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Matemática – Álgebra. Multiplicação de polinômios, exercitando.

Exercitar é o caminho da aprendizagem.

Vamos começar por resolver os exercícios que ficaram no último post, sobre esse assunto.

  1. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos a seguir.

a) $${({7\over 5}{bx})}{({5\over 3}{cx^2})}$$

Vamos agrupar os coeficientes e as partes literais, para facilitar a operação.

$$({7\over 5})\cdot({5\over3})\cdot {(bx)}\cdot {(cx^2)}$$ Entre as frações coeficientes, temos fatores comuns entre numerador e denominador, o que permite simplificar. As partes literais, tem os expoentes da mesma letra somados na multiplicação.

$${7\over 3}{bcx^{(1 +2)}} $$ $${7\over 3}{bcx^3}$$

b) $${(2ay)}{(5ay)}$$ Agrupando os fatores $${2\cdot 5}\cdot{a\cdot a}\cdot{y\cdot y}$$ $$ {10\cdot {a^{(1 + 1)}}\cdot {y^{(1+1)}}}$$ $${10{a^2}{y^2}}$$

c) $${(6 pr)}{({2\over3}{qr})}$$ Obs.: Qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração, com o número por numerador e denominador igual a unidade. É o que iremos fazer neste exercício, para entender melhor a multiplicação dos coeficientes numéricos. Com a prática isso se torna despensável.

$$({6\over 1})\cdot({2\over 3})\cdot{(pr)}\cdot{(qr)}$$ O numerador da primeira fração é divisível pelo denominador da segunda. Vamos simplificar, eliminando o denominador. $$ {(2\cdot 2)}\cdot{pq}\cdot{r^{(1 + 1)}}$$ $$ {4pqr^2}$$

d) $${(3 i)}{(5ij)}$$ $${3\cdot 5}\cdot{i\cdot i}\cdot {j}$$ $${15\cdot{i^{(1 + 1)}}\cdot {j}}$$  $${15{i^2}j}$$

e) $${(4mn)}{(3n^3)}$$ $${(4\cdot 3)}\cdot m\cdot{n^{(1+3)}}$$ $${12mn^4}$$

f) $${(a{x^2}y)}{(bx{y^3})}$$ $${a\cdot b\cdot x^{(2 +1)}\cdot y^{(1 + 3)}}$$ $${abx^3y^4}$$

2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.

a) $${{(3ab)}\cdot {(2a + 3b – 5c)}}$$ $${(3ab)}\cdot{(2a)} +{(3ab)}\cdot{(3b)} + {(3ab)}\cdot{(-5c)}$$ $${(3\cdot 2)\cdot a^{(1 + 1)}\cdot b} +{3\cdot 3\cdot ab^{(1+1)}} + {3\cdot{(-5)}\cdot abc}$$ $$ {6a^2b + 9ab^2 – 15abc}$$

b) $${(mx^2)}\cdot {(mx + n{x^2}y + mxy)}$$ $${(mx^2)}\cdot{(mx)} +{(mx^2)}\cdot{(nx^{2} y)} + {(mx^2)}\cdot{(mxy)}$$ $${m^{(1 + 1)}{x^{(2 +1)}} +{mnx^{(2+2)} y} + {m^{(1+1)}x^{(2+1)}} y}$$ $$ {m^2}{x^3} + mnx^{4}y +m^{2}x^{3}y$$

c) $${(5 {u^2}v)}{(2uv + 4u – 5v + {{u^2}v^3})}$$ $${(5{u^2}v)}\cdot{(2uv)} + {(5{u^2}v)}\cdot{(4u)} + {(5{u^2}v)}\cdot{(-5v)} +{(5{u^2}v)}\cdot({u^2}{v^3}) $$ $${(5\cdot 2)\cdot{u^2}v\cdot{uv}} +{(5\cdot 4)\cdot{u^2}v\cdot{u}} + {5\cdot{(-5)}{u^2}v\cdot{v}} + {(5\cdot{u^2}v\cdot{u^2}{v^3}}$$ $${10u^{3} v^{2} + 20u^{3}v -25u^{2}v^{2} + 5u^{4}v^{4}}$$

d) $$({2\over 3}{axy^3}){(6xy – 3ay^2 + 9a{x^2}y)}$$$$({2\over 3}{axy^3})\cdot{(6xy)} + ({2\over3}{axy^3})\cdot {(-3ay^2)} + ({2\over 3}{axy^3})\cdot{(9ax^{2}y)}$$ $${2\over 3}\cdot{6}\cdot{(axy^3)}\cdot{xy} + {2\over 3}\cdot {(-3)}\cdot {axy^3} \cdot{ay^2} + {2\over 3}\cdot 9\cdot{axy^3}\cdot{ax^{2}y} $$ $${4ax^{(1+1)}y^{(3+1)}} -2a^{(1+1)}xy^{(3+2)} + 6a^{(1 + 1)}x^{(1+2)}y^{(3 + 1)}$$ $$ 4ax^{2}y^{4} – 2a^{2}xy^{5} + 6a^{2}x^{3}y^{4}$$

3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.

a)$${( a + ab)}{(abx + x)} $$ Agora chegou a hora de multiplicar todos os termos do primeiro polinômio, por todos os do segundo. No final reduzir os termos semelhantes, se os houver. Assim:

$${a}\cdot {abx} + {a}\cdot{x} + {ab}\cdot {abx} + {ab}\cdot {x} $$ $$a^{(1+1)}bx + ax + a^{(1+1)}b^{(1+1)}x + abx $$ $$ a^{2}bx + ax  + a^{2}b^{2}x + abx $$

b)$${(pm – {p^2}n)}{(m^2 – pm^2 – pn)}$$

$$ {pm}\cdot (m^2) + {pm}\cdot {(-pm^2)} + {pm}\cdot {-pn} + {(- p^2)}n\cdot {(m^2)} + {(-p^2)}n\cdot {(-pm^2)} + {(-p^2)}n\cdot{(-pn)} $$ $$ pm^{(1 + 2)} – p^{(1 + 1)}m^{(1 +2)} – p^{(1 + 1)}mn – p^{2 }m^{2}n + p{(2+1)}m^{2}n + p^{(2+1)}n^{(1+1)} $$ $$pm^3 -p^{2} m^3 – p^{2}mn – p^{2}m^{2}n + p^{3}m^{2}n + p^{3}n^{2} $$

Não há termos semelhantes, portanto a expressão final fica assim mesmo.

c)$${(2x – 3 y)}{(5 + 2xy – 4 x^2 + 3xy^3)}$$

$${2x}\cdot 5 + 2x\cdot {2xy} + 2x\cdot {(-4x^2)} + 2x\cdot {(3xy^3} + {(-3y)}\cdot 5 + {(-3y)}\cdot {(2xy)} +{(-3y)}\cdot {(3xy^3)} +{(-3y)}\cdot {(-4x^2)} $$

$$ 10x + 4x^{2}y – 8x^{(1+2)} +6x^{(1+1)}y^3 -15 y -6xy^{(1 +1)} – 9 xy^{(1 + 3)} +12x^{2}y $$

$$ 10x + 4x^{2} y – 8x^3 + 6x^{2}y^3 – 15 y – 6xy^2 – 9xy^4 + 12 x^{2}y $$

d) $${(3u + 5v)}{(6u^2 – 2 v + 7uv)}$$

$$3u\cdot{(6u^2)} + 3u\cdot {(-2v)} + 3u\cdot{(7uv)} + 5v\cdot{(6u^{2})} + 5v\cdot{(- 2v)} + 5v\cdot{(7uv)} $$ $$18u^3 – 6uv + 21 u^{2}v + 30u^2 – 10v^2 + 35uv^{2} $$

Curitiba, 09 de abril de 2016

Décio Adams

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Matemática – Álgebra – Adição de expressões.

Adição e subtração de expressões algébricas

Vamos resolver os exercícios deixados no post anterior, para depois vermos esse novo conteúdo.

  1. Reduza às expressões a sua forma mais simples, reunindo os termos semelhantes em um único termo. a) $${5ax – 7 by – 3cz + 4by -ax + 6cz}$$  $${{(5ax – ax)} + {(-7by + 4by)} + {(-3cz + 6cz)}}$$ $$ {4ax – 3by + 3cz} $$

b) $${mr^2 + 2 r^3 – 5mr^2 – 4r^3 – 6 r}$$

$${{(mr^2 – 5mr^2)} + {(2r^3 – 4r^3)} – 6}$$ $${{(1 – 5)}{mr^2} + {(2 -4)}{r^3} – 6}$$ $$ {-4r^2 -2r^3 – 6} $$

c) $${{2\over3}{uv} + 6 xy – 3 x^2 + {7\over 3}{uv} -2 xy}$$

$${{({2\over 3}{uv} + {7\over 3}{uv})} + {(6xy – 2xy)} – 3x^2}$$ $${{({2\over 3} + {7\over 3}){uv} } + 4xy  -3x^2}$$ $$ {{9\over3}{uv} + 4xy -3x^2} $$ $${3uv +4xy – 3x^2}$$

d) $$ {\sqrt 5{m^3} + pq + 2\sqrt 5{m^3} – 4pq – n}$$

$${{\sqrt 5{m^3} +2\sqrt 5{m^3}} + {pq – 4pq} – n}$$ $${({\sqrt 5 + 2\sqrt 5}){m^3} -3pq – n}$$ $$ {3\sqrt 5{m^3} -3pq – n}$$

e) $$ {5 abc^2 + 3 abc^2 – a{b^3}c – 6a{b^3} – 4 abc^2 }$$

$$ {({5abc^2} + {3abc^2} – {4abc^2}) – a{b^3}c – 6a{b^3}}$$ $$ {4abc^2 – a{b^3}c – 6ab^3}$$

f)$$ {12 {m^2}n + 15 mn^3 – 9{m^2}n + {m^2}n – 4mn^3 }$$

$${(12{m^2}n – 9{m^2}n + {m^2}n) + ({15mn^3 – 4mn^3})}$$ $${ 4{m^2}n + 11mn^3}$$

2. Coloque em ordem crescente e depois decrescente os expoentes da variável nas expressões abaixo. $${2x^4 + 3x + x^2 – 5x^3 + 1}$$

Ordem crescente: $${1 + 3x + x^2 -5 x^3 + 2x^4} $$

Ordem decrescente: $${2x^4 – 5x^3 + x^2 + 3x + 1}$$

$${7a^6 – 3 a + 5a^3 – 6}$$

Ordem crescente: $${ -6 -3a + 5a^3 +7a^6}$$

Ordem decrescente: $${7a^6 + 5a^3 – 3a – 6}$$

$${4i – 3 i^3 – 2 i^4 + 3 i^2}$$

Ordem crescente: $${ 4i + 3 i^2 – 3i^3 – 2i^4}$$

Ordem decrescente: $${-2 i^4 – 3i^3 + 3i^2 + 4i}$$

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