Matemática. Aritmética – Valores absolutos e relativos dos algarismos.

Sistema de numeração decimal.

Durante séculos, mais provavelmente milênios, o homem usou vários sistemas para contar suas coisas. As pesquisas arqueológicas e mesmo documentos escritos em diferentes meios e formas, nos trazem notícias de sistemas de numeração com diferentes bases. Provavelmente isso já era uma evolução em relação a uma forma mais rudimentar, onde se tentaria associar um símbolo a cada quantidade, tornando o sistema de qualquer cálculo algo simplesmente impossível. 

Números hieroglíficos egípcios

Números hieroglíficos egípcios

Quando percebeu que era possível usar uma quantidade limitada de símbolos para escrever números de valores elevados, sem o menor problema, o homem adotou alguns sistemas. Os sumérios e mais tarde os babilônios seguidos pelos assírios, adotaram um sistema de numeração sexagesimal, do qual herdamos a contagem do tempo em horas, minutos e segundos. Os ângulos em graus, minutos e segundos.

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Matemática. Aritmética-Numeros primos e divisibilidade.

Divisibilidade.

Recordando os critérios de divisibilidade, vamos resolver alguns exercícios sobre o assunto, antes de continuarmos com os outros casos. 

  • Verifique a divisibilidade dos números a seguir.
    • $\color{navy}{1546}$
    • O último algarismo é par e portanto é divisível por 2 (dois). $\color{navy}{1546\div 2= 773}$
    • A soma dos algarismos $\color{navy}{S=1+5+4+6= 16}$. Esse número não é divisível por $\color{navy}{3}$ e portanto o primitivo também não é.
    • termina em $\color{navy}{6}$ e assim não é divisível por $\color{navy}{5}$.
    • O dobro do último algarismo é $\color{navy}{2\cdot 6 = 12}$. Subtraindo esse valor do número formado pelos algarismos restantes, temos $\color{navy}{154 – 12 = 142}$. O número obtido não é divisível por $\color{navy}{7}$.
    • A soma das ordens pares e ímpares $\color{navy}{S_i = 6 + 5 = 11}$ e $\color{navy}{S_p= 4 + 1 = 5}$. A diferença entre essas somas $\color{navy}{S_i – S_p = 11 – 5 = 6}$. Como resultado não é mútiplo de $\color{navy}{11}$, o número também não é divisível por $\color{navy}{11}$.

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Matemática. Aritmética – Curiosidade.

Curiosidade!

Múltiplos de 11

Múltiplos de 11

Não sei se é realmente uma curiosidade, ou se estou “redescobrindo” a roda. Mas estava eu às voltas com os critérios de divisibilidade, objeto de um artigo que publiquei em dias passados, quando me ocorreu verificar o caso do número $\color{navy}{ 11}$. Eu estava buscando um número de vários algarismos e que fosse divisível por $\color{navy}{ 11}$. Lembrei que basta repetir um número, numa linha abaixo, deslocando o algarismo das unidades para as dezenas e assim até o final. Feito isso efetua-se a soma, resultando um número divisível. Vejamos como isso funciona para não deixar dúvidas.

Na figura está efetuada a multiplicação de $\color{navy}{475\cdot 11} = \color{red}{5225}$. No momento de fazer a multiplicação, vemos que multiplicamos o número duas vezes por $1$, apenas escrevendo os resultados com as colunas deslocados, uma vez que o segundo representa a multiplicação por $\color{navy}{10}$ e poderíamos completar a coluna das unidades colocando ali um $\color{navy}{ 0}$. Um detalhe importante a ser notado, é que o último algarismo do produto é sempre igual ao último algarismo do número multiplicado por $11$.

Prova Real da adição é feita subtraindo do total, uma das parcelas. Isso me levou a fazer o que segue. Peguei o número, nesse caso $\color{navy}{ 5225}$, escrevendo sob o algarismo das unidades o algarismo $0$ e subtraindo. Depois escrevi sob o algarismo das dezenas o resto da primeira subtração, ou seja o último algarismo. Efetuei a subtração e repeti o processo, até subrtrair o último algarismo que deu $0$.  

Divisibilidade por 11

Divisibilidade por 11

Note que, ao escrever o último resto, como próximo algarismo do subtraendo dessa operação, estava repetindo o resto, tendo o $0$ no final. Vejamos como isso terminou, colocando agora o $7$, até tereminar.

Divisibilidade por 11.1

Divisibilidade por 11.1

Podemos notar que os mesmos algarismos do resto, estão na posição do subtraendo e o último algarismo da esquerda no resto deu $0$.

Pela regra encontrada nos critérios de divisibilidade em geral, faríamos a adição dos allgarismos de ordem ímpar e os de ordem par, subtraindo um do outro. Se o resultado for divisível por $11$, o número analisado também é divisível. Vamos ver:

  • $\color{navy}{S_i = 5 + 2 = 7}$
  • $\color{navy}{S_p = 2 + 5 = 7}$
  • $\color{navy}{S_i – S_p = 7 – 7 = 0}$
  • O número $0$ é divisível por qualquer número e portanto também por $11$. Logo o número $5225$ é divisível por $11$.
  • Vamos ver se isso funciona com outro número, que não seja divisível. Por exemplo $\color{navy}{7439}$. Pelo critério geralmente usado teremos:
  • $\color{navy}{S_i = 9 + 4 = 13}$
  • $\color{navy}{S_p=3 + 7 = 10}$
  • $\color{olive}{S_i – S_p = 13 – 10 = 3}$, que não é divisível por $11$, indicando que o número $\color{navy}{7439}$ também não é.
  • Como fica aplicando o procedimento que eu observei.
  • Divisibilidade por 11.2

    Divisibilidade por 11.2

    Vemos que tudo foi igual ao outro exemplo, menos na última subtração, onde não foi possível fazer $\color{navy}{6 – 9}$ e não tínhamos vizinho à esquerda para emprestar. Poderia ter ocorrido que a subtração fosse possível, mas desse diferente de $0$. Nesse caso, o número $\color{navy}{7439}$ não é divisível por $\color{navy}{11}$.

  • Estou apresentando como uma “curiosidade”, para que mais pessoas testem o procedimento e deem sua opinião. Talvez até já seja do conhecimento de outras pessoas, mas não seja considerado algo digno de nota. Quem ler e testar, pode me dar sua opinião a respeito. Talvez seja possível desenvolver alguma discussão a respeito. 
  • Para colocar em teste, vamos observar mais alguns exemplos.
    • $\color{brown}{{34793}\div {11} = ?}$
      • Pelo critério geralmente usado
        • $\color{olive}{S_i = 3 + 7 + 3 = 13}$
        • $\color{olive}{S_p = 9 + 4 = 13}$
        • $\color{navy}{s_i – S_p = 13 – 13 = 0}$ $\rightarrow$ é divisível por $11$.
      • Pelo procedimento por mim apresentado.
      • Divisibilidade por 11.3

        Divisibilidade por 11.3

        Podemos observar nitidamente que o resto e o subtraendo tem os mesmos algarismos, com a exceção do $0$, o que indica a multiplicação por $10$. Mas o último algarismo da esquerda agora foi igual a $0$, indicando divisibilidade por $11$.

  • $\color{olive}{{76549}\div {11} = ?}$
  • Divisibilidade por 11.4

    Divisibilidade por 11.4

    Ao lado o procedimento que identifiquei. O $0$ na última posição do resto, indica divisibilidade.

  • Pelo critério geral.
  • $\color{navy}{S_i =9 + 5 + 7 = 21}$
  • $\color{navy}{S_p = 4 + 6 = 10}$
  • $\color{nav}{S_i – S_p = 21-10 =11}$, isto também indica divisibilidade por $11$.

 

 

  • $\color{olive}{{457963}\div{11} =?}$
  • Divisibilidade por 11.5

    Divisibilidade por 11.5

    Do lado direito está feita a demonstração pela subtração e o resultado indica que o número $\color{olive}{457963}$ é divisível por $\color{olive}{11}$.

  • Usando o critério comum.
    • $\color{navy}{S_i=3+9+5 =17}$
    • $\color{navy}{S_p=6+7+4=17}$
    • $\color{olive}{S_i-S_p=17-17=0}$, indicando divisibilidade.
  • Podemos observar que nos casos em que o número é divisível, os dois critérios conferem no resultadeo.
  • Vamos usar números não divisíveis para ver.
    • $\color{olive}{{73259}\div{11} =?}$
    • Divisibilidade por 11.6

      Divisibilidade por 11.6

      Pela subtração, notamos que não foi possível fazer a última subtração, pois não é possível fazer $6 – 7$, nessa forma. Não é divisível por $11$.

    • Pela adição das ordens.
    • $\color{navy}{S_i=9+2+7=18}$
    • $\color{navy}{S_p=5+3=8}$
    • $\color{navy}{S-i-S_p=18-8=10}$, não é divisível por $11$.

 

 

  • $\color{olive}{{827568}\div{11} =?}$
  • Divisibilidade por 11.7

    Divisibilidade por 11.7

    O método da subtração mostra que não é divisível, pois o último algarismo da esquerda deu diferente de $0$.

  • Pela adição das ordens.
    • $\color{navy}{S_i=8+5+2=15}$
    • $\color{navy}{S_p=6+7+8=21}$
    • $\color{olive}{S_p-s_i=21-15=6}$, não é divisível por $11$.

Os exemplos  mostrados permitem deduzir que o procedimento é válido e, dependendo da prática, pode ser até mais rápido do que o outro. Vamos ver qual será a opinião dos meus leitores.

Obs.: Se você ler essa matéria, testar e julgar válida minha demonstração, me mande sua opinião. Se julgar inútil, ou sem validade, também me informe, para que possa ter uma ideia da aceitação ou não do procedimento. 

Curitiba, 21 de julho de 2016.

Décio Adams

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Matemática. Aritmética – Números primos, primos entre si.

  • Números primos

  • Oigalê! Números também tem primos e primas, que nem a gente?

Na verdade é a denominação dada a um grupo de números com uma característica bem definida. Se verificarmos sua família de divisores, veremos que ela tem somente dois elementos. O número 1 (um) e o próprio número. São números que não são divisíveis por outros números, além da unidade e de si próprios. Vejamos.

  • $\color{navy}{ fd(1) = \{1\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(2) = \{1, 2\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(3) = \{1,3\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(4) = \{1,2,4\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(5) = \{1,5\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(6) = \{1,2,3,6\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(7) = \{1,7\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(8) = \{1,2,4,8\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(9) = \{1,3,9\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(10)= \{1,2,5,10\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(11)= \{1,11\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • $\color{navy}{ fd(12)= \{1, 2, 3, 4, 6, 12\}}$ $\rightarrow$, não é primo.
  • $\color{navy}{ fd(13)= \{1,13\}}$ $\rightarrow$, é primo.
  • Notamos que aos poucos os números primos vão ficando mais esparsos no meio dos números divisíveis por outros números. Para saber se um número é primo ou não, existem meios de fazer isso. Quando se trata de um número de valor mais elevado, demorarímos algum tempo, tentando escrever todos os seus divisores. E daí entramos com um outro recurso.

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Matemática – Aritimética. Múltiplos e sub-múltiplos.

Múltiplos e sub-múltiplos.

  • Já estudamos a multiplicação e sua inversa, a divisão.
  • A tábuada nos mostra o resultado da multiplicação dos números $le 10$ entre si. O verbo multiplicar nos leva a palavra múltiplo. O resultado da multiplicação nos fornece um múltiplo do número multiplicado. Dessa forma podemos definir uma família de múltiplos para qualquer número. Por exemplo: $fm(3) =?$. Essa família será um conjunto de todos os múltiplos do número 3 (tres). Começaremos  multiplicando por $\{0,1,2,3,4,5…\}$ e assim sucessivamente. Logo essa família é infinita. 
  • $\color{navy}{fm(3) = \{0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, …\}}$
  • $\color{navy}{fm(5) =\{0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, …\}}$
  • Percebemos imediatamente que todas as famílias de múltiplos começam com o número 0 (zero), pois todos serão multiplicados por ele e o resultado só pode ser esse. A multiplicação de cada número por 1 (um), dá o próprio número e assim sucessivamente.
  • Podemos escrever de modo genérico \[\bbox[5px,border: 2px solid olive]{\color{brown}{fm(n) = \{0\cdot n, 1\cdot n, 2\cdot n, 3\cdot n, …\}}}\]

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Matemática – Aritmética: Quatro operações – Divisão (parte 2).

Divisão.

  • Vamos continuar aprendendo mais um pouco.
  • Vou tentar apresentar alguns exemplos onde apareçam as dificuldades que podem atrapalhar e explicar como se procede para contornar.
  • Vejamos o caso: $\color{navy}{1516\div 76 = ?}$
  • Divisão de números na chave 7

    Divisão de números na chave 7

    Temos que dividir os três primeiros algarismos do dividendo, para ser possível. Observe que $15\div 7 = 2$. Isso nos daria o primeiro algarismo do quociente igual a 2. Mas, ao multiplicar $2\times 76 = 152$ e não é possível subtrair esse valor de $151$. Assim, temos que reduzir o primeiro algarismo do quociente para 1. Isso acontece com frequência. É preciso ter cuidado para não se perder nesse momento.

  • Divisão de números na chave 8

    Divisão de números na chave 8

    Colocando 1 no quociente e fazendo a multiplicação, subtraimos de $151-76 = 75$. O resto é 75. Note que faltou pouco para o quociente ser $2$.

  • Baixamos o $6$ para a direita do resto e temos o número $756$. Importante notar que nunca se colocam dois algarismos de uma vez no quociente. Por isso o máximo que pode aparecer é $9$, nunca mais. A multiplicação $9\times 76 = 684$, subtraimos  $756-684=72$.
  • Temos portanto o resultado da divisão: $\color{navy}{1516\div 76 = 19}$, $\color{navy}{resto = 72}$ $\Leftrightarrow $ $\color{navy}{19\times 76 + \color{red}{72} = 1516}$
  • $\color{navy}{5356\div 52 = ?”}$

    Divisão de números na chave 9

    Divisão de números na chave 9

  • O primeiro algarismo do quociente será 1 (um) e teremos resto 1. Ao baixarmos o próximo algarismo, forma-se o número $15\lt 52$ e neste caso escrevemos, como próximo algarismo do quociente um $0$ (zero), antes de baixar o outro algarismo, formando agora o número $156$.
  • A divisão de $15\div5 = 3$ o que deve permitir divisão por 3 (três). Multiplicando $3\times 52 = 156$, que subtraindo do dividendo, deixará resto 0 (zero). Resulta que $\color{navy}{5356\div 52 = 103}$, $\color{navy}{resto = 0}$ $\Leftrightarrow$ $\color{navy}{103\times 52 = 5356}$.

 

  • $\color{navy}{4009\div 64 = ?}$
  • Divisão com números na chave 10

    Divisão com os números na chave 10

    Os dois primeiros algarismos do dividendo formam um número menor que o divisor $40\lt 64$. Então temos que começar dividindo o número com três algarismos $400\gt 64$. Dividindo $40\div 6 = 6$, resto 4. Devemos ter como primeiro algarismo do quociente o 6 (seis). $6\times 64 =384\lt 400$. Subtraindo $400 – 384 =16$.

  • Escrevemos ao lado direito do resto o último algarismo do dividendo, formamos 169. A divisão $16\div 6 = 2$ com resto 4. O próximo algarismo do quociente será 2. $2\times 64 = 128$, que subtraído $169 – 128 = 41$. O quociente da divisão será pois 62 e o resto 41. Podemos escrever: $\color{navy}{4009\div 64 = 62}$, $\color{navy}{resto = 41}$, $\Leftrightarrow$ $\color{navy}{62\times 64 +\color{red}{41} = 4009}$

 

  • $\color{navy}{2401\div 49 = ?}$
Divisão de números na chave 11

Divisão de números na chave 11

  • O número para começar a divisão, deve ter três algarismos, pois $24\lt 49$. Então $24\div 4 = 6$. Fazendo $6\times 49 = 294\gt 240$ o que não permite a divisão. Diminuimos para $5\times 49 = 245\gt 240$, também não permite a divisão. Devemos começar com o algarismo $4$ no quociente. Multiplicando $4\times 49 = 196$. Subtraindo $240 – 196 = 44$.
  • Escrevemos à direita do resto o último algarismo do dividendo ficamos com $441$. Dividindo $44\div 4 = 11\gt 9$. Portanto o próximo algarismo pode ser no máximo $9$. Multiplicamos $9\times 49 = 441$. Subtraimos $441 – 441 = 0$. Então:
  • $\color{navy}{2401\div 49 = 49}$,$\color{navy}{resto = 0}$ $\Leftrightarrow$ $\color{navy}{49\times 49 = 2401}$.

 

  • $\color{navy}{2581\div 89 =?}$
    Divisão de números na chave 12

    Divisão de números na chave 12

    A divisão começa pelo número $258$, onde temos $25\div 8 = 3$, restando 1. Multiplicando $3\times 89 = 267\gt 258$. Temos que diminuir uma unidade. Agora $2\times 89 = 178$, que diminuído $258 – 178 = 80$.

  • Escrevendo o algarismo final 1 à direita do resto fica $801$. Para saber o valor do próximo algarismo do quociente, vejamos quanto dá $80\div 8 = 10\gt 9$, por isso devemos usar no máximo $9$. Multiplicamos $9\times 89 = 801$. Diminuimos $801 – 801 = 0$.
  • $\color{navy}{2581\div 89 = 29}$, $\color{navy}{resto = 0}$, $\Leftrightarrow$ $\color{navy}{29\times 89 = 2581}$.
  • Exercícios, lá vamos nós!

  • Efetue as divisões a seguir, usando para isso a forma de escrever os termos dentro da chave e realizando as operações, passo a passo. 
    • $\color{olive}{3792\div 65 =?}$
    • $\color{olive}{7921\div 89  = ?}$
    • $\color{olive}{4036\div 53  = ?}$
    • $\color{olive}{5123\div 47 =?}$
    • $\color{olive}{3584\div 37 = ?}$
    • $\color{olive}{10548\div 96 =?}$
    • $\color{olive}{3230\div 65 = ?}$
    • $\color{olive}{3792\div 72 = ?}$
    • $\color{olive}{9486\div 75 +?}$
    • $\color{olive}{5392\div 82 +?}$

Obs.: Em caso de qualquer dúvida, faça contato com um dos meios abaixo para tirar suas dúvidas. Mande outro tipo de dúvida que tentarei ajudar se for possível. 

Curitiba, 14 de julho de 2016.

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Matemática – Aritmética – Quatro operações – Divisão.

Divisão

 

  • Divisão. Do mesmo modo que a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a inversa da multiplicação.

Vamos tomar um exemplo.

  • A mãe volta do trabalho e passa pelo mercado. Compra os mantimentos necessários para fazer a janta e café da manhã. Para agradar seus três filhos, passa na seção de balas e doces, pegando um pacote de bombons, com 15 unidades.

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Matemática – Aritmética – Quatro operações – Multiplicação (parte 2)

Multiplicação

  • Vamos ver como se procede para multiplicar fatores com múltiplos algarismos. No post anterior, multiplicamos números com vários algarismos, por um algarismo. Mas há muitas situações em que isso não basta.
  • $\color{navy}{15\times 327= ?}$
  • Vamos começar por escrever os dois números na forma de colunas, sempre colocando como multiplicando o fator com mais algarismos.
  • Multiplicação com fatores de vários algarismos 7.1

    Multiplicação com fatores de vários algarismos 7.1

    Iniciamos multiplicando o algarismo das unidades do multiplicador (5), pelo algarismo das unidades do multiplicando. $\color{navy}{5\times 7 = 35}$. Resulta 3 dezenas e cinco unidades. Até aí fazemos igual ao que já vimos. O 5 (cinco), é escrito na coluna das unidades.

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Matemática – Quatro operações – Multiplicação.

Multiplicação.

– Vamos supor que nos seja proposta a soma:

3 laranjas + 3 laranjas + 3 laranjas = 9 laranjas.

  • $\color{navy}{3 + 3 + 3 = 9}$
  • Quantas parcelas de 3 laranjas foram somadas?
  • A resposta será: 3 parcelas.

A matemática sempre procura uma forma de escrever as coisas de maneira mais simplificada, mais compacta. Nesse caso, uma soma de 3 parcelas de 3 laranjas, pode ser representada pela multiplicação

  • $\color{navy}{3\times 3}$ laranjas = 9 laranjas.
  • Podemos representar isso na forma de reunião de conjuntos do quantidades iguais de elementos.

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Matemática – Aritmética, Quatro operações – Subtração

  • Subtração

  • Em que consiste a subtração?

  • Consiste em retirar, de um grupo de objetos, um determinado número desses objetos. O grupo de onde retiramos recebe o nome de minuendo e o grupo que retiramos, recebe o nome de subtraendo. Ao que sobra do minuendo, damos o nome de resto. 

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