Matemática – Função do primeiro grau, Função afim (continuação).

Vamos dar mais um passo?

Na última vez que falamos desse assunto, vimos duas funções do tipo denominado função afim e deixamos alguns exercícios. Mas o assunto não ficou esgotado. Há mais coisas a saber sobre isso. Do mesmo modo que as funções lineares, também essas podem ter coeficiente angular negativo, isto é, apresentar-se na forma gráfica, inclinadas ao contrário dos dois exemplos vistos. Vejamos o primeiro.

Determinaremos alguns pares ordenados e representaremos graficamente a seguinte função $\color{navy}{y = f(x)}$ $\Rightarrow$ $\color{blue}{y = -2x + 2}$

  • para $x = -4$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{(-4)} +2 = 10$, par $\color{navy}{(-4,10)}$
  • para $x = -2$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{(-2)} +2 = 6$, par $\color{navy}{(-2,6)}$
  • para $x = 0$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{0} +2 = 2$, par $\color{maroon}{(0,2)}$
  • para $x = 2$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{2} +2 = -2$, par $\color{navy}{(2,-2)}$
  • para $x = 4$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{4} +2 = -6$, par $\color{navy}{(4,-6)}$
  • para $x = 6$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{6} +2 = -10$, par $\color{navy}{(6,-10)}$

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Note que o valor de y, correspondente a  x = 0, é 2. Ou seja, o coeficiente linear da função é \[\color{navy}{b = 2}\]

Escolhendo dois pares ordenados para determinar o coeficiente angular, por exemplo $\color{navy}{(-4, 10) (0, 2)}$. Determinaremos os intervalos dos dois pontos em cada eixo.

\[\Delta x = {- 4 – 0} = -4 \] \[\Delta y = 10 – 2 = 8\]

\[\color{navy}{a = \frac{\Delta y}{\Delta x}}\] \[ a = \frac{8}{(-4)} = -2\]

 Observamos que o coeficiente angular, continua sendo igual ao coeficiente do termo que contém a variável x.

Variando o coeficiente linear, pela simples troca de seu sinal a função fica $\color{navy}{y = -2x – 2}$. Determinaremos os pares ordenados e representaremos no plano cartesiano.

  • para $x = -6$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{(-6)}-2 = 10$, par $\color{navy}{(-6,10)}$
  • para $x = -4$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{(-4)}-2 = 6$, par $\color{navy}{(-4,6)}$
  • para $x = -2$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{(-2)}-2 = 2$, par $\color{navy}{(-2,2)}$
  • para $x = 0$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{0}-2 = -2 $, par $\color{maroon}{(0,-2)}$
  • para $x = 2$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{2}-2 = -6$, par $\color{navy}{(2,-6)}$
  • para $x = 4$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{4}-2 = -10$, par $\color{navy}{(4,-10)}$.

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O coeficiente linear é $|color{navy}{b = -2}$.

O coeficiente angular, também deverá dar igual ao outro caso. Vejamos dois pontos $\color{blue}{\{((-4,6)(2,-6)\}}$. Determinando os intervalos em  x.

\[\Delta y = 6 -(-6) = 12 \] \[\Delta x = -4 -2 = -6\]

\[\color{navy}{a =\frac{\Delta y}{\Delta  x}}\] \[a = \frac{12}{(-6)} = -2\]

As duas funções tem por gráficos duas retas paralelas. O que as diferencia, ou distingue entre si são seus coeficientes lineares.

Vejamos como ficam os gráficos de duas funções que tenham coeficientes angulares simétricos e coeficientes lineares iguais. Podemos usar a mesma equação inicial e trocar o sinal do coeficiente angular.

$\color{navy}{y = f(x)}$ $\Rightarrow$ $\color{blue}{y = -2x + 2}$

  • para $x = -4$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{(-4)} +2 = 10$, par $\color{navy}{(-4,10)}$
  • para $x = -2$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{(-2)} +2 = 6$, par $\color{navy}{(-2,6)}$
  • para $x = 0$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{0} +2 = 2$, par $\color{maroon}{(0,2)}$
  • para $x = 2$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{2} +2 = -2$, par $\color{navy}{(2,-2)}$
  • para $x = 4$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{4} +2 = -6$, par $\color{navy}{(4,-6)}$
  • para $x = 6$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot{6} +2 = -10$, par $\color{navy}{(6,-10)}$

Trocando o sinal do coeficiente angular

$\color{navy}{y = f(x)}$ $\Rightarrow$ $\color{blue}{y = 2x + 2}$

  • para $x = -6$ $\Leftrightarrow$ $y=2\cdot{(-6)} +2 = -10$, par $\color{navy}{(-6,-10)}$
  • para $x = -4$ $\Leftrightarrow$ $y= 2\cdot{(-4)} +2 = -6$, par $\color{navy}{(-4,-6)}$
  • para $x = -2$ $\Leftrightarrow$ $y= 2\cdot{(-2)} +2 = -2$, par $\color{navy}{(-2,-2)}$
  • para $x = 0$ $\Leftrightarrow$ $y= 2\cdot{0} +2 = 2$, par $\color{maroon}{(0,2)}$
  • para $x = 2$ $\Leftrightarrow$ $y= 2\cdot{2} +2 = 6$, par $\color{navy}{(2,6)}$
  • para $x = 4$ $\Leftrightarrow$ $y= 2\cdot{4} +2 = 10$, par $\color{navy}{(4,10)}$

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São duas retas, onde o coeficiente linear é o mesmo e os coeficientes angulares são simétricos. A reta na cor oliva é dita uma reta descendente. Ela vai do segundo para o quarto quadrante e o coeficiente angular é negativo. A outra, na cor laranja, é uma reta ascendente, pois vai do terceiro para o primeiro quadrante e o coeficiente angular é positivo.

Vamos exercitar, enquanto eu preparo o próximo passo, desse mesmo assunto. Ainda há vários detalhes e pormenores sobre o funções do primeiro grau.

Determine alguns pares ordenados que satisfazem as funções a seguir e represente-as num plano cartesiano. Em papel milimetrado, se possível, mas não dispondo desse material, use uma outra folha de papel e uma régua. O mais importante é compreender a forma de fazer isso, a precisão náo é táo importante.

a)$\color{olive}{y = 4x -1}$                                       b)$\color{olive}{y = -3x – 2}$

c)$\color{olive}{y = \frac{2x}{3} + 3}$                     d)$\color{olive}{y = -x + 4}$

e)$\color{olive}{y= \frac{x}{3} – 5}$                         f)$\color{olive}{y = 3x – 1}$

Curitiba, 29 de junho de 2016

 

Décio Adams

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Matemática – Função do primeiro grau – Função afim.

Função afim!

Achou engraçado?

Mas é esse mesmo o nome que damos a uma função do primeiro grau, cuja representação gráfica cartesiana, não passa pela origem do sistema de eixos cartesianos. Sua forma geral é do tipo \[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{ y = a\cdot x + b }}\]

Coeficiente angular

O coeficiente do termo $\color{navy}{ax}$ é também nesse caso o coeficiente angular, indicando a inclinação da reta gráfica, em relação ao eixo das abcissas.

Coeficiente linear

Vejamos o que acontece se substituirmos a variável $\color{navy}{x}$ pelo valor 0(zero).

$ y = a\cdot 0 + b $ $\Leftrightarrow$ $ y = 0 + b = b $ $\Leftrightarrow$ $ y = b $

Isto significa que o ponto correspondente no plano cartesiano, corresponde ao valor do termo independente $\color{navy}{b}$. Neste ponto ocorre a intersecção do gráfico, com o eixo das ordenadas.

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Matemática – Função do primeiro grau

Função do primeiro grau.

1. Função linear

Quando exprimimos uma grandeza $\color{maroon}{y}$ em função de uma expressão do primeiro grau da grandeza $\color{maroon}{x}$, dizemos que temos uma $\color{blue}{funç\tilde{a}o}$ do primeiro grau. \[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{y = f(x)}}\]

A função é denominada linear quando o termo independente é nulo ou inexistente. Assim:

\[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{ y = a\cdot x}}\]

Domínio

É o conjunto numérico onde iremos encontrar os valores da variável $\color{maroon}{x}$.

Contra-domínio

É o conjunto numérico ao qual pertencem os valores da variável $\color{maroon}{y}$.

Na maior parte das vezes, consideramos tanto o domínio quanto o contra-domínio como sendo o o conjunto dos números reais. Para cada valor de $\color{maroon}{x}$ existe um valor correspondente de $\color{maroon}{y}$, formando um par ordenado, como vimos no produto cartesiano. Cada par ordenado identifica um ponto do plano cartesiano. Unindo esses pontos, teremos o gráfico da função. Vamos tomar por exemplo a função $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{y = 2x}}$. Dizemos que $\bbox[4px,border:2px solid olive]{\color{navy}{y = f(x)}}$ definida no conjunto $\color{navy}{R}$. Vamos escolher alguns valores para a variável $\color{maroon}{x}$ e determinar os correspondentes valores de $\color{maroon}{y}$.

Para $x = 0$ $\Leftrightarrow $ $ y = 2\cdot 0 = 0$ e temos o par $\color{navy}{(0,0)}$

Para $x=-3$ $\Leftrightarrow$ $y = 2\cdot{(-3)} = -6$ e temos o par $\color{navy}{(-3, -6)}$

Para $x = -2$ $\Leftrightarrow$ $ y = 2\cdot{(-2)}= -4$ e temos o par $\color{navy}{(-2, -4)}$

Para $x = 2$ $\Leftrightarrow$ $y = 2\cdot 2 = 4$ e temos o par $\color{navy}{(2, 4)}$

Para $x = 3$ $\Leftrightarrow$ $y = 2\cdot 3 = 6$ e temos o par $\color{navy}{(3, 6)}$

É evidente que poderíamos determinar uma infinidade de outros pontos intercalados entre esses, mas veremos que o gráfico fica perfeitamente determinado com estes pontos. Vamos ver como fica esse gráfico?

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Podemos notar que o gráfico resultante é uma reta, que passa pelo ponto de coordenadas $\color{navy}{(0,0)}$. Vamos verificar o que acontece com a posição do gráfico, se tivermos o sinal do coeficiente $\color{maroon}{a}$ trocado, como em $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{y = -2x + 0}}$.

Para $x = -3$ $\Leftrightarrow$ $y = -2\cdot {(-3)} = 6$ e temos o par $\color{navy}{(-3,6)}$

Para $x= -2$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{(-2)} = 4$, temos o par $\color{navy}{(-2, 4)}$

Para $x=-1$ $\Leftrightarrow$ $y=-2\cdot{(-1)} = 2$, temos o par $\color{navy}{(-1,2)}$

Para$x =0$ $\Leftrightarrow$ $y =-2\cdot 0 =  0$, temos o par $\color{navy}{(0,0)}$

Para $x=1$ $\Leftrightarrow$ $y = -2\cdot 1 = -2$, temos o par $\color{navy}{(1,-2)}$

Para $x=2$ $\Leftrightarrow$ $y= -2\cdot 2 = -4$, temos o par $\color{navy}{(2,-4)}$

Para $x=3$ $\Leftrightarrow$ $y = -2\cdot 3 = -6$, temos o par $\color{navy}{(3,-6)}$

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Observamos que a inclinação mudou de lado, isto é, o ângulo entre a reta do gráfico e o semi-eixo positivo de $x$ fica aumentado. Assim fica fácil entender que o valor e o sinal do coeficiente $\color{navy}{a}$ determina a posição e o ângulo. Daí ser este coeficiente chamado de coeficiente angular e é determinado pelo valor de \[\color{blue}{a = \frac{\Delta y}{\Delta x}}\]

Este número, denominado coeficiente angular, representa na verdade a razão trigonométrica $\color{navy}{\tan\theta}$, do ângulo formado entre o semi-eixo $\color{navy}{x}$ e a reta gráfica. Para observar esse fato, vamos pegar várias funções lineares, com diferentes coeficientes $\color{navy}{a}$, e representar no mesmo plano cartesiano, observando a variação da posição da reta, em consequência da variação do coeficiente.

Seja $\color{blue}{y = \frac{x}{2}}$; $\color{blue}{y = 3x}$; $\color{blue}{y = – 3x}$ e $\color{blue}{y = -\frac{x}{2}}$. Vamos determinar alguns pares ordenados para as funções e depois representar no plano cartesiano.

Em $\color{blue}{y = \frac{x}{2}}$, teremos:

  • para $x=8$ $\Leftrightarrow$ $ y=\frac{8}{2} = 4$, formando o par $\color{navy}{(8,4)}$
  • para $x = 4$ $\Leftrightarrow$ $y = \frac{4}{2} = 2$, formando o par $\color{navy}{(4,2)}$
  • para $x =0$ $\Leftrightarrow$ $ y = \frac{0}{2} = 0$, formando o par $\color{navy}{(0,0)}$
  • para $x =-4$ $\Leftrightarrow$ $y = \frac{-4}{2} =-2$, formando o par $\color{navy}{(-4,-2)}$
  • para $x=-8$ $\Leftrightarrow$ $y= \frac{-8}{2} = -4$, formando o par $\color{navy}{(-8,-4)}$

Em $\color{blue}{y = 3x}$, teremos:

  • para $x=3$ $\Leftrightarrow$ $y= 3\cdot{3} = 9$, formando o par $\color{navy}{(3,9)}$
  • para $x=2$  $\Leftrightarrow$ $y=3\cdot 2 = 6$, formando o par $\color{navy}{(2,6)}$
  • para $x=1$  $\Leftrightarrow$ $y=3\cdot 1= 3$, formando o par $\color{navy}{(1,3)}$
  • para $x=0$ $\Leftrightarrow$ $y =0\cdot 0 = 0$, formando o par $\color{navy}{(0,0)}$
  • para $x=-1$ $\Leftrightarrow$ $y =3\cdot{(-1)}=-3$,formando o par $\color{navy}{(-1,-3)}$
  • para $x=-2$  $\Leftrightarrow$ $y=3\cdot{(-2)}=-6$, formando o par$\color{navy}{(-2,-6)}$
  • para $x =-3$ $\Leftrightarrow$ $y=3\cdot(-3)=-9$, formando o par $\color{navy}{(-3,-9)}$

Em $\color{blue}{y = – 3x}$ teremos:

  • para $x=3$ $\Leftrightarrow$ $y =-3\cdot 9= -9$, formando o par $\color{navy}{(3,-9)}$
  • para $x=2$ $\Leftrightarrow$ $y=-3\cdot 2= -6$, formando o par $\color{navy}{(2,-6)}$
  • para $x=1$ $\Leftrightarrow$ $y=-3\cdot 1=-3$, formando o par $\color{navy}{(1,-3)}$
  • para $x=0$ $\Leftrightarrow$ $y = -3\cdot 0 = 0$, formando o par $\color{navy}{(0,0)}$
  • para $x=-1$ $\Leftrightarrow$ $y=-3\cdot{(-1)}=3$, formando o par $\color{navy}{(-1,3)}$
  • para $x=-2$ $\Leftrightarrow$ $y=-3\cdot{(-2)}=6$, formando o par $\color{navy}{(-2,6)}$
  • para $x=-3$ $\Leftrightarrow$ $y=-3\cdot{-3} = 9$,formando o par $\color{navy}{(-3,9)}$

Em $\color{blue}{y = -\frac{x}{2}}$, teremos:

  • para $x=8$  $\Leftrightarrow$ $y=-\frac{(8}{2} =-4$, formando o par $\color{navy}{(8,-4)}$
  • para $x=4$ $\Leftrightarrow$ $y =-\frac{4}{2} = -2$, formando o par $\color{navy}{(4,-2)}$
  • para $x=0$ $\Leftrightarrow$ $y =-\frac{0}{2} = 0$, formando o par $\color{navy}{(0,0)}$
  • para $x=-4$ $\Leftrightarrow$ $y =-\frac{-4}{2} = 2$, fornando o par $\color{navy}{(-4,2)}$
  • para $x=-8$ $\Leftrightarrow$ $y= -\frac{-8}{2} = 4$, formando o par $\color{navy}{(-8,4)}$

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Observando as posições das retas, percebemos que elas todas passam pela origem do plano cartesiano, isto é têm em comum um ponto que é o de coordenadas $\color{navy}{(0,0)}$. duas abrangem o primeiro e terceiro quadrante e duas o segundo e quarto quadrante. Vamos determinar os coeficientes angulares de cada uma delas.

Para a primeira temos: $\color{navy}{ a_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}}$

Para a segunda, temos: $\color{navy}{ a_2 = \frac{9}{3} = 3} $

Para a terceira, temos: $\color{navy}{a_3 = \frac{-9}{3} = -3} $

Para a quarta, temos: $\color{navy}{a_4= \frac{4}{-8} =-\frac{1}{2}} $

Fica fácil de observar que, estando a função na sua forma mais simples, o coeficiente angular da reta, corresponde ao coeficiente do termo que contém a variável $\color{maroon}{x}$.

Para fixar o assunto, vejamos alguns exemplos para cada um exercitar no tempo que tiver disponível.

  1. Determine alguns pares ordenados para cada uma das funções lineares e construa o gráfico correspondente, em papel milimetrado, ou na falta deste, usando uma régua e uma folha de papel que tenha.

a) $\color{blue}{ y = 4x}$                                           b)$\color{blue}{y =\frac{1}{3}\cdot x}$

c) $\color{blue}{y = -5x }$                                         d)$\color{blue}{y = \frac{2}{3}\cdot x}$

e)$\color{blue}{y =-\frac{3}{5}\cdot x}$                  f)$\color{blue}{y = -\frac{5x}{4}}$

Curitiba, 28 de junho de 2016

Décio Adams

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Matemática, Conjuntos numéricos, Produto cartesiano.

Produto cartesiano!

Que bicho é esse?

Chamamos produto cartesiano de dois conjuntos numéricos A e B, ao conjunto de pares ordenados $\color{maroon}{(x; y)}$, onde $\color{maroon}{ x\in A} $ e $\color{maroon}{ y\in B}$. 

Simbólicamente fica  $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{ A X B =\{{(x;y)} | x \in A \wedge y \in B\}}}$. Lê-se:“A cartesiano B é igual aos pares (x;y), tais que x pertence a A e y pertence a B”.

Podemos inverter a ordem: $\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{maroon}{B X A = \{{(x;y)} | x\in B \wedge y \in A\}}}$. Lemos: “B cartesiano A, é igual aos pares (x;y), tais que x pertence a B e y pertence a A”.

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História de uma vida que termina. Vida que se renova sempre e sempre!

Uma vida que termina.

Vovô e vovó Adams

Reinoldo Adams e Leopoldina Bourscheitdt Adams

Em 21 de agosto de 1924, nasceu na região de Lnha Acre, hoje município de Cândido Godoy, Leo Anselmo Adams. Sexto ou sétimo filho do casal Reinoldo e Leopoldina Adams. Ficou mais conhecido entre familiares e conhecidos como Anselmo, parece para diferenciar de um tio que tinha o nome Leo Adams. Tanto foi que, em seu sepultamento no dia 21/06 deste, vários sobrinhos dele me perguntaram sobre o nome, pois apenas o conheciam pelo segundo nome, jamais tendo ouvido o primeiro.

Isso aconteceu com vários filhos do casal Reinoldo e Leopoldina. Havia dois com o nome João, sendo um João Armando e outro João Ignácio. Ficaram conhecidos como Armando e Ignácio, espantando muita gente ao ouvir-lhes o primeiro nome. Há também dois com o nome Afonso e Affonso. Eram Afonso Pio e Affonso Roque. Ninguém os chamou jamais por Afonso ou Affonso.

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Livre Arbítrio!

Livre arbítrio, imagem da internet 2

Duas ou mais opções. A escolha é sua.

O que quer dizer “livre arbítrio”?

Vamos por partes. O que é livre?

Quem está livre, não está impedido de fazer nada, não está preso, amarrado ou oprimido. Pode decidir o que deseja fazer.

arbítrio o que é?

Arbítrio tem a mesma raiz de árbitro, sinônimo de juiz. Aquele que decide, julga, diz quem está ou não com razão, o que é certo ou errado.

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Fantástico Mundo Novo- Vol. III – Recomeço em Orient, Cap. VII – Conquista do espaço segue.

  1. Conquista do espaço segue.

 

 Os componentes da equipe de tripulantes, dividiam-se em dois grupos. Dois permaneciam na nave, enquanto os outros quatro saiam em expedições de exploração pelas regiões mais próximas. Levavam dispositivos elétricos, capazes de disparar descargas, cujo efeito seria de paralisar e por fora de ação algum animal agressivo. Sabia-se muito pouco e a cada instante deparavam-se com exemplares representantes da fauna ou flora de Luxor. Havia flores e também frutos. As árvores não eram exageradamente altas, pelo menos na região onde haviam pousado. Afastavam-se até distâncias consideradas seguras, para o caso de ser preciso retornar depressa. Andavam sempre carregados de equipamentos diversos, fazendo imagens, capturando espécimes de vários tipos de animais. As plantas, com suas folhas estranhas, tinham um brilho próprio. Deveria ser causado por alguma substância que era contida nelas.

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Matemática – Conjuntos numéricos (Revisão)

Conjuntos de números.

A necessidade de contar ou quantificar as coisas, como número de animais caçados, composição do rebanho com o surgimento da pequária, volume de cereais e outros produtos colhidos e até o número de soldados de um exército, levou o homem, há muito tempo, a criar números e símbolos para representá-los. Existiram ao longo da história uma imensa variedade de sistemas de numeração, muitos deles associados a alguma coisa ou até parte do próprio corpo. Assim, os indígenas que habitavam a américa, utilizavam um sistema de numeração de base 5(cinco), que é o número de dedos de uma mão. Os povos fenícios da antiguidade, usaram e espalharam por todos os lugares onde comerciavam, seu sistema de numeração  $\mathbf{\color{gray}{sexagesimal}}$ ,  isto é de base 60. É deles que vem a divisão de uma hora em 60 minutos, e um minuto em 60 segundos. Os sistemas de informática, estão todos baseados na numeração de base 2 (dois) ou $\mathbf{\color{gray}{numeraç \tilde{a} o }}$ $\mathbf{\color{gray}{bin\acute {a} ria}}$. Associada, inicialmente à $\mathrm{\color{maroon}{l \hat {a} mpada}}$ $\mathrm{\color{maroon}{ acesa}}$ $\mathrm{\color{maroon}{(um)}}$ $\mathrm{\color{maroon}{ e}}$ $\mathrm{\color{maroon}{ l \hat{a} mpada}}$ $\mathrm{\color{maroon}{ apagada}}$ $\mathrm{\color{maroon}{ (zero)}}$. 

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Fantástico mundo novo – Volume III – Reinício em Oriente, Cap. 6-Aceleração geral.

  1. Aceleração geral.

 

O rápido progresso científico proporcionado pela verdadeira “queima” de etapas, quando os registros da antiga civilização foram decifrados e seus significados compreendidos, chegou a causar uma perturbação ameaçadora no equilíbrio de todo planeta Orient. No entanto a chegada do Melquisedeque, em uma outorga extraordinária, teve o poder de restabelecer o equilíbrio. Os pequenos grupos remanescentes das antigas dissidências religiosas, aos poucos foram perdendo força e significado, levando à gradual redução de seu número de adeptos. Muitos deram liberdade aos filhos para seguir o caminho de sua própria escolha e eles optaram por seguir o que lhes pareceu mais condizente. Aderiram ao culto da Trindade do Paraiso. Outros, mesmo já adultos de certa idade, decidiram mudar de opção, aprendendo a doutrina da religião da revelação. Desse modo alcançou-se um estado de quase uniformidade religiosa, embora existissem pequenas diferenças de uma região para outra, mas a crença básica era idêntica.

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Matemática – Inequações do segundo grau (Exercícios resolvidos e propostos)

Hora de treinar a cuca!

Vamos determinar o conjunto verdade de algumas inequações do segundo grau, fazendo o estudo de sua variação de sinais em relação às raízes.

a)  $\color{blue}{ -5x^2 + 25x + 70 \lt 0 }$

Vamos começar por identificar os coeficientes numéricos, comparando com a forma geral. Temos que $ a = -5 $, $ b = 25 $ e $ b =  70 $. Para facilitar os cálculos, iremos dividir todos os termos por $-5$, simplificando e teremos \[\frac{-5x^2}{-5} + \frac{25x}{-5} + \frac{70}{-5} \lt 0\] \[x – 5x – 14 \lt 0\]  Agora os coeficientes passam a ser $ a = 1$, $b = -5$ e $c = -14$. É o momento de  determinar o discriminante \[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta =  b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta = {(-5)^2 – 4\cdot 1\cdot (-14)}\] \[\Delta = 25 + 56 \] \[\Delta = 81\] O discriminante é positivo e portanto teremos duas raízes reais e diferentes que tornarão a expressão igual a zero. Calculando as raízes \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[ x = {{-(-5)\pm\sqrt{81}}\over {2\cdot 1}} \] \[x= {{5\pm 9}\over 2}\] \[x’ = {{5 + 9}\over 2} = {14\over 2} = 7\] \[ x” = {{5 – 9}\over 2} = {-4\over 2} = -2\] Temos pois para valores que anulam a expressão em $x$ os números $-2 $ e $7$. Vejamos como fica o comportamento na Reta Real.

\[\underbrace{\color{lime}{-\infty\leftarrow =========}}{-2}\circ\underbrace{————-}{7}\circ\underbrace{\color{lime}{============\rightarrow\infty}}\]

Vimos que para valores externos das raízes, isto é, nesse caso para $x \lt -2$ ou $x \gt 7$ a expressão terá o mesmo sinal do coeficiente $a$ na inequação na forma original, sem simplificação. Vimos acima que $a = -5$ ou seja $ a \lt 0$, o que nos leva à conclusão de que o sinal  será negativo para esses valores. Já para os valores compreendidos entre $ -2 $ e $7$, a expressão terá o sinal contrário de $a$, portanto positivo. Assim deduzimos que o conjunto verdade dessa inequação é dado por: \[\bbox[silver, 5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = \{ x \in R | x \lt -2 \vee x \gt 7\}}} \]

b)$\color{blue}{ 3x^2 + 15x -72 \ge 0}$

Identificamos os coeficientes $ a = 3$, $b = 15$ e $c = -72$.  Observando esses valores, percebemos que é possível simplificar a expressão, dividindo todos os termos por $3$, o que nos dá \[\frac{3x^2}{3} +\frac{15x}{3} – \frac{-72}{3} \] \[ x^2 + 5x – 24 \ge 0\] Temos agora os novos coeficientes $ a= 1$, $b = 5 $ e $c = -24$. Vamos determinar o discriminante. \[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta =  b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = 5^2 – 4\cdot 1\cdot {-24} \] \[\Delta = 25 + 96 \] \[\Delta = 121\] Temos novamente $\Delta \gt 0$ e em consequência duas raízes reais e diferentes.

\[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x = {{- 5\pm\sqrt{121}}\over{2\cdot 1}}\] \[x= {{-5\pm{11}}\over 2}\] \[x’ = {{-5 + 11}\over 2} = {6\over 2} = 3 \] \[x” = {{-5 – 11}\over 2} ={-16\over 2} = -8\] Lançando esses valores na Reta Real, fica:

\[\underbrace{\color{lime}{-\infty\leftarrow ============(-8)\bullet}}\underbrace{———-}\underbrace{\color{lime}{3\bullet============\rightarrow\infty}}\]

As raízes $-8$ e $ 3$ anulam a expressão, enquanto os valores externos tornam a expressão positiva, por ter no mesmo sinal de $a$. Os valores internos tornarão a expressão negativa, que é o sinal contrário de $a$. Como a inequação é $\ge 0$, o conjunto verdade será também dado por:

\[\bbox[silver,5px,border: 2px solid blue]{\color{green}{V=\{ x \in R| x\le -8 \vee x \ge 3\}}} \]

c)$\color{blue} {x^2 -13x + 42 \le 0}$

Os coeficientes numéricos são $a=1$, $b= -13$ e $c = 42$. Notamos que agora não há simplificação a ser feita, pois o coeficiente $a =1$ e a expressão está na sua forma mais simples. Vejamos o discriminante:\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta =  b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta=(-13)^2 – 4\cdot 1\cdot 42 = 169 – 168 = 1\] Temos então que $\Delta \gt 0$ e novamente as raízes são reais e diferentes. \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x={{-(-13\pm\sqrt{1}}\over{2\cdot 1}}\] \[x = {{13\pm 1}\over 2}\] \[x’= {{13 + 1}\over2} = {14\over 2} = 7\] \[x”={{13 – 1}\over 2} = {12\over 2} = 6 \] Lançando os valores $6$ e $7$ na Reta Real, teremos:

\[\underbrace{-\infty\leftarrow —————-}\underbrace{\color{lime}{6\bullet========7\bullet}}\underbrace{———————-\rightarrow\infty}\]

Para valores de $x$ a esquerda de $6$ ou a direita de $7$, a expressão será positiva, isto é, o mesmo sinal de $a$, que é positivo. Para valores internos do intervalo $6$ e $7$, a expressão será negativa, o sinal contrário de $a$. Assim sendo, a desigualdade da inequação é $\le$, o conjunto verdade será formado pelos números entre $6$ e $7$, inclusive.

\[\bbox[silver, 5px, border:2px solid blue]{\color{green}{V = \{x \in R| 6 \le x \le 7\}}}\]

 d)$\color{blue}{ 3x^2 – 18x + 72 \gt 0} $

Notamos que é possível simplificar a expressão, pois todos os coeficientes são múltiplos de $3$. Então \[\frac{3x^2}{3} – \frac{18x}{3} + \frac{72}{3} \] \[ x^2 – 6x + 24 \gt 0\]

Agora os nossos coeficientes são $a = 1$, $b = -6$ e $c = 24$. Vamos ao discriminante.

\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta =  b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = {(-6)^2}\cdot 1\cdot {24} = 36 – 96 = -60\] Consequentemente constatamos que $\Delta \lt 0$, o que nos leva a conclusão de que nenhum número real tornará a expressão igual a zero. Como fica a inequação? Não temos ponto de referência para dizer que a expressão será positiva ou negativa para esse ou aquele valor. Vamos escolher três valores, sendo um negativo, o próprio zero e um positivo, substituindo e verificando o resultado. Sejam esses números $-3$, $0$ e $5$.

Para $x = -3$, teremos \[3x^2 -18x + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot (-3)^2 – 18\cdot{(-3)} + 72 \gt 0\] \[{3\cdot 9} + 54 + 72 \gt 0 \] \[ 27 + 54 + 72 \gt 0\] \[ 153 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.

Para $x = 0$, teremos \[3\cdot 0 – 18\cdot 0 + 72 \gt 0\] \[ 0 + 0 + 72 \gt 0\] \[ 72 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.

Para $x = 5$, teremos \[3\cdot 5^2 – 18\cdot 5 + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot 25 – 90 + 72 \gt 0\] \[75 – 90 + 72 \gt 0\] \[147 – 90 \gt 0\] \[ 57 \gt 0\] Sentença verdadeira. 

Vamos escolher mais um número negativo e dois positivos, para sanar qualquer dúvida. $-5$, $2$ e $7$.

Para $x=-5$, teremos \[3\cdot (-5)^2 – 18\cdot(- 5) + 72 \gt 0\] \[3\cdot 25 + 90 + 72 \gt 0\] \[75 +90 + 72 \gt 0\] \[ 237 \gt 0\] Sentença verdadeira. 

Para $x = 2$, teremos \[3\cdot 2^2 – 18\cdot 2 + 72 \gt 0 \] \[3\cdot 4 – 54 + 72 \gt 0\] \[ 12 – 54 + 72 \gt 0\] \[30 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Para $x = 7$, teremos \[3\cdot 7^2 – 18\cdot 7 + 72 \gt 0\] \[3\cdot 49 – 126 + 72 \gt 0\] \[147 – 126 + 72 \gt 0 \] \[93 \gt 0\] Sentença verdadeira.  

Fica evidenciado que para qualquer número real colocado no lugar de $x$ nessa inequação, o resultado é uma sentença  verdadeira. Podemos concluir que o conjunto verdade é então o próprio conjunto dos números reais.

\[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = R}}\]

Se a mesma inequação tivesse o sinal de desigualdade $\lt $ no lugar de $\gt$, essas sentenças todas seriam falsas e portanto o conjunto verdade da inequação seria um conjunto vazio. Assim

\[3x^2 – 18x + 72 \lt 0\] \[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = \emptyset}}\] O mesmo aconteceria se tivéssemos os sinais de desigualdade $\ge$ ou $\le$, uma vez que teríamos a conjunção alternativa $\vee$, que tornaria as sentenças igualmente verdadeiras. É interessante notar que nestes casos o sinal da expressão é sempre igual ao sinal de $a$. Se $a\lt 0$, a expressão será sempre negativa, para qualquer número $x \in R$. Se $a \gt 0$, a expressão será positiva para qualquer valor de $x \in R$.

Agora é a sua vez de praticar. Analise os sinais das inequações e determine o conjunto verdade em cada caso.

a) $\color{green}{x^2 – 17x + 70 \le 0}$

b) $\color{green}{2x^2 + 4x – 48 \ge 0}$

c) $\color{green}{ x^2 – 5x – 36 \gt 0} $

d)$\color{green}{ 3x^2 – 108 \lt 0}$

e) $\color{green}{5x^2 – 35x \lt 0}$

f)$\color{green}{ 4x^2 – 12x + 44 \gt 0}$

g) $\color{green}{5x^2 + 110 \ge 3x^2 + 14x} $

 h)$\color{green}{ 6x^2 + 54 \le 0} $

i) $\color{green}{4x -9 \gt x^2 }$

 j) $\color{green}{x^2 – 19x + 88 \lt 0}$

l) $\color{green}{ 7x^2 + 28x \gt 0}$

m) $\color{green}{{\frac{2}{3}}x^2 -\frac{3}{5} \le 0} $

Obs.: Se tiver dúvida sobre a resolução de algum desses exercícios, faça contato comigo. Estes eu não vou resolver logo em seguida. Legal? Procure se virar nos trinta, meu!

Curitiba, 10 de junho de 2016

Décio Adams

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