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Matemática – Álgebra, multiplicação de polinômios (continuação)

Multiplicando polinômios

No post anterior, vimos como se multiplica um termo algébrico por outro e também um termo por um polinômio. E se tivermos que multiplicar um polinômio por outro, como fica a questão? Seja por exemplo:

$${(mx^2 + my)}\cdot{(2x + 3xy – 5y)}$$

Vamos multiplicar alternadamente o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, até terminar. O resultado será uma expressão com vários termos, entre os quais é possível haver termos semelhantes. Bastará fazer a redução e teremos o resultado procurado. Façamos em partes.

$${mx^2}\cdot{2x + 3xy – 5y}$$ $${(mx^2)}{2x} + {(mx^2)}{3xy} +{(mx^2)}{(-5y)}$$ $${2\cdot m\cdot {x^2}\cdot x} + {3\cdot m\cdot{x^2}\cdot{(xy)}} +{(-5)\cdot m\cdot  {x^2}\cdot y}$$ $${2mx^3 + 3m{x^3}y – 5mx^2y}$$

$${my}\cdot {2x} +{my}\cdot{3xy} + {my}\cdot{(-5y)}$$ $${2mxy + 3mxy^2 – 5my^2}$$

Escrevendo as duas partes juntas, verificaremos que não há termos semelhantes e assim ficaremos com uma expressão de seis termos no final.

$${2mx^3 + 3m{x^3}y – 5m{x^2}y + 2mxy + 3mxy^2 – 5my^2}$$

Vamos a outro exemplo: $${( 3x^2 + 2x)}\cdot{(2x^3 + x^2)}$$

Na multiplicação do primeiro termo pelo segundo polinômio resulta:

$${(3x^2)}\cdot{2x^3 +x^2}$$ $${(3x^2)}{(2x^3)} + {(3x^2)}{(x^2)}$$ $${6{x^{(2 + 3)}} + 3{x^{(2+2)}}}$$ $${6x^5 + 3x^4}$$

A segunda parte fica: $${(2x)}\cdot{(2x^3 +x^2)}$$ $${(2x)\cdot {2x^3} + (2x)\cdot{x^2}} $$ $${ 4{x^{(1+3)}} + 2{x^{(1+2)}}}$$ $${4x^4 + 2x^3}$$

Reunindo as duas partes teremos: $${6x^5 + 3x^4 +4x^4 + 2x^3}$$

Temos dois termos semelhantes: $${6x^5 +{(3x^4 + 4x^4)} + 2x^3}$$  $$ {6x^5 + 7x^4 + 2x^3}$$

Podemos, para facilitar, fazer as multiplicações na mesma sequência, sem separar, subentendendo alguns passos, depois de dominarmos o processo. Ou seja, podemos fazer as multiplicações mentalmente e escrever apenas os resultados, de modo a diminuir o espaço ocupado no papel. Mas isso deve ser feito, depois de termos perfeito domínio de cada passo. Não significa que iremos omitir os passos, apenas os fazemos em sequência e depois escrevemos o resultado. Isso acontece na medida em que adquirimos desenvoltura com as diferentes operações.

Hora de exercitar.

  1. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos a seguir.

$${({7\over 5}{bx})}{({5\over 3}{cx^2})}$$ $${(2ay)}{(5ay)}$$ $${(6 pr)}{({2\over3}{qr})}$$ $${(3 i)}{(5ij)}$$ $${(4mn)}{(3n^3)}$$ $${(a{x^2}y)}{(bx{y^3})}$$

2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.

a) $${{(3ab)}\cdot {(2a + 3b – 5c)}}$$

b) $${(mx^2)}\cdot {(mx + n{x^2}y + mxy)}$$

c) $${(5 {u^2}v)}{(2uv + 4u – 5v + {{u^2}v^3})}$$

d) $${({2\over 3}{axy^3})}{(6xy – 3ay^2 + 9a{x^2}y)}$$

3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.

a)$${( a + ab)}{(abx + x)} $$

b)$${(pm – {p^2}n)}{(m^2 – pm^2 – pn)}$$

c)$${(2x – 3 y)}{(5 + 2xy – 4 x^2 + 3xy^3)}$$

d) $${(3u + 5v)}{(6u^2 – 2 v + 7uv)}$$

Curitiba, 31/março/2016

Décio Adams

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Matemática – Álgebra. Multiplicação de expressões algébricas

Multiplicação de expressões algébricas

Vamos primeiro resolver os exercícios do final do post anterior.

Vamos deixar aqui alguns exercícios para fazer. Adicionar e depois subtrair as expressões polinomiais, ordenando os resultados em ordem crescente dos expoentes da variável comum a todos os termos.

a) $${5ay – 3 by^5 – 2 y^2 + a y^3} $$ $$ {2ay^3 + 3by^5 – 2ay}$$

Adição: $${({5ay – 2ay}) + ({-3by^5 + 3by^5}) – 2y^2 +({ay^3 + 2ay^3})} $$ $${3ay – 2y^2 +3ay^3}$$ Já está em ordem crescente dos expoentes de y.

Subtração: $${({5ay – 3by^5 – 2y^2 + ay^3}) – ({2ay^3 + 3by^5 – 2ay})}$$ Eliminando os parênteses, ficamos com: $${5ay – 3by^5 – 2y^2 + ay^3 – 2ay^3 – 3by^5 + 2ay}$$ Agrupando os termos semelhantes: $${({5ay + 2ay}) +({-3by^5 – 3by^5}) – 2y^2 +({ay^3 – 2ay^3})}$$ $${7ay – 6by^5 -2by^2 – ay^3}$$ Ordenando os expoentes de y em ordem crescente. $${7ay -2by^2 -ay^3 -6by^5}$$

b) $${7bx^2 – 3cx + 4 ax^4}$$ $${3cx +4ax^4 – 2dx^3}$$

Adição: $${({7bx^2 – 3cx + 4ax^4}) + ({+ 3cx + 4ax^4 – 2dx^3})} $$ $${7bx^2 + {(- 3cx + 3cx )} + {(4ax^4 + 4ax^4}) – 2dx^3}$$ $${7bx^2 + 8ax^4 – 2dx^3}$$ Em ordem crescente: $${7bx^2 – 2dx^3 + 8ax^4}$$

Subtração: $${({+ 7bx^2 – 3cx + 4ax^4}) – ({+ 3cx + 4ax^4 – 2dx^3})}$$ $${+ 7bx^2 – 3cx + 4ax^4 – 3cx – 4ax^4 + 2dx^3}$$ $${7bx^2 + ({ – 3cx – 3cx}) + ({4ax^4 – 4ax^4}) + 2dx^3}$$ $${7bx^2 -6cx + 2dx^3}$$ Em ordem crescente: $${-6cx + 7bx^2 + 2dx^3}$$

c) $${mz^3 + 3nz – 5 z^2 }$$ $${4mz^3 – 5z^2 + 4 nz}$$

Adição: $${({mz^3 + 3nz – 5z^2}) + ({+4mz^3 – 5z^2 + 4nz})} $$ $${({+ mz^3 + 4mz^3}) +({3nz + 4nz}) + ({- 5z^2 – 5z^2}) }$$ $${5mz^3 + 7nz – 5z^2}$$ $${7nz – 5z^2 + 5mz^3}$$

Subtração: $${({mz^3 + 3nz – 5z^2}) – ({+ 4mz^3 – 5z^2 + 4nz})}$$ $${mz^3 + 3nz – 5z^2 – 4mz^3 + 5z^2 – 4nz}$$ $$ {({mz^3 – 4 mz^2}) + ({ +3nz – 4nz}) + {( -5z^2 + 5z^2})}$$ $${ – 4mz^3 – nz }$$ $${ – nz – 4mz^3}$$

d)$${13 x^4 + 9 x – 6x^3}$$ $${8x + 3x^3 – 5x^4}$$

Adição: $${({ +13x^4 + 9x – 6x^3}) +({+8x + 3x^3 – 5x^4})}$$ $${ +13x^4 + 9x – 6x^3 + 8x + 3x^3 – 5x^4}$$ $${({+ 13 x^4 – 5x^4}) + ({+9x + 8x}) + ({-6x^3 + 3x^3})}$$ $${8 x^4 17x – 3x^3}$$ $${ 17 x – 3x^3 + 8x^4 }$$

Subtração: $${({13x^4 + 9x – 6x^3}) – ({+8x + 3x^3 – 5x^4})}$$ $${13x^4 + 9x -6x^3 – 8x – 3x^3 + 5x^4}$$ $${({13x^4 + 5x^4}) + ({+9x – 8x }) + ({-6x^3 – 3x^3})} $$ $${18x^4 + x – 9x^3} $$ $${ x – 9x^3 + 18x^4}$$

Agora vamos ver como se faz para multiplicar. Começamos com a multiplicação de termos algébricos por números e por outros termos.

Exemplo. $$ {5\cdot {2ax^2}}$$

Basta multiplicar o coeficiente pelo fator 5 e teremos: $${10ax^2}$$

Outro exemplo: $${2x\cdot 3y}$$ Resulta: $${2\cdot 3}\cdot{x\cdot y}$$ $${6xy}$$

Se houver fatores literais de mesma espécie nos termos multiplicados, vamos aplicar a propriedade comutativa da multiplicação (lembrar das propriedades das quatro operações básicas).

$${({5ax^3})\cdot({4ax})}$$

Colocamos os fatores da mesma espécie juntos.

$${{5\cdot 4}\cdot {a\cdot a} \cdot {x^3\cdot x}}$$ $${20\cdot{a^{(1+1)}}\cdot{x^{(3 + 1)}}}$$ $${20{a^2}{x^4}}$$

Multiplicamos os coeficientes numéricos e as letras tem seus expoentes somados, para resultar o termo final.

E se a multiplicação for de um termo por um polinômio?

Neste caso aplicamos a propriedade distributiva  da multiplicação em relação à adição e subtração. Isto quer dizer que multiplicamos cada termo do polinômio pelo termo que está multiplicando. Para terminar, aplicamos os procedimentos vistos para os termos algébricos.

$${2xy}\cdot {( 3x + 4y)}$$ $${{2xy}\cdot{3x} + {2xy}\cdot {4y}}$$ Efetuando as operações teremos: $$ {6{x^2}y + 8x{y^2}}$$

Outro exemplo. $${ax^3}\cdot{(2a + 3bx – 5x)}$$ $${{ax^3}\cdot{2a} +{ax^3}\cdot{3bx} + {ax^3}\cdot{(-5x)}}$$ $${2{a^2}{x^3} + 3ab{x^4} -{ 5a}{x^4}} $$

Curitiba, 30 de março de 2016

Décio Adams

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Matemática – Álgebra – Adição de expressões.

Adição e subtração de expressões algébricas

Vamos resolver os exercícios deixados no post anterior, para depois vermos esse novo conteúdo.

  1. Reduza às expressões a sua forma mais simples, reunindo os termos semelhantes em um único termo. a) $${5ax – 7 by – 3cz + 4by -ax + 6cz}$$  $${{(5ax – ax)} + {(-7by + 4by)} + {(-3cz + 6cz)}}$$ $$ {4ax – 3by + 3cz} $$

b) $${mr^2 + 2 r^3 – 5mr^2 – 4r^3 – 6 r}$$

$${{(mr^2 – 5mr^2)} + {(2r^3 – 4r^3)} – 6}$$ $${{(1 – 5)}{mr^2} + {(2 -4)}{r^3} – 6}$$ $$ {-4r^2 -2r^3 – 6} $$

c) $${{2\over3}{uv} + 6 xy – 3 x^2 + {7\over 3}{uv} -2 xy}$$

$${{({2\over 3}{uv} + {7\over 3}{uv})} + {(6xy – 2xy)} – 3x^2}$$ $${{({2\over 3} + {7\over 3}){uv} } + 4xy  -3x^2}$$ $$ {{9\over3}{uv} + 4xy -3x^2} $$ $${3uv +4xy – 3x^2}$$

d) $$ {\sqrt 5{m^3} + pq + 2\sqrt 5{m^3} – 4pq – n}$$

$${{\sqrt 5{m^3} +2\sqrt 5{m^3}} + {pq – 4pq} – n}$$ $${({\sqrt 5 + 2\sqrt 5}){m^3} -3pq – n}$$ $$ {3\sqrt 5{m^3} -3pq – n}$$

e) $$ {5 abc^2 + 3 abc^2 – a{b^3}c – 6a{b^3} – 4 abc^2 }$$

$$ {({5abc^2} + {3abc^2} – {4abc^2}) – a{b^3}c – 6a{b^3}}$$ $$ {4abc^2 – a{b^3}c – 6ab^3}$$

f)$$ {12 {m^2}n + 15 mn^3 – 9{m^2}n + {m^2}n – 4mn^3 }$$

$${(12{m^2}n – 9{m^2}n + {m^2}n) + ({15mn^3 – 4mn^3})}$$ $${ 4{m^2}n + 11mn^3}$$

2. Coloque em ordem crescente e depois decrescente os expoentes da variável nas expressões abaixo. $${2x^4 + 3x + x^2 – 5x^3 + 1}$$

Ordem crescente: $${1 + 3x + x^2 -5 x^3 + 2x^4} $$

Ordem decrescente: $${2x^4 – 5x^3 + x^2 + 3x + 1}$$

$${7a^6 – 3 a + 5a^3 – 6}$$

Ordem crescente: $${ -6 -3a + 5a^3 +7a^6}$$

Ordem decrescente: $${7a^6 + 5a^3 – 3a – 6}$$

$${4i – 3 i^3 – 2 i^4 + 3 i^2}$$

Ordem crescente: $${ 4i + 3 i^2 – 3i^3 – 2i^4}$$

Ordem decrescente: $${-2 i^4 – 3i^3 + 3i^2 + 4i}$$

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Matemática – Álgebra – Redução de termos semelhantes

Redução de termos semelhantes.

O que significa esse título?

Imagine uma expressão algébrica com vários termos, sendo alguns deles semelhantes entre si. Já sabemos, nesta altura dos acontecimentos, que sempre devemos buscar a expressão mais simples que for possível estabelecer, para facilitar qualquer solução que tenhamos em mente.

Devemos ter em mente que, em uma mesma expressão, não é aceitável que uma mesma letra (símbolo) represente mais de um valor. Por exemplo se $$\begin{align}{x} = 5\end{align}$$ em um termo de uma expressão algébrica, em todos os lugares em que aparecer a letra x, ela terá sempre o valor 5. Então, as partes literais de vários termos algébricos semelhantes, terão o mesmo valor. O que distingue os termos entre si, são seus coeficientes. Isto indica por quantas parcelas iguais serão somadas ou subtraídas entre si nesta expressão. Desta forma nos é possível substituir vários termos semelhantes por um único termo, cujo coeficiente seja a soma dos coeficientes numéricos daqueles.

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Matemática – Álgebra – Exercícios

Expressões algébricas, exercícios.

Vamos resolver os exercícios propostos no post anterior e fazer outros, sobre os assuntos apresentados no mesmo.

  1. Escrever na forma simbólica as sentenças.

a) O triplo de um número somado com o quíntuplo de outro número.

$${{3\cdot x} + {5\cdot y}}$$ ou $${ 3x + 5y} $$

b) Um número adicionado ao dobro de outro.

$${{ m } + {2\cdot n}}$$ ou $${ m + 2n}$$

c) O produto de dois números, adicionado ao produto de outros dois.

$${{a\cdot b} + {m\cdot n}}$$ ou $${ ab + mn}$$

d) O quíntuplo da soma de dois números.

$${ 5 \cdot{( u + v)}}$$ ou $${5{(u + v)}}$$

e) A metade do produto de dois números.

$${{i\cdot j}\over {2}} $$ ou $${{1\over 2}{ij}}$$ ou $${{ij}\over 2}$$

f) Um quinto do produto de três números.

$${{x\cdot y\cdot z}\over {5}}$$ ou $${{xyz}\over 5}$$

$${{1\over 5}\cdot{x\cdot y \cdot z}}$$ $${1\over5}{xyz}$$

g) A metade de um número, mais a terça parte de outro.

$${ {m\over 2} + {n\over 3}}$$ ou$${ {1\over2}\cdot x} + {{1\over 3}\cdot y}$$

h) A diferença entre o triplo de um número e o dobro de outro.

$${{3\cdot a} – {2\cdot b}} $$ ou$${3a – 2b}$$

2. Vamos classificar as expressões algébricas em função do número de seus termos.

a) $${2ab} $$ Observando vemos que estamos diante de um produto, sem nenhum sinal de adição ou subtração. É pois uma expressão de um único termo e iremos classificá-la como um monômio.

b) $${3x + 5y – 2z}$$ Facilmente vemos que há três termos, separados por sinais de adição (+) e (-). Portanto estamos diante de um polinômio que recebe a denominação específica de trinômio.

c) $${xy + 3y^2 + 4z – x} $$. Este é um polinômio com quatro termos e não temos denominação específica para ele. É um polinômio de quatro termos.

d) $$ {{xy}\over 3}+{2x^3 }$$ Temos agora dois termos algébricos, separados por um sinal (+) e este recebe a denominação de binômio.

Não se deve esquecer que o que separa os termos de um polinômio são os sinais (+) e (-). Multiplicação e divisão, agrupam os números e letras formando um único termo.

3) Vamos separar as partes literais e os coeficientes numéricos dos termos algébricos.

a) $$ {abc}$$ Qual é o coeficiente numérico?Não vamos esquecer. O coeficiente que não precisa ser escrito é aquele igual unidade e pode ser positivo ou negativo, dependendo do sinal que houver antes do termo. Se for o primeiro termo de uma expressão o sinal (+) é sempre subentendido. Neste caso o nosso coeficiente numérico é (+ 1) ou simplesmente 1.

A parte literal é o produto das letras abc. 

b) $${5\over 3}{xy^5}$$ O coeficiente numérico é a fração 5/3 e a parte literal é o produto $${xy^5}$$. 

c) $${{3mn}\over 7}$$ O coeficiente numérico agora é também uma fração, cujo numerador é 3 e o denominador é 7. Portanto a resposta é 3/7. A parte literal é o produto mn.

d) $${\sqrt 5}{x^3}y$$ Agora nosso coeficiente é $${\sqrt 5}$$ e a parte literal o produto $${x^3}y$$

e) $${-{{ 6ij}\over 11}}$$ Agora nosso coeficiente numérico é uma fração e seu sinal é (-), pois o sinal faz parte dele. $${-{6\over 11}}$$ e a parte literal é o produto ij.

f) $${-{3}^2{x^2}{y^3}}$$ O coeficiente numérico será $${- 3^2} $$  ou $${-9}$$ É importante notar que o sinal está diante da potência e não faz parte dela. Equivale a termos escrito $${-{(3)^2}{x^2}{y^3}}$$

A parte literal é $${x^2}{y^3}$$

g) $${{(-3)^2}{x^2}{y^3}}$$ Agora o coeficiente numérico é $$ {(-3)^2}$$ ou $${+9}$$ ou simplesmente $${9}$$. É muito fácil acontecer neste caso de se cometer o erro de sinal. No caso anterior o sinal (-) estava antes da base da potência, porém, não fazia parte dela. Agora temos a base da potência associada diretamente ao sinal (-). Esta é a diferença e pode ser fatal numa situação de resolução de algum problema, durante uma prova ou coisa assim.

A parte literal é a mesma do exercício anterior  $${x^2}{y^3}$$

Obs.: Esta dificuldade deixa de ser percebida quando o expoente da potência que compõe o coeficiente numérico for ímpar. Neste caso ela sempre terá o sinal da base. 

4. Vamos identificar termos semelhantes em expressões algébricas e agrupá-los.

a) $$ {{xy^2} +{3\over2}{x^2}{y} + {2xy} – 5{xy^2} -{ {xy}\over 5}} $$

Não podemos esquecer. O que torna dois termos semelhantes, é a parte literal. Se houver uma única diferença, eles deixam de ser semelhantes. Assim iremos encontrar $${({xy^2} – 5{xy^2}) + {({3\over2}{x^2}{y})}+{({2xy} -{{xy}\over 5})}} $$ Os termos semelhantes estão colocados entre parênteses. Temos cinco termos, sendo dois pares deles que são semelhantes entre si e um que é diferente de todos os outros.

b) $${{5x} – 4{xy} + 3{x} – 2{y} + {y} – {xy} – {x}} $$ $$ {{(5x + 3x -x)}+{(-4xy – xy)} + {(-2y + y)}} $$

c) $${a^2}{b^3} – {5\over 8}{a^2} + {4\over 3}{b^5} + 2{a^2}{b^3} – {b^5} + 2{a^2}$$ $${{({a^2}{b^3} + 2{a^2}{b^3})} +{(-{5\over 8}{a^2} +2{a^2})} + {({4\over 3}{b^5} – {b^5})}} $$

Havendo dúvidas, contate por um dos canais abaixo. Estou sempre pronto a ajudar quem estiver com dificuldades para entender alguma coisa.

Obs.: Não irão aparecer na prática expressões onde haja somente dois termos semelhantes. Esse número é indeterminado. Agrupamos tantos quantos tiverem a parte literal igual. 

Curitiba, 28 de março de 2016.

Décio Adams

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Matemática – Álgebra. Introdução.

Álgebra

A origem da palavra “álgebra”, é um tanto dúbia. Supõe-se que tenha surgido a partir de um livro de um matemático árabe, escrito no ano 825 d.C. No título desse livro há a palavra “al-jabr” e o assunto é exatamente o estudo que do que hoje denominamos com esse nome.

Traduzindo para uma linguagem comum e direta, consiste na substituição de números (algarismos) por letras ou outros símbolos. O uso das letras universalizou-se, uma vez que isso dispensa a criação de uma nova coleção de símbolos para representar números de qualquer valor. Usamos tanto o alfabeto latino, como o grego, além de alguns símbolos criados especialmente para indicar operações matemáticas. Poderia alguém perguntar:

  • Qual a utilidade de substituir números por letras?
  • À primeira vista, parece não oferecer nenhuma vantagem. Quando porém ingressamos nas aplicações da matemática, para solucionar problemas, percebemos a utilidade desse procedimento. Há sempre um valor a ser determinado, que denominamos incógnita e aí começa o uso de letras para representar números.

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A última ceia do Senhor Jesus

A última ceia de Jesus com os apóstolos

Santa Ceia - 1

Última Ceia do Senhor Jesus (Retirado de página da internet)

 

Esta, na verdade, foi a ceia de despedida de Jesus de Nazaré, cujo nome era Joshua bem Jose, dos seus doze apóstolos. Estes haviam sido criteriosamente eleitos, instruídos e preparados para levar a boa nova do Evangelho que ele veio trazer à humanidade.

Era a ceia da Páscoa judaica. Páscoa, quer dizer passagem. Segundo a tradição dos hebreus, era a celebração da noite em que o Anjo Exterminador, passou pelo Egito, levando à morte todos os primogênitos, exceto nas casas marcadas com o sangue do cordeiro. Este cordeiro devia ser assado inteiro, comido pela família reunida, com pães sem fermento e ervas amargas. Devia ser comido, em estado de prontidão para iniciar uma viagem, pois àquele evento seguiu-se, segundo registros do Deuteronômio, a saída do povo hebreu, finalmente liberto da escravidão egípcia. O dia desta celebração era a noite da sexta-feira, já fazendo parte do sábado, que era o dia de descanso, ou o dia do Senhor.

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Exercícios de potenciação e radiciação.

Lista de exercícios

Resolvidos e comentados.

Uma pessoa, encontrou meus artigos sobre matemática (quatro operações, propriedades, potenciação e radiciação), que publiquei há um ano passado aproximadamente. Ali encontrou meus contatos e telefonou, para pedir ajuda. Trata-se de uma lista de exercícios sobre o assunto. Tentou me explicar por telefone e eu tentei lhe resolver, pela forma como entendi. Graças a Deus, eu tive a ideia de pedir que ele fizesse uma cópia (scanner) e me mandasse por e-mail, pois eu havia entendido erradamente e a resposta estaria errada. São ao todo 13 exercícios, alguns bastante simples de solucionar, outros exigem mais raciocínio, com aplicação de recursos aritméticos e algébricos.

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