Arquivo mensais:abril 2016

Matemática – Álgebra. Divisão na álgebra.

Divisão em álgebra

O processo de divisão algébrica, torna-se por vezes bem complexo. Mas podemos verificar o que é possível fazer. Começamos por monômios, com fatores semelhantes.

Vejamos o exemplo: $${15a^4b^3x^2}:{5a^2bx^2} $$ Para facilitar vamos colocar na forma de divisão indicada, isto é, como uma fração algébrica. $${15a^{4}b^{3}x^{2}}\over{5a^{2}bx^{2}} $$

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Exercícios resolvidos de produtos notáveis.

Exercícios de produtos notáveis.

  1. Usando a regra do quadrado da soma de dois números, obtenha os trinômios quadrados perfeitos que resultam das expressões a seguir. $${(uv + z)}^2 $$ $$ {(5m + r)}^2 $$ $$ {(7 + 2p)}^2$$ $${(a + 6b)}^2$$ $${(10x^{2 }+ y^{2})}^2$$ $${(mp^{3} + nr^{2})}^2$$

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Matemática – Álgebra. Exercícios de produtos notáveis

Exercícios de produtos notáveis.

  1. Usando a regra do quadrado da soma de dois números, obtenha os trinômios quadrados perfeitos que resultam das expressões a seguir. $${(uv + z)}^2 $$ $$ {(5m + r)}^2 $$ $$ {(7 + 2p)}^2$$ $${(a + 6b)}^2$$ $${(10x^{2 }+ y^{2})}^2$$ $${(mp^{3} + nr^{2})}^2$$
  2. Faça o mesmo usando a regra do quadrado da diferença entre dois números, com as expressões abaixo. $${(5a – 2b)}^2$$ $$ {(a^{2}i – b^{3}j)}^2$$ $$ {(2vx – 3uy)}^2$$ $$ {(4 q^{3} – 6p^{2})}^{2} $$ $${(12 – 3 a^{3})}^2$$ $$ {(15 – 3x)}^2$$ $$ {(7x – 8y)}^2 $$
  3. Usando a regra do produto da soma de dois números pela sua diferença, obtenha os binômios resultantes das multiplicações abaixo. $${(7 + 2x)}{(7 – 2x)}$$ $${(5 – 3y)}{(5 + 3y)}$$ $$ {(ab^{2} + b)}{(ab^{2} – b)}$$ $${(xy + xz)}{(xy – xz)}$$ $$ {(4m – 3n)}{(4m + 3n)}$$ $$ {(7x^{3} + 2y^{2})}{(7x^{3} – 2y^{2})}$$
  4. Use agora a regra do cubo da soma de dois números para obter os polinômios de quatro termos resultantes das expressões abaixo. $${2a + 5b)}^3$$ $${(7 +2j)}^3$$ $$ {(x + 3yz)}^3$$ $$ {(4l + 5m)}^3$$ $${(ma + nb)}^3 $$ $${(11 + 4r)}^3 $$
  5.  Vamos fazer o mesmo com a regra do cubo da diferença. $${(4m – 2)}^3$$ $${(3x – 5y)}^3$$ $${(9 – 5a)}^3$$ $${(5 – 4x)}^3 $$ $${(10 – 5c)}^3 $$ $${(3ab – x)}^3$$ $${(pq^{2} – rq)}^3$$
  6. Chegou o momento de usar as regras mais avançadas. Multiplique os quadrados das somas pelas diferenças dos mesmos números, usando a regra vista no post anterior. $${(ax + by)}^{2}\cdot {(ax – by)} $$ $$ {(5 + 3x)}^{2}\cdot{(5 – 3x)} $$ $$ {(4n + m^{2})}^{2}\cdot{(4n – m)} $$ $${(5a + 3b)}^{2}\cdot{(5a – 3b)} $$ $${(7x + 2y)}^{2}\cdot{7x -2y)} $$ $${(10 + 3v)}^{2}\cdot{(10 – 3v)}$$ $${(px + qy)}^{2}\cdot{(px – qy)} $$
  7. Agora vamos multiplicar o quadrado das diferenças, pelas somas dos dois números, conforme a regra vista. $${(3x – 2y)}^{2}\cdot{(3x + 2y)} $$ $${(5a – bx)}^{2}\cdot{(5a + bx)}$$ $${(1 – 5x)}^{2}\cdot{(1 + 5x)}$$ $$ {(6t – 4s)}^{2}\cdot{(6t+ 4s)}$$ $${(8l – z)}^{2}\cdot{(8l +z)} $$ $${(4n – 5m)}^{2}\cdot{(4n +5m)}$$ $${(r – pq)}^{2}\cdot{(r + pq)} $$

Para sanar as dúvidas, vamos verificar se esses polinômios estão realmente corretos e isso podemos fazer, substituindo as letras por valores. Se efetuarmos as operações, seguindo os dois caminhos, os resultados devem ser obrigatoriamente iguais, do contrário há algo errado no polinômio, ou então a regra é furada. Vamos tirar essa dúvida.

Escolhendo dois números, que iremos substituir por y, podemos verificar as regras uma por uma. Vamos atribuir o valor 7 à letra  e o  valor 3 à letra y.

Agora vamos tomar os produtos notáveis, na ordem em que os estudamos.

Quadrado da soma: $${ (x + y) }^2 $$ $$ x^2 + 2xy + y^2 $$

Vamos substituir as letras y, pelos valores 7 e 3, efetuando os cálculos.

$${( 7 + 3)}^2$$ $${(10)}^2 $$ Que resulta no número 100.

$${(7)^2 + 2\cdot 7\cdot 3 + (3)^2 }$$ $$ { 49 + 42 + 9}$$ $$ {91 + 9} $$ Também resulta no número 100. Isso nos mostra que a regra do quadrado da soma está correta, pois tanto a substituição direta no binômio soma e sua elevação ao quadrado, quanto a substituição no trinômio quadrado perfeito, resultaram no mesmo valor, ou seja 100.

E o quadrado da diferença? $${ (x – y)}^2$$ $$ {x^2 – 2xy + y^2} $$ Substituindo as letras pelos seus respectivos valores teremos: $${(7 – 3)}^2$$ $$ {4}^2 $$ $$ 16 $$

$${(7)^2 – 2\cdot 7\cdot 3 + (3)^2} $$ $$ {49 – 42 + 9} $$ $${ 7 + 9} $$ $$ 16 $$

Novamente, os resultados deram iguais. O que nos demonstra que a regra do quadrado da soma também é válida.

Produto da soma, pela diferença. $${(x + y )}{( x- y)} $$ $${ x^2 – y^2} $$ Fazendo a substituição teremos: $${ (7 + 3)} {(7 – 3)} $$ $$ {10 \cdot 4} $$ $$ {40}$$

$${7^2 – 3^2} $$ $${49 – 9}$$ $$ 40$$

Mas não é que deu igual! A regra do produto da soma pela diferença, também está verificada. Interessante não é?! A matemática é uma maravilha e não morde. Basta prestar atenção e começar a entender desde a base. O resto é mera consequência.

Mas ainda falta verificar mais coisas. Como fica o cubo da soma? $${(x + y)}^3$$ $${x^3 +3 x^{2}y + 3xy^{2}+ y^3} $$

$${(7 +3)}^3 $$ $${(10)}^3$$ $$ 1000 $$

$${7^3 + 3\cdot{7}^2\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot {3}^2 + 3^3} $$ $$ {343 + 3\cdot 49\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot {3}^2 + 3^3}$$ $${343 + 441 + 189 + 27 } $$ $${1000} $$

Maravilha. O cubo da soma também está corretíssimo. Isso é bom, não acha?

O cubo da diferença, parece que nem precisa verificar, mas vamos tirar a prova assim mesmo.

$${(x – y )}^3$$ $$ {x^3 – 3x^{2}y + 3xy^{2} – y^3}$$ Substituindo as letras pelos números, temos;

$${( 7 – 3)}^3 $$ $$ {4}^3 $$ $$ {64}$$

$${7^3 – 3\cdot {7}^2\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot{3}^2 – 3^3 }$$ $${343 – 3\cdot 49\cdot 3 + 3\cdot 7\cdot 9 – 27}$$ $${ 343 – 441 + 189 – 27} $$ $${532 – 469} $$ $$ {63}$$

Uau! Também deu certo. Não vejo a hora de verificar o resto.

Produto do quadrado da soma, pela diferença. $${(x + y)}^2\cdot{(x – y)}$$ $${x^3 +x^{2}y – xy^{2} – y^3} $$ Vamos substituir os números agora. $${( 7 + 3)}^2\cdot {(7 -3)} $$ $${(10)}^{2}\cdot 4 $$ $$ {100\cdot 4}$$ $$ 400 $$

$${(7^3 + 7^2\cdot 3 – 7\cdot 3^2 – 3^3} $$ $$ {343 + 49\cdot 3 – 7\cdot 9 – 27}$$ $${ 343 + 147 – 63 – 27} $$ $$ {490 – 90} $$ $$ 400 $$

Não resta dúvida. Deu certo mais uma vez. 7

Produto do quadrado da diferença, pela soma dos dois números. $${(x – y)}^{2}\ cdot{(x + y)} $$ $$ {x^3 – x^{2} y – xy^{2} + y^3 } $$ Na substituição ficamos com: $${( 7 – 3)}^2\cdot{(7 + 3)} $$ $$ {4}^2\cdot {(10)} $$ $$ 16\cdot 10 $$ $$ 160 $$

$${7^3 – 7^{2}\cdot 3 – 7\cdot{3}^2 + 3^3} $$ $${ 343 – 147 – 63 + 27}$$ $$ {370 – 210} $$ $$ 160$$

Fechou de vez. Todas as regras vistas estão corretas e podem ser usadas sem problema. Não resta a menor dúvida.

Eu estou imaginando que alguém, neste momento, depois de ver a resolução de todas as regras, irá dizer: Mas por que vou usar tantos cálculos, se a forma direta é muito mais rápida e simples?

Sou levado a concordar com você. Realmente o cálculo feito com os números, sem todas as potências, sinais, multiplicações e tudo mais é bem mais curto e igualmente correto. Mas, no futuro, continuando os estudos, surgirão momentos, como por exemplo na fatoração, quando estas regras se tornarão extremamente úteis. Posso garantir, sem a menor dúvida, que você irá me agradecer, se conseguir lembrar ou encontrar um lugar qualquer em que isso esteja anotado para poder usar e facilitar sua vida, especialmente quem for continuar seus estudos em alguma área que utiliza matemática como ferramenta constante. Se você não for continuar nesse sentido, não fique triste, pois o conhecimento não ocupa espaço, o raciocínio se desenvolve e é aplicável em inúmeras situações, até mesmo onde você menos espera. Ao aprender estas coisas não estará gastando seu cérebro, que é como os músculos. Quanto mais usa, melhor eles funcionam. Sua memória e mesmo seu cérebro irão lhe agradecer muito pelos exercícios aos quais você os submete, pois isso os mantem ágeis e funcionando à perfeição. A memória é uma coisa natural de nosso cérebro. Ele registra e armazena tudo que vivemos em cada momento. Pouco lhe importa se você quer ou não lembrar dos fatos. Eles ficam registrados. Por isso, quanto mais você a usar para armazenar coisas úteis, melhor para você mesmo, para sua saúde física e mental. Tudo isso pode até ajudar a retardar o eventual aparecimento de doenças como Alzheimer, Parkinson. Não que isso seja um remédio para evitar, mas que ajuda e muito, disso não resta dúvida.

Curitiba, 16 de abril de 2016.

Décio Adams

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Matemática – Álgebra. Produtos notáveis (continuação)

Agora o bicho vai pegar

Vamos avançar mais um pouco com os produtos notáveis. Nem todos os livros apresentam esses tópicos, mas vale a pena conhecer, se você deseja ir um pouco mais longe, desenvolver mais suas aptidões.

Vamos ver o Cubo da Soma de dois números.

Os dois números, serão novamente representados por duas letras. Para manter a sequência adotada nos primeiros três casos, vamos usar novamente as letras para isso.

$${{( a + b)}^3} $$ Podemos separar a potência de expoente 3 em um produto de potências de mesma base, com um expoente 2 e outro 1. Assim:

$${{( a + b)}^2}{(a + b)} $$ Como já sabemos o resultado do quadrado da soma, podemos agora fazer a multiplicação do trinômio quadrado perfeito resultante, pela soma dos números b. 

$${ (a^2 + 2ab + b^2)}{(a + b)} $$ $${(a^2)}{a} + {(2ab)}{a} +{(b^2)}{a} + {(a^2)}{b} + {(2ab)}{b} + {(b^2)}{b} $$ $${a^3} + {2a^{2}b} + {b^2}a + {a^{2}b} + {2ab^{2}}+ {b^3}$$ Temos agora um polinômio com seis termos, onde existem dois pares de termos semelhantes. Vamos agrupar estes termos e depois efetuar a adição de seus coeficientes numéricos. $${a^3} + 2a^{2}b + a^{2}b + 2ab^{2} + ab^{2} + {b^3} $$ $$ {a^3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b{^3}$$ O resultado é um polinômio de quatro termos e podemos enunciar a regra para sua obtenção da seguinte maneira:

“O cubo da soma de dois números é igual ao cubo do primeiro termo, mais o triplo do produto entre o quadrado do primeiro termo e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo, pelo quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Vejamos um outro exemplo para resolver, aplicando essa regra.

$${( 2x + 3y)}^3 $$ Para facilitar, vamos por partes. O primeiro termo é 2x  e o seu cubo é $$ {(2x)}^3 $$ $$ 8 x^3 $$

O triplo do quadrado do primeiro, multiplicado pelo segundo termo será: $$ {3\cdot{(2^{2}x^{2})}{(3y)}} $$ $$ 36 x^{2}y$$

O triplo do primeiro termo, multiplicado pelo quadrado do segundo será: $$ 3\cdot{2x}\cdot{(3^{2}y^{2})}$$  $$ 54xy^{2} $$

O cubo do segundo termo será $${(3y)}^3$$ $$ 27y^3$$

Falta agora apenas escrever os termos na ordem correta, para terminar:

$$ 8x^3 + 36 x^{2}y + 54xy^{2} + 27y^3 $$

Podemos dizer que esse polinômio de quatro termos é um cubo perfeito.

É a vez do cubo da diferença de dois números.

Para manter a continuidade, vamos considerar os mesmos números (letras) e desenvolver o produto.

$${( a – b )}^3 $$ Novamente desmembramos numa multiplicação de potências de mesma base.

$${( a – b )}^{2} {(a – b)} $$ $$ { (a^2 – 2ab + b^2)}{( a – b )} $$ $$ a^{2}{a} – 2a{a}b + a{b^{2}} + a^{2}{(-b)} – 2ab{(-b)} + b^{2}{(-b)} $$ $$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b +2ab^{2} – b^{3} $$ Agrupando os termos semelhantes e somando os coeficientes:

$$ a^{3} – 2a^{2} b – a^{2}b + ab^{2} + 2ab^{2} – b^{3} $$ $$ a^{3} – 3a^{2}b + 3ab^{2} – b^{3} $$ Se compararmos esse polinômio com o que foi obtido no caso do cubo da soma de dois números, veremos que eles são exatamente iguais, exceto dois sinais (-) no segundo e quarto termos. Assim, podemos escrever a regra.

“O cubo da direrença entre dois números é dado pela cubo do primeiro termo, menos o triplo do produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, mais o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Para aplicar a regra, vamos a um exemplo.

$$ {( ax – by)}^{3} $$ O primeiro termo é ax e o segundo termo é by. Vamos agora aplicar a regra

O cubo do primeiro termo é $${(ax)}^{3} $$ $$ a^{3}x^{3} $$

O triplo do quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo termo é $$ 3{(ax)}^{2}{(by)} $$ $$ 3a^{2}bx^{2}y $$

O triplo do primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo é

$$ 3ab^{2}xy{2} $$

O cubo do segundo termo é $$ {(by)} ^{3} $$ $$b^{3}y^{3} $$

Escrevendo na ordem correta e aplicando os sinais teremos

$$ a^{3}x^{3} – 3 a^{2}bx^{2}y + 3ab^{2}xy^{2} – b^{3}y^{3} $$

Produto do quadrado da soma, pela diferença de dois números.

$${( a + b)}^{2}\cdot {(a – b)} $$ Já sabemos que o quadrado da soma é um trinômio quadrado perfeito (trinômio soma). Podemos usar o resultado imediatamente.

$${( a^{2} + 2ab + b^{2})} {(a – b)} $$ $$ {a}{a^{2}} + {a}{(2ab)} + {a}{b^{2}} +{(-b)}{a^{2}} + {(-b)}{(2ab)} + {(-b)}{b^{2}} $$ $$ a^{3} + 2a^{2}b + ab^{2} – a^{2}b – 2ab^{2} – b^{3} $$ $$ a^{3} + 2a^{2}b – a^{2}b + ab^{2} – 2ab^{2} – b^{3} $$ $$ a^{3} + a^{2}b -ab^{2} – b^{3} $$

Podemos enunciar a regra para obter o produto do quadrado de dois números pela sua diferença, como segue.

“O produto do quadrado de dois números, pela sua diferença é dado pelo cubo do primeiro termo, mais o quadrado do primeiro multiplicado pelo segundo, menos o primeiro multiplicado pelo quadrado do segundo, menos o cubo do segundo termo”.

Vamos tentar por em prática? Seja:$$ {(2x + y)}^{2}\cdot{(2x – y)} $$  $${(4x^{2} + 4xy + y^{2})}{(2x – y)} $$ $$ {(2x)}^{3} + {(2x)}^{2}{y} – 2x{y^{2}} – {y^{3}} $$ $$ 8x^3 + 4x^{2}y – 2xy^2 – y^3 $$

Produto do quadrado da diferença entre dois números pela sua soma.

$${( a – b )}^{2}\cdot{(a + b)} $$ O procedimento é semelhante ao anterior.

$${( a^{2} – 2ab + b^{2})} {(a + b)} $$ $$ a^{2}a + {(- 2ab)}{(a)} + ab^{2} + a^{2}b + {(- 2ab)}{(b)} + {(b^{2})}{b} $$ $$ a^{3} – 2a^{2}b + ab^{2} + a^{2}b – 2ab^{2} + b^{3} $$ $$ a^{3} -2a^{2}b + a^{2}b + ab^{2} -2ab^{2} + b^{3} $$ $$ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3}$$ $$ a^{3} – a^{2}b – ab^{2} + b^{3} $$

“O produto entre o quadrado da diferença entre dois números e a sua soma, é igual ao cubo do primeiro termo, menos o produto entre o quadrado do primeiro e o segundo termo, menos o produto entre o primeiro termo e o quadrado do segundo, mais o cubo do segundo termo”.

Obs.: Para memorizar, fica bastante fácil. Basta observar que os termos são obtidos de mesmo modo, apenas há a diferença entre os sinais dos termos. Se conseguir criar um mecanismo que permita recordar essas sequências, terá meio caminho andado para lembrar dos enunciados. 

Vamos por em prática. $$ {( ma + n)} {(ma – n)}^{2} $$ $${( ma + n)}{[(ma)^{2} – 2mna + n^{2}]} $$ $$ m^{3}a^{3} – m^{2}na^{2} – mn^{2}a + n^{3} $$

Vamos deixar os exercícios para um momento próximo. Esses são trabalhosos, mas em momentos de aplicação, ajudam a economizar um bocado de tempo no desenvolvimento de expressões maiores. Sem esquecer de um assunto que vem pouco à frente, que é a fatoração, onde fazemos o processo inverso do que fazemos aqui.

Curitiba, 15 de abril de 2016

Décio Adams

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Incursão ao futuro.

Pesquisa histórica no futuro.

Nos últimos dias me peguei pensando, procurando imaginar a vida de um pesquisador, daqui a um século, pouco mais ou menos, revirando os arquivos escritos, virtuais, ou sejam os meios então disponíveis, no afã de escrever sua Tese de Doutorado em história. Na sequência imaginei que ele tenha escolhido o período da história nacional, envolvendo as duas primeiras décadas do século XXI.

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Matemática – Álgebra – Produtos notáveis.

O que é algo notávelI? 

Tudo que tem uma característica que chama atenção, tem algo além do comum, pode ser apontado como algo notável. Então, a expressão Produtos notáveis tem algo de importante e que tem aplicações importantes em algum assunto mais adiante. Vejamos quais são esses casos.

Quadrado da soma de dois números. 

Você provavelmente irá pensar que é mais fácil efetuar a soma e depois calcular a potência, ou seja elevar ao quadrado. Mas, se os números estiverem representados por letras, ou letras e números, como fica? Vamos ver?

$${ a + b} $$ É a adição dos números representados por letras e fica indicada. Vamos elevar ao quadrado:

$${( a + b)}^2 $$ Temos a multiplicação de um binômio por ele mesmo. a é o primeiro termo e b é o segundo termo.

$${(a + b)}\cdot{(a + b)} $$ $$ {a}\cdot {a} + {a}\cdot{b} + {b}\cdot {a} + {b}\cdot{b}$$ $$ a^2 + ab + ba + b^2 $$ Há dois termos semelhantes, embora estejam com a ordem das letras invertida, isso não significa nada. Podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação e colocar ambos na mesma ordem.

$$ a^2 + ab + ab + b^2$$ $$ a^2 + 2ab + b^2$$ O resultado é um trinômio, cujo primeiro termo é o primeiro termo da soma elevado ao quadrado, o segundo termo é o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo e o terceiro termo é o quadrado do segundo termo da soma elevado ao quadrado. Isso nos permite estabelecer a regra que pode ser usada em qualquer caso de uma soma de dois números, elevada ao quadrado.

“O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Vamos aplicar isso em alguns exemplos:

a) $$ { (2x + y)}^2$$ Primeiro termo é 2x o segundo termo é y

$$ {(2x)}^2 + 2\cdot 2\cdot{x}{y} + y^2 $$ $$ 4x^2 + 4xy + y^2$$

b) $$ {(3m + 5)}^2$$ O primeiro termo é 3m e o segundo termo é 5.

$$ {(3m)}^2 + 2\cdot 3\cdot {m}\cdot 5 + 5^2$$ $$ 9m^2 + 30m + 25 $$

c) $${( 6 + 4xy)}^2$$ O primeiro termo é 6 e o segundo termo é 4xy.

$$ 6^2 + 2\cdot 6\cdot {(4xy)} + {(4xy)}^2 $$ $$36 + 48xy + 16x^{2}y^{2} $$

d) $$ {( p + 3 q)}^2$$ Primeiro termo é p o segundo termo é 3q.

$$ p^2 + 2\cdot {p}\cdot{3q} + {(3q)}^2 $$ $$ p^2 + 6pq + 9q^2$$

Quadrado da diferença de dois números

Da mesma forma que no caso da soma, também ocorre com a diferença. Os números são representados por letras, formando no final a multiplicação de dois binômios iguais. Seja o exempl:

$${( a – b)}^2 $$

 A letra a é o primeiro termo e a b é o segundo.

$${( a – b)}{(a – b)} $$ Cada termo do primeiro fator é multiplicado por todos os termos do segundo fator. O que resulta em:

$${a}\cdot {a} + {a}\cdot {(-b) } + {(-b)}\cdot {a} + {-b}\cdot{b} $$ $$ a^{(1+ 1)} – ab – ba + b^{(1 + 1)} $$ $$ a^2 – 2ab + b^2 $$

Os dois termos (- ab) e (-ba), são semelhantes, pois a ordem dos fatores pode ser alterada sem causar problemas no resultado. Assim passamos a ter que:

“O quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo multiplicado pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Vamos exercitar:

a) $${(x – y)}^2$$  O primeiro termo é a letra x e o segundo termo é a letra y.

$${(x – y )}{(x – y)}$$ $$ x^2 – 2xy + y^2$$

b) $${(3x – 2y)}^2$$ O primeiro termo é 3x e o segundo termo é 2y.

$${(3x)}^2 – 2\cdot {(3x)}{(2y)} +{(2y)}^2$$ $$ 9x^2 – 12xy + 4y^2 $$

c) $${(ab – bc)}^2$$ O primeiro termo é ab e o segundo termo é bc.

$${(ab – bc)} {(ab – bc)} $$ $${(ab)}^2 – 2\cdot{(ab)}{(bc)} + {(bc)}^2 $$ $$ a^{2}b^{2} – 2ab^{2}c + b^{2}c^{2} $$

d) $${(5 – 2a)}^2$$ $$ {(5 – 2a)}{(5 – 2a)}$$ $$ 5^2 – 2\cdot 5\cdot{2a} + {(2a)}^2$$  $$ 25 – 20a + 4a^2 $$

Obs.: Note que tanto o quadrado da soma como da diferença, resulta sempre em um trinômio, onde há dois termos que são quadrados e um termo que representa o produto dos dois termos. Costmeiramente esses trinômios recebem o nome de Trinômio quadrado perfeito. Voltaremos a falar neles em outro momento. 

Produto da soma de dois números pela sua diferença.

Sejam os números representados pelas letras b. A soma será (a + b) e a diferença será (a – b). Vamos multiplicar o binômio soma pelo binômio diferença.

$${(a + b) } {(a – b)} $$ $${a}{a} + {a}{(-b)} + {b}{a} + {b}{(-b)} $$ $$ a^2 – ab + ab – b^2$$ $$ a^2 – b^2$$

Notamos que os dois termos semelhantes, são simétricos e por isso sua soma é igual a zero, isto é, se anulam. O resultado é um binômio diferença entre as diferenças dos quadrados dos dois números. 

“O produto da soma de dois números pela sua diferença, é igual à diferença entre seus quadrados”. Poderíamos também dizer: O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo”. 

Vamos exercitar um pouco.

a) $$ {(mn + n)}{(mn – n)} $$ $$ {(mn)}^2 – n^2 $$ $$ m^{2}n^{2} – n^2 $$

b) $$ {(7 – 3x)} {(7 + 3x)} $$ $$ {7}^2 – {3x}^2 $$ $$ 49 – 9x^2 $$

c) $$ {(4x + 3z)}{(4x – 3z)} $$ $${(4x)}^2 – {(3z)}^2 $$ $$ 16x^2 – 9z^2 $$

d) $$ {( 1 + ab)}{( 1 – ab)} $$ $$ 1^2 -{(ab)}^2 $$ $$ 1 – a^{2}b^{2} $$

Curitiba, 09 de abril de 2016

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Matemática – Álgebra. Multiplicação de polinômios, exercitando.

Exercitar é o caminho da aprendizagem.

Vamos começar por resolver os exercícios que ficaram no último post, sobre esse assunto.

  1. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos a seguir.

a) $${({7\over 5}{bx})}{({5\over 3}{cx^2})}$$

Vamos agrupar os coeficientes e as partes literais, para facilitar a operação.

$$({7\over 5})\cdot({5\over3})\cdot {(bx)}\cdot {(cx^2)}$$ Entre as frações coeficientes, temos fatores comuns entre numerador e denominador, o que permite simplificar. As partes literais, tem os expoentes da mesma letra somados na multiplicação.

$${7\over 3}{bcx^{(1 +2)}} $$ $${7\over 3}{bcx^3}$$

b) $${(2ay)}{(5ay)}$$ Agrupando os fatores $${2\cdot 5}\cdot{a\cdot a}\cdot{y\cdot y}$$ $$ {10\cdot {a^{(1 + 1)}}\cdot {y^{(1+1)}}}$$ $${10{a^2}{y^2}}$$

c) $${(6 pr)}{({2\over3}{qr})}$$ Obs.: Qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração, com o número por numerador e denominador igual a unidade. É o que iremos fazer neste exercício, para entender melhor a multiplicação dos coeficientes numéricos. Com a prática isso se torna despensável.

$$({6\over 1})\cdot({2\over 3})\cdot{(pr)}\cdot{(qr)}$$ O numerador da primeira fração é divisível pelo denominador da segunda. Vamos simplificar, eliminando o denominador. $$ {(2\cdot 2)}\cdot{pq}\cdot{r^{(1 + 1)}}$$ $$ {4pqr^2}$$

d) $${(3 i)}{(5ij)}$$ $${3\cdot 5}\cdot{i\cdot i}\cdot {j}$$ $${15\cdot{i^{(1 + 1)}}\cdot {j}}$$  $${15{i^2}j}$$

e) $${(4mn)}{(3n^3)}$$ $${(4\cdot 3)}\cdot m\cdot{n^{(1+3)}}$$ $${12mn^4}$$

f) $${(a{x^2}y)}{(bx{y^3})}$$ $${a\cdot b\cdot x^{(2 +1)}\cdot y^{(1 + 3)}}$$ $${abx^3y^4}$$

2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.

a) $${{(3ab)}\cdot {(2a + 3b – 5c)}}$$ $${(3ab)}\cdot{(2a)} +{(3ab)}\cdot{(3b)} + {(3ab)}\cdot{(-5c)}$$ $${(3\cdot 2)\cdot a^{(1 + 1)}\cdot b} +{3\cdot 3\cdot ab^{(1+1)}} + {3\cdot{(-5)}\cdot abc}$$ $$ {6a^2b + 9ab^2 – 15abc}$$

b) $${(mx^2)}\cdot {(mx + n{x^2}y + mxy)}$$ $${(mx^2)}\cdot{(mx)} +{(mx^2)}\cdot{(nx^{2} y)} + {(mx^2)}\cdot{(mxy)}$$ $${m^{(1 + 1)}{x^{(2 +1)}} +{mnx^{(2+2)} y} + {m^{(1+1)}x^{(2+1)}} y}$$ $$ {m^2}{x^3} + mnx^{4}y +m^{2}x^{3}y$$

c) $${(5 {u^2}v)}{(2uv + 4u – 5v + {{u^2}v^3})}$$ $${(5{u^2}v)}\cdot{(2uv)} + {(5{u^2}v)}\cdot{(4u)} + {(5{u^2}v)}\cdot{(-5v)} +{(5{u^2}v)}\cdot({u^2}{v^3}) $$ $${(5\cdot 2)\cdot{u^2}v\cdot{uv}} +{(5\cdot 4)\cdot{u^2}v\cdot{u}} + {5\cdot{(-5)}{u^2}v\cdot{v}} + {(5\cdot{u^2}v\cdot{u^2}{v^3}}$$ $${10u^{3} v^{2} + 20u^{3}v -25u^{2}v^{2} + 5u^{4}v^{4}}$$

d) $$({2\over 3}{axy^3}){(6xy – 3ay^2 + 9a{x^2}y)}$$$$({2\over 3}{axy^3})\cdot{(6xy)} + ({2\over3}{axy^3})\cdot {(-3ay^2)} + ({2\over 3}{axy^3})\cdot{(9ax^{2}y)}$$ $${2\over 3}\cdot{6}\cdot{(axy^3)}\cdot{xy} + {2\over 3}\cdot {(-3)}\cdot {axy^3} \cdot{ay^2} + {2\over 3}\cdot 9\cdot{axy^3}\cdot{ax^{2}y} $$ $${4ax^{(1+1)}y^{(3+1)}} -2a^{(1+1)}xy^{(3+2)} + 6a^{(1 + 1)}x^{(1+2)}y^{(3 + 1)}$$ $$ 4ax^{2}y^{4} – 2a^{2}xy^{5} + 6a^{2}x^{3}y^{4}$$

3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.

a)$${( a + ab)}{(abx + x)} $$ Agora chegou a hora de multiplicar todos os termos do primeiro polinômio, por todos os do segundo. No final reduzir os termos semelhantes, se os houver. Assim:

$${a}\cdot {abx} + {a}\cdot{x} + {ab}\cdot {abx} + {ab}\cdot {x} $$ $$a^{(1+1)}bx + ax + a^{(1+1)}b^{(1+1)}x + abx $$ $$ a^{2}bx + ax  + a^{2}b^{2}x + abx $$

b)$${(pm – {p^2}n)}{(m^2 – pm^2 – pn)}$$

$$ {pm}\cdot (m^2) + {pm}\cdot {(-pm^2)} + {pm}\cdot {-pn} + {(- p^2)}n\cdot {(m^2)} + {(-p^2)}n\cdot {(-pm^2)} + {(-p^2)}n\cdot{(-pn)} $$ $$ pm^{(1 + 2)} – p^{(1 + 1)}m^{(1 +2)} – p^{(1 + 1)}mn – p^{2 }m^{2}n + p{(2+1)}m^{2}n + p^{(2+1)}n^{(1+1)} $$ $$pm^3 -p^{2} m^3 – p^{2}mn – p^{2}m^{2}n + p^{3}m^{2}n + p^{3}n^{2} $$

Não há termos semelhantes, portanto a expressão final fica assim mesmo.

c)$${(2x – 3 y)}{(5 + 2xy – 4 x^2 + 3xy^3)}$$

$${2x}\cdot 5 + 2x\cdot {2xy} + 2x\cdot {(-4x^2)} + 2x\cdot {(3xy^3} + {(-3y)}\cdot 5 + {(-3y)}\cdot {(2xy)} +{(-3y)}\cdot {(3xy^3)} +{(-3y)}\cdot {(-4x^2)} $$

$$ 10x + 4x^{2}y – 8x^{(1+2)} +6x^{(1+1)}y^3 -15 y -6xy^{(1 +1)} – 9 xy^{(1 + 3)} +12x^{2}y $$

$$ 10x + 4x^{2} y – 8x^3 + 6x^{2}y^3 – 15 y – 6xy^2 – 9xy^4 + 12 x^{2}y $$

d) $${(3u + 5v)}{(6u^2 – 2 v + 7uv)}$$

$$3u\cdot{(6u^2)} + 3u\cdot {(-2v)} + 3u\cdot{(7uv)} + 5v\cdot{(6u^{2})} + 5v\cdot{(- 2v)} + 5v\cdot{(7uv)} $$ $$18u^3 – 6uv + 21 u^{2}v + 30u^2 – 10v^2 + 35uv^{2} $$

Curitiba, 09 de abril de 2016

Décio Adams

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Política. O que é esquerda? Direita? Centro?

Questão semântica ou dialética?

Para introduzir o assunto, vou lembrar que eu tinha exatamente 15 (quinze) anos de idade, quando ocorreu o Golpe Militar de 1964 (por muito tempo denominado Revolução). Em 1967 prestei serviço militar, passando para reserva como cabo reservista de primeira categoria. Isso tudo ocorreu no Rio Grande do Sul, onde nasci e vivi até aos 19 (dezenove) anos.

Vale lembrar que sou filho de pais, nascidos de imigrantes, ou netos de imigrantes alemães. Nasci em 1948, logo depois do fim da segunda Guerra Mundial. Durante a Guerra, era proibido aos alemães terem rádios, pois permitiam sintonizar estações da Alemanha, ouvindo os discursos de Hitler. Isso criou um clima de medo e a consequência foi que, as famílias mais preocupadas com a segurança de seus membros, orientavam desde cedo que era preferível ficar de boca fechada, obedecer sem discutir e não dar motivos de aborrecimento. Cair nas mãos das autoridades, era algo considerado terrível, quase fatal. Assim começava a vida da gente naquele tempo. Aprendia-se desde cedo a por em prática os cuidados da preservação da própria vida. O resto, bem o resto se veria depois. Primeiro era importante estar vivo, depois pensar em outras coisas. Os mortos não tem mais vontades, nem necessidades.

Tão logo passei para a reserva, vim para Foz do Iguaçu, Paraná. Minha família havia se mudado para o interior do município, onde atuavam na agricultura. Tendo antes estudado no internato, até o começo da quarta série do ginásio, eu quis continuar os estudos e consegui trabalho na agência local do extinto Banco Comercial do Paraná S.A. Do ponto de vista político, eu estava completamente obliterado. Vindo de lugar remoto, com pouca comunicação com o mundo, aprendi cedo a classificar os políticos em de esquerda e direita, aparecendo também os de centro. Na minha visão limitada da época, os da esquerda eram os que promoviam anarquia, buscavam subverter a ordem, implantar o comunismo e coisas assim. Foi fácil associar a palavra esquerda com o latim, onde sinistra é esquerda e na literatura, a qual eu já tivera relativo acesso, tinha conotação negativa. Tanto que um personagem sinistro, era alguém com características a serem temidas. Era capaz de ações cruéis, desumanas e portanto um malvado. Como consequência associei os políticos de esquerda, todos eles, sem exceção com essa característica. Eram pois pessoas que não mereciam confiança. Já os de direita, eram associados à bondade, à ações honestas e todo um corolário de loas à sua propalada bonomia. O que os tornava incondicionalmente merecedores de confiança.

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