o segundo e portanto: $$x^2 = 0 $$ $$ x = 0 $$  $$ V = \{0\} $$

b. $$ x² – 16 = 0 $$ Podemos aplicar o método abreviado ou reduzido na resolução dessa equação. Assim: $$ x^2 – 16 = 0 $$ $$ x^2 = 16 $$ $$\sqrt {x^2} = \sqrt{16} $$ $$ x = \pm {4 } $$ $$ V = \{ – 4, + 4\} $$

c. $$ 5x² – 125 = 0 $$ O mesmo caso do exercício anterior. $$ 5x^2 – 125 = 0 $$ $$ 5x^2 – 125 + 125 = 0 + 125 $$ $$ 5x^2 = 125 $$ $$ {{5x^2}\over 5} = {125\over {5}} $$ $$ x^2 = 25 $$ $$\sqrt{x^2} = \sqrt{25} $$ $$x = \pm 5 $$ $$ V = \{ -5, + 5\} $$

 

d. $$ 2x² + 10x = 0$$ Esta é uma equação incompleta do tipo em que o termo independente c é nulo. O procedimento agora é diferente, como vimos na parte explicativa.  $$ 2x^2 + 10x = 0 $$ Entre os dois termos da equação existe um fator comum $$ 2x $$ Vamos colocar em evidência esse fator comum, dividindo os dois membros por esse mesmo fator. $$ {2x} [{{2x^2 + 10x)}\over 2x}] = 0 $$ $$ 2x{(x + 5)} = 0 $$ Para concluir, vamos igualar os dois fatores a zero e obter as duas raízes correspondentes. $$ 2x = 0 $$ $$ x = 0$$ $$ x + 5 = 0 $$ $$ x + 5 – 5 = 0 – 5 $$ $$ x = -5 $$  $$ V = \{-5, 0\} $$

e. $$ 7x² – 49x = 0$$ O mesmo caso anterior. O fator comum entre os dois termos da equação é $$ 7x $$ Colocando em evidência: $${7x}[{{7x^2 – 49x}\over 7x}] = 0$$ $$ 7x[ x – 7] = 0 $$ Igualando os dois fatores a zero temos: $$ 7x = 0 $$ $$ x = 0$$ $$ x – 7 = 0 $$ $$ x – 7 + 7 = 0 + 7 $$ $$ x = 7 $$ $$ V = \{0, 7\} $$

f. $$ x² + 4x = 0 $$ Fator comum entre os dois termos $$ x $$. Colocando em evidência: $$ x\cdot[{{x^2 + 4x}\over x}] = 0 $$ $$ x\cdot [x + 4] = 0 $$ Igualando os fatores à zero, teremos: $$ x = 0$$ $$ x + 4 = 0 $$ $$ x + 4 – 4 = 0 – 4$$ $$ x = -4$$ $$V = \{-4, 0\} $$

g. $$ 3x² + 18x = 0$$ Mais um do mesmo tipo. Fator comum é $$ 3x $$ Colocamos em evidência: $${3x}\cdot({{3x^2 + 18x}\over {3x}}) = 0 $$ $$ 3x\cdot({x + 6}) = 0 $$ $$ 3x = 0 $$ $$ x = 0 $$ $$ x + 6 = 0 $$ $$ x + 6 – 6 = 0 – 6$$ $$ x = -6 $$ $$V = \{-6, 0\} $$

h. $$ 2x² + 12 = 0$$ Voltamos ao exemplo visto primeiro. Vamos resolver. $$2x^2 + 12 – 12 = 0 -12 $$ $$2x^2 = -12 $$ $${{2x^2}\over 2} = {-12\over 2} $$ $$ x^2 = -6 $$  $${ \sqrt{x^2}} = {\sqrt{-6}} $$ $$ {V = \emptyset} $$

i. $$ 10 x² – 90 = 0 $$ Vamos resolver. $$ 10 x^2 – 90 + 90 = 0 + 90 $$ $$ 10x^2 = 90 $$ $$ {{10x^2}\over 10} = {{90}\over 10} $$$$ x^2 = 9 $$ $$\sqrt{x^2} = \sqrt {9} $$ $$ x = \pm 3 $$ $$ V = \{-3, +3\} $$

Curitiba, 13 de maio de 2016

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Matemática – Equações do segundo grau. (Exercícios resolvidos)

Exercitando do discriminante.

Determine o conjunto verdade das equações do segundo grau, determinando primeiramente o discriminante para verificar o tipo de raízes, para depois obter seus valores.

  1. $$ x² – 5x + 6 = 0 $$ Para começar, iremos identificar os coeficientes da equação. $$ a = 1 $$ $$ b = -5 $$ $$ c= 6 $$ Calculando o discriminante: $$ \Delta = {b² – 4ac} $$ $$ \Delta = {(-5)² – 4\cdot 1\cdot 6} $$ $$ \Delta = 25 – 24 $$ $$ \Delta = 1$$ $$ \Delta \gt 0 $$ Isto significa que a equação tem duas raízes reais e diferentes entre si.  Podemos agora substituir na fórmula e calcular o restante. $$ x= {{-(-5)\pm\sqrt{\Delta}}\over 2\cdot 1} $$ $$ ={{5 \pm\sqrt{1}}\over 2} $$ $$ x= {{5 \pm 1}\over 2} $$ As raízes serão: $$ x’= {{5 + 1}\over 2} = {{6}\over 2} =3 $$ $$ x”= {{ 5 – 1 }\over 2} = {{4}\over 2} = 2 $$ O conjunto verdade é: $$ V = {\{2, 3\}} $$

2. $$ x² +3x -28 = 0 $$ Os coeficientes da equação: $$ a = 1$$ $$ b=3 $$ $$ c = -28$$ Vamos calcular o discriminante: $$\Delta = b² – 4ac $$ $$\Delta = {3² – 4\cdot 1\cdot{(-28)}} $$ $$\Delta = {9 + 112} = 121$$ $$\Delta\gt 0 $$ Também esta equação tem duas raízes reais e diferentes, pois o discriminante tem valor positivo. 

Vamos aplicar a fórmula: $$ x = {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2}$$ $$ x= {{- 3\pm\sqrt{121}}\over 2\cdot 1} $$ $$ x = {{-3 \pm 11}\over 2} $$ As raízes da equação serão respectivamente: $$x’ = {{-3 + 11}\over 2} = {{8}\over 2} = 4 $$ $$ x” = {{-3 – 11}\over 2} = {{-14}\over 2} = -7 $$  $$V= {\{-7, 4\}} $$

3. $$ x² -6x + 9 = 0 $$Os coeficientes da equação são: $$a = 1 $$ $$ b = -6$$ $$c = 9$$ Hora do discriminante: $$\Delta = b² – 4ac $$ $$\Delta= {(-6)² – 4\cdot 1\cdot 9} = {36 – 36} = 0$$ $$\Delta = 0$$ Temos diante de nós uma equação do segundo grau com duas raízes reais e iguais. 

Aplicando a fórmula: $$ x = {{- b \pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $$ $$ x = {{-(-6)\pm\sqrt{0}}\over 2\cdot 1}$$ As raízes serão: $$ x’ = x” = {{6}\over 2} = 3 $$ $$ V = {\{3\}}$$

4. $$ x² – 5x + 7 = 0 $$ Coeficientes: $$a=1$$ $$b= -5$$ $$c=7$$ Calculando o discriminante: $$\Delta = {b² – 4ac} $$ $$ \Delta = {(-5)² – 4\cdot 1\cdot 7} = 25 – 28 = -3$$ $$\Delta \lt 0$$ Equação sem solução no conjunto dos números reais, pois o discriminante é negativo. 

$$V= {\emptyset} $$

5. $$ x² + 7x + 15 = 0 $$ Coeficientes $$a = 1$$ $$b = 7$$ $$ c=15 $$ O discriminante fica: $$\Delta = {b² – 4ac} $$ $$\Delta = {7² – 4\cdot 1\cdot 15 } = {49 – 60} = -11$$ $$\Delta\lt 0$$ Mais uma equação sem solução no conjunto dos números reais. O discriminante é negativo. $$ V = {\emptyset}$$

6. $$ x² + 8x + 16 = 0 $$ Os coeficientes são: $$ a= 1 $$ $$b=8$$ $$c = 16$$ Vamos ao discriminante: $$\Delta = {b² – 4ac} $$ $$\Delta = {8² – 4\cdot 1\cdot 16} = {64-64} = 0 $$ $$ \Delta = 0 $$ Com o discriminante igual a zero, mais uma vez temos duas raizes reais e iguais. 

$$x= {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $$ $$ x= {{-8\pm\sqrt{0}}\over 2\cdot 1} $$ $$ x= {{-8}\over 2} = -4 $$ $$ x’ = x” = -4 $$ $$ V = {\{ -4\}} $$

7. $$ x² -4x – 77 = 0 $$ Coeficientes: $$a=1 $$ $$b=-4$$ $$c=-77$$ Calculando o discriminante: $$\Delta = {b² – 4ac} $$ $$\Delta ={(-4)² – 4\cdot 1\cdot (-77)} = 16 +308 = 324 $$ $$\Delta \gt 0$$ Com o discriminante positivo, temos duas raízes reais e diferentes. 

$$ x = {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $$ $$ x={{-(-4)\pm\sqrt{324}}\over 2\cdot 1} $$ $$x= {{ 4 \pm 18}\over 2} $$ As raízes são: $$x’ = {{4 + 18}\over 2} = {{22}\over 2} = 11$$ $$ x” = {{4 – 18}\over  2 } = {{-14}\over 2} = -7 $$ $$V = {\{-7, 11\}} $$

Curitiba, 11 de maio de 2016

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Matemática, radiciação de inteiros (Exercícios)

Vamos fazer os exercícios do post correspondente.

  1. Determine as raízes dos números nos radicais abaixo.

a. $$\sqrt[2]{+121} = ? $$ $$\sqrt[2] {+11²} = 11 $$

b. $$\sqrt[3]{-729} = ?$$ $$\sqrt[3]{-3⁶} = {-3³} = – 27 $$

c. $$\sqrt[5]{+32}=?$$ $$\sqrt[5]{+2⁵} = 2 $$

d. $$\sqrt[5]{-243}=?$$ $$\sqrt[5]{-3⁵} = -3 $$

e. $$\sqrt[4]{- 81} = ?$$ $$\sqrt[4]{-3⁴} = \emptyset $$

f. $$\sqrt[2]{+1296} =?$$ $$\sqrt[2]{2⁴\cdot 3⁴} = {2²\cdot 3²} = {4\cdot 9}= 36 $$

g. $$\sqrt[3]{-216} = ?$$ $$ \sqrt[3]{(-2)³\cdot(-3)³} = {(-2)\cdot(-3)} = – 6 $$

2. Simplifique as raízes apresentadas a seguir.

a. $$\sqrt[3]{+16200} = ? $$ $$ \sqrt[3]{2³\cdot 3⁴\cdot 5²} = 2\cdot 3\cdot{\sqrt[3]{3\cdot 5²}} = 6\cdot{\sqrt{ 75}} $$

b. $$\sqrt[5]{ – 3456} = ?$$ $$\sqrt[5]{(-2⁷)\cdot(-3)³} = \sqrt[5]{(-2)⁵\cdot(-2)²\cdot(-3)³} = -2\cdot{\sqrt[5] {4\cdot(-3)³}} = -2\cdot{\sqrt[5]{-108}}$$

c. $$\sqrt{+ 3456} = ? $$ $$ \sqrt{2⁷\cdot 3³} = \sqrt{2⁶\cdot 2\cdot 3²\cdot 3} = 2³\cdot 3\cdot{\sqrt{2\cdot3}} = 24\cdot{\sqrt 6} $$

d. $$\sqrt[4]{3⁶\cdot 5⁸\cdot 7⁴} =?$$ $$\sqrt[4]{3⁴\cdot 3²\cdot 5⁸\cdot 7⁴} = 3\cdot 5²\cdot 7\cdot{\sqrt[4]{3²}} = 175\cdot{\sqrt 3} $$

Curitiba, 11 de maio de 2016

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Matemática, Equações do segundo grau (Exercícios resolvidos)

Hora de exercitar.

Nosso cérebro, com todas as suas funções, pode ser comparado a um atleta. Quanto mais ele for bem tratado, alimentado, mas não submetido à exercícios, não será campeão de coisa nenhuma. Portanto vamos buscar os exercícios passados no post onde mostramos a fórmula de Bhaskara e resolvê-los juntos. Vale dizer que essa fórmula e tudo que diz respeito às equações do segundo grau, é de constante aplicação na continuação dos estudos de matemática, física e outras disciplinas. Qualquer caminho que você resolva seguir em seus estudos, haverá um momento ou mesmo muitos em que irá aplicar esse assunto.

Vamos aos exercícios portanto.

a. $${x^2 -4x + 3 = 0}$$ Vamos começar por identificar os coeficientes dessa equação. Isso sempre começa pela comparação com a forma geral da equação: $$ ax² + bx + c = 0 $$

$$ a = 1 $$ $$ b = -4 $$ $$ c = +3 $$ Feito isso podemos começar por substituir esses coeficientes na fórmula $$ x = {{-b \pm\sqrt{b² – 4ac}}\over 2a} $$ $$ x = {{ -(-4)\pm\sqrt{(-4)² – 4\cdot 1\cdot (+3)}}\over 2\cdot 1}$$ $$ x = {{+4 \pm\sqrt{16 – 12}}\over 2} $$ $$ x = {{ 4 \pm\sqrt{4}}\over 2}$$ $$ x = {{ 4 \pm 2}\over 2 } $$ Hora de determinar as duas raízes diferentes, que caracterízam as equações do segundo grau.  $$ x’ =  {{ 4 + 2}\over 2} = {6\over 2} = +3 $$

 $$ x” = {{ 4 – 2}\over 2} = {2\over 2} = + 1 $$

$$ V = \{ +1, +3\} $$

b. $$ {x^2 -2x – 15 = 0} $$ $$ a = 1 $$ $$ b = -2 $$ $$c = -15 $$

Substituindo $$ x = {{-(-2)\pm\sqrt{(-2)² -4\cdot a\cdot (-15)}}\over {2\cdot 1}} $$ $$ x = {{ +2 \pm\sqrt{+4 + 60}}\over 2} $$ $$  x = {{ 2 \pm\sqrt{64}}\over 2} $$ $$ x = {{2\pm 8}\over 2} $$  $$x’ = {{ 2 + 8}\over 2} $$ $$ x= {10\over 2} = 5 $$ $$ x” = {{2 – 8}\over 2} = {-6\over 2} = -3 $$

$$ V = {\{ -3, +5 \}} $$

c. $$ {x^2 + 2x -35 = 0}$$ $$ a = 1 $$ $$ b = 2 $$ $$ c = -35 $$

Substituindo: $$ x = {{ -2 \pm\sqrt{(+2)^- 4\cdot 1\cdot (-35)}}\over {2\cdot 1}} $$ $$ x = {{ -2 \pm\sqrt{4 + 140}}\over 2} $$ $$ x = {{ – 2\pm\sqrt{144}}\over 2} $$ $$ x = {{-2 \pm 12}\over 2} $$ $$ x’ = {{-2 + 12}\over 2} = {10\over 2} = 5 $$ $$ x”= {{-2 – 12}\over 2} = {-14\over 2} = -7 $$

$$V ={\{ -7 , +5\} } $$

d. $$ {4x^2 -8x + 3 = 0}$$ Identificando os coeficientes: $$ a = 4 $$ $$b = -8 $$ $$ c = 3 $$ Substituindo na fórmula: $$ x = {{-(-8) \pm\sqrt{(-8)² – 4\cdot 4\cdot 3}}\over{2\cdot 4}} $$ $$ x= {{ 8\pm\sqrt{64 – 48}}\over 8}$$ $$ x = {{8 \pm\sqrt{16}}\over 8}$$ $$ x = {{ 8 \pm 4}\over 8} $$ As raízes serão: $$ x’ = {{8 + 4}\over 8} = {12\over 8} = {3\over 2} $$ $$ x” = {{8 – 4}\over 8} = {4\over 8} = {1\over 2} $$ $$ V = {\{{{1\over 2}, {3\over 2}}\}} $$

e. $${3x^+ 5x – 2 = 0} $$ Os coeficientes são: $$a = 3 $$ $$b = 5 $$ $$c = -2 $$ Substituindo na fórmula teremos: $$ x = {{-(-5)\pm\sqrt{(-5)² – 4\cdot 3\cdot (-2)}}\over {2\cdot 3}} $$ $$x = {{ 5 \pm\sqrt{25 + 24}}\over 6}$$ $$x = {{5\pm\sqrt{49}}\over 6} $$ $${{ 5 \pm 7}\over 6} $$ As raízes serão: $$ x’ = {{5 + 7}\over 6} = {12\over 6} = 2 $$ $$ x” = {{5 -7}\over 6} = {- 2\over 6} = {-{1\over 3}} $$

$$ V = {\{-{1\over3}, 2\}} $$

 f. $$ {4x^2 + 4x – 15 = 0}$$ Os coeficientes numéricos são: $$ a=4 $$ $$b = 4 $$ $$c=-15 $$ Substituindo na fórmula fica: $$ x= {{- 4 \pm\sqrt{4² – 4\cdot 4\cdot(-15)}}\over {2\cdot  4}} $$ $$ x = {{-4\pm\sqrt{16 +240}}\over 8} $$ $$ x= {{-4 \pm\sqrt{256}}\over 8}$$ $$ x = {{-4 \pm {16}}\over 8} $$ As raízes são pois: $$x’ = {{-4+16}\over 8} = {{12}\over 8} = {{3}\over 2} $$ $$ x” = {{-4 – 16}\over 8} = {{-20}\over 8} = {{-5}\over 2} $$

 $$ V = {\{-{{5}\over2}, {{3}\over 2}\}} $$

g. $${x^2 + 3x – 40 = 0}$$ Os coeficientes são: $$a = 1$$ $$b = 3 $$ $$ c = -40$$ Vamos substituir na fórmula: $$x={{- 3\pm\sqrt{3² – 4\cdot 1\cdot (-40)}}\over{2\cdot 1}}$$ $$ x = {{-3\pm\sqrt{9 + 160}}\over 2} $$ $$x={{-3\pm\sqrt{169}}\over 2} $$ $$ x= {{- 3\pm 13}\over 2} $$ As raízes serão: $$ x’ ={{-3 + 13}\over 2} = {{10}\over 2} = 5$$ $$x”= {{-3 – 13}\over 2} = {{-16}\over 2} = -8 $$

$$ V = {\{ {- 8}, 5\} } $$

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Matemática – Equações incompletas do segundo grau.

Incompletas?

Isso mesmo. Até o presente momento, vimos só as equações do segundo grau, ditas completas, isto é, contendo coeficientes numéricos diferentes de zero em todos os termos, na forma geral. $$ ax² + bx + c = 0 $$

Mas há as equações do segundo grau que tem um dos coeficientes igual a zero (0), com exceção do a, pois nesse caso deixaria de ser do segundo grau, passando a ser uma equação do primeiro grau. Temos, pois, a possibilidade de uma equação com o coeficiente ou c igual a zero (0). Elas ficam com a forma: $$ ax² + c = 0$$ $$ ax² + bx = 0 $$ $$ ax² = 0 $$

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Matemática – Álgebra, equação do segundo grau. Relação entre coeficientes e raizes.

As raízes das equações e os coeficientes numéricos

Nós já vimos a influência dos coeficientes na existência ou não de raízes nas equações do segundo grau, calculando o coeficiente numérico. Agora nós iremos analisar o que tem a ver a soma e o produto das raízes, com os coeficientes numéricos da equação. Partimos da fórmula de Bhaskara.

$$ x = {{- b \pm\sqrt{b² – 4ac}}\over 2a} $$

Podemos obter as raízes separadamente, pela soma e subtração da raiz quadrada do discriminante. $$ x’ = {{-b +\sqrt{b² – 4ac}}\over 2a }$$ $$x” = {{-b – \sqrt{b² – 4ac}}\over 2a} $$

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