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Matemática – Álgebra. Multiplicação de polinômios, exercitando.

Exercitar é o caminho da aprendizagem.

Vamos começar por resolver os exercícios que ficaram no último post, sobre esse assunto.

  1. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos a seguir.

a) $${({7\over 5}{bx})}{({5\over 3}{cx^2})}$$

Vamos agrupar os coeficientes e as partes literais, para facilitar a operação.

$$({7\over 5})\cdot({5\over3})\cdot {(bx)}\cdot {(cx^2)}$$ Entre as frações coeficientes, temos fatores comuns entre numerador e denominador, o que permite simplificar. As partes literais, tem os expoentes da mesma letra somados na multiplicação.

$${7\over 3}{bcx^{(1 +2)}} $$ $${7\over 3}{bcx^3}$$

b) $${(2ay)}{(5ay)}$$ Agrupando os fatores $${2\cdot 5}\cdot{a\cdot a}\cdot{y\cdot y}$$ $$ {10\cdot {a^{(1 + 1)}}\cdot {y^{(1+1)}}}$$ $${10{a^2}{y^2}}$$

c) $${(6 pr)}{({2\over3}{qr})}$$ Obs.: Qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração, com o número por numerador e denominador igual a unidade. É o que iremos fazer neste exercício, para entender melhor a multiplicação dos coeficientes numéricos. Com a prática isso se torna despensável.

$$({6\over 1})\cdot({2\over 3})\cdot{(pr)}\cdot{(qr)}$$ O numerador da primeira fração é divisível pelo denominador da segunda. Vamos simplificar, eliminando o denominador. $$ {(2\cdot 2)}\cdot{pq}\cdot{r^{(1 + 1)}}$$ $$ {4pqr^2}$$

d) $${(3 i)}{(5ij)}$$ $${3\cdot 5}\cdot{i\cdot i}\cdot {j}$$ $${15\cdot{i^{(1 + 1)}}\cdot {j}}$$  $${15{i^2}j}$$

e) $${(4mn)}{(3n^3)}$$ $${(4\cdot 3)}\cdot m\cdot{n^{(1+3)}}$$ $${12mn^4}$$

f) $${(a{x^2}y)}{(bx{y^3})}$$ $${a\cdot b\cdot x^{(2 +1)}\cdot y^{(1 + 3)}}$$ $${abx^3y^4}$$

2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.

a) $${{(3ab)}\cdot {(2a + 3b – 5c)}}$$ $${(3ab)}\cdot{(2a)} +{(3ab)}\cdot{(3b)} + {(3ab)}\cdot{(-5c)}$$ $${(3\cdot 2)\cdot a^{(1 + 1)}\cdot b} +{3\cdot 3\cdot ab^{(1+1)}} + {3\cdot{(-5)}\cdot abc}$$ $$ {6a^2b + 9ab^2 – 15abc}$$

b) $${(mx^2)}\cdot {(mx + n{x^2}y + mxy)}$$ $${(mx^2)}\cdot{(mx)} +{(mx^2)}\cdot{(nx^{2} y)} + {(mx^2)}\cdot{(mxy)}$$ $${m^{(1 + 1)}{x^{(2 +1)}} +{mnx^{(2+2)} y} + {m^{(1+1)}x^{(2+1)}} y}$$ $$ {m^2}{x^3} + mnx^{4}y +m^{2}x^{3}y$$

c) $${(5 {u^2}v)}{(2uv + 4u – 5v + {{u^2}v^3})}$$ $${(5{u^2}v)}\cdot{(2uv)} + {(5{u^2}v)}\cdot{(4u)} + {(5{u^2}v)}\cdot{(-5v)} +{(5{u^2}v)}\cdot({u^2}{v^3}) $$ $${(5\cdot 2)\cdot{u^2}v\cdot{uv}} +{(5\cdot 4)\cdot{u^2}v\cdot{u}} + {5\cdot{(-5)}{u^2}v\cdot{v}} + {(5\cdot{u^2}v\cdot{u^2}{v^3}}$$ $${10u^{3} v^{2} + 20u^{3}v -25u^{2}v^{2} + 5u^{4}v^{4}}$$

d) $$({2\over 3}{axy^3}){(6xy – 3ay^2 + 9a{x^2}y)}$$$$({2\over 3}{axy^3})\cdot{(6xy)} + ({2\over3}{axy^3})\cdot {(-3ay^2)} + ({2\over 3}{axy^3})\cdot{(9ax^{2}y)}$$ $${2\over 3}\cdot{6}\cdot{(axy^3)}\cdot{xy} + {2\over 3}\cdot {(-3)}\cdot {axy^3} \cdot{ay^2} + {2\over 3}\cdot 9\cdot{axy^3}\cdot{ax^{2}y} $$ $${4ax^{(1+1)}y^{(3+1)}} -2a^{(1+1)}xy^{(3+2)} + 6a^{(1 + 1)}x^{(1+2)}y^{(3 + 1)}$$ $$ 4ax^{2}y^{4} – 2a^{2}xy^{5} + 6a^{2}x^{3}y^{4}$$

3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.

a)$${( a + ab)}{(abx + x)} $$ Agora chegou a hora de multiplicar todos os termos do primeiro polinômio, por todos os do segundo. No final reduzir os termos semelhantes, se os houver. Assim:

$${a}\cdot {abx} + {a}\cdot{x} + {ab}\cdot {abx} + {ab}\cdot {x} $$ $$a^{(1+1)}bx + ax + a^{(1+1)}b^{(1+1)}x + abx $$ $$ a^{2}bx + ax  + a^{2}b^{2}x + abx $$

b)$${(pm – {p^2}n)}{(m^2 – pm^2 – pn)}$$

$$ {pm}\cdot (m^2) + {pm}\cdot {(-pm^2)} + {pm}\cdot {-pn} + {(- p^2)}n\cdot {(m^2)} + {(-p^2)}n\cdot {(-pm^2)} + {(-p^2)}n\cdot{(-pn)} $$ $$ pm^{(1 + 2)} – p^{(1 + 1)}m^{(1 +2)} – p^{(1 + 1)}mn – p^{2 }m^{2}n + p{(2+1)}m^{2}n + p^{(2+1)}n^{(1+1)} $$ $$pm^3 -p^{2} m^3 – p^{2}mn – p^{2}m^{2}n + p^{3}m^{2}n + p^{3}n^{2} $$

Não há termos semelhantes, portanto a expressão final fica assim mesmo.

c)$${(2x – 3 y)}{(5 + 2xy – 4 x^2 + 3xy^3)}$$

$${2x}\cdot 5 + 2x\cdot {2xy} + 2x\cdot {(-4x^2)} + 2x\cdot {(3xy^3} + {(-3y)}\cdot 5 + {(-3y)}\cdot {(2xy)} +{(-3y)}\cdot {(3xy^3)} +{(-3y)}\cdot {(-4x^2)} $$

$$ 10x + 4x^{2}y – 8x^{(1+2)} +6x^{(1+1)}y^3 -15 y -6xy^{(1 +1)} – 9 xy^{(1 + 3)} +12x^{2}y $$

$$ 10x + 4x^{2} y – 8x^3 + 6x^{2}y^3 – 15 y – 6xy^2 – 9xy^4 + 12 x^{2}y $$

d) $${(3u + 5v)}{(6u^2 – 2 v + 7uv)}$$

$$3u\cdot{(6u^2)} + 3u\cdot {(-2v)} + 3u\cdot{(7uv)} + 5v\cdot{(6u^{2})} + 5v\cdot{(- 2v)} + 5v\cdot{(7uv)} $$ $$18u^3 – 6uv + 21 u^{2}v + 30u^2 – 10v^2 + 35uv^{2} $$

Curitiba, 09 de abril de 2016

Décio Adams

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Matemática – Álgebra – Adição de expressões.

Adição e subtração de expressões algébricas

Vamos resolver os exercícios deixados no post anterior, para depois vermos esse novo conteúdo.

  1. Reduza às expressões a sua forma mais simples, reunindo os termos semelhantes em um único termo. a) $${5ax – 7 by – 3cz + 4by -ax + 6cz}$$  $${{(5ax – ax)} + {(-7by + 4by)} + {(-3cz + 6cz)}}$$ $$ {4ax – 3by + 3cz} $$

b) $${mr^2 + 2 r^3 – 5mr^2 – 4r^3 – 6 r}$$

$${{(mr^2 – 5mr^2)} + {(2r^3 – 4r^3)} – 6}$$ $${{(1 – 5)}{mr^2} + {(2 -4)}{r^3} – 6}$$ $$ {-4r^2 -2r^3 – 6} $$

c) $${{2\over3}{uv} + 6 xy – 3 x^2 + {7\over 3}{uv} -2 xy}$$

$${{({2\over 3}{uv} + {7\over 3}{uv})} + {(6xy – 2xy)} – 3x^2}$$ $${{({2\over 3} + {7\over 3}){uv} } + 4xy  -3x^2}$$ $$ {{9\over3}{uv} + 4xy -3x^2} $$ $${3uv +4xy – 3x^2}$$

d) $$ {\sqrt 5{m^3} + pq + 2\sqrt 5{m^3} – 4pq – n}$$

$${{\sqrt 5{m^3} +2\sqrt 5{m^3}} + {pq – 4pq} – n}$$ $${({\sqrt 5 + 2\sqrt 5}){m^3} -3pq – n}$$ $$ {3\sqrt 5{m^3} -3pq – n}$$

e) $$ {5 abc^2 + 3 abc^2 – a{b^3}c – 6a{b^3} – 4 abc^2 }$$

$$ {({5abc^2} + {3abc^2} – {4abc^2}) – a{b^3}c – 6a{b^3}}$$ $$ {4abc^2 – a{b^3}c – 6ab^3}$$

f)$$ {12 {m^2}n + 15 mn^3 – 9{m^2}n + {m^2}n – 4mn^3 }$$

$${(12{m^2}n – 9{m^2}n + {m^2}n) + ({15mn^3 – 4mn^3})}$$ $${ 4{m^2}n + 11mn^3}$$

2. Coloque em ordem crescente e depois decrescente os expoentes da variável nas expressões abaixo. $${2x^4 + 3x + x^2 – 5x^3 + 1}$$

Ordem crescente: $${1 + 3x + x^2 -5 x^3 + 2x^4} $$

Ordem decrescente: $${2x^4 – 5x^3 + x^2 + 3x + 1}$$

$${7a^6 – 3 a + 5a^3 – 6}$$

Ordem crescente: $${ -6 -3a + 5a^3 +7a^6}$$

Ordem decrescente: $${7a^6 + 5a^3 – 3a – 6}$$

$${4i – 3 i^3 – 2 i^4 + 3 i^2}$$

Ordem crescente: $${ 4i + 3 i^2 – 3i^3 – 2i^4}$$

Ordem decrescente: $${-2 i^4 – 3i^3 + 3i^2 + 4i}$$

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Matemática, Números relativos, adição e subtração.

 

Operações com números relativos – adição.

  • Números com o mesmo sinal e sinais opostos.

Vamos usar exemplos práticos. Você e seu irmão trabalham, recebendo por dia de serviço. Se seu trabalho rende $\color{navy}{R\$ 100,00}$ por dia e o de seu irmão $\color{navy}{R\$ 110,00}$ por dia. Quanto terão a receber ao final de um dia de serviço?

É fácil dizer que a soma será de $\color{brown}{100,00 + 110,00 = 210,00}$. Representando os valores ganhos como números positivos, podemos escrever:

\[\color{maroon}{(+100) + (+110,00)= + 210,00}\]

Vamos supor que vocês compraram uma muda de roupas para cada um, gastando $\color{navy}{R\$ 90,00}$ na sua roupa e $\color{navy}{R\$ 85,00}$ na roupa do seu irmão. O dinheiro gasto, podemos representar por valores negativos, pois irão diminuir o saldo disponível.

  • $\color{navy}{(- 90,00) + (- 85,00) = -175,00}$

Vamos determinar o saldo que sobra no seu bolso e no de seu irmão.

  • $\color{navy}{(+100,00) + (- 90,00)= +10,00}$

No seu bolso haverá o saldo de $\color{brown}{R$ 10,00}$.

  • $\color{navy}{(+ 110,00) +(- 85,00)= +25,00}$

No bolso de seu irmão, haverá um saldo de $\color{brown}{R$ 25,00}$.

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Matemática – Propriedades das quatro operações. (adição e subtração)

Propriedades das quatro operações.

 

O termo propriedade aqui não é usado no sentido de posse, como quando adquirimos um bem. Ele passa a ser nossa propriedade. Tem aqui o significado de alguma coisa que lhe é característica, própria. Lembro de ouvir muitas vezes os alunos perguntarem:

  • Para que serve isso, professor?

Nem sempre é fácil explicar, assim na hora, como se diz, “na lata”, para que serve determinado conteúdo. Mas, com certeza ele será útil, em um momento futuro e, quando for hora de usar, pode faltar tempo para voltar atrás e aprender. Por isso, esse assunto, aparentemente um pouco sem “razão de ser”, ou seja, inútil, é muito importante no desenvolvimento de conteúdos posteriores. Apenas para adiantar, é fundamental no aprendizado da álgebra. No momento oportuno vou mostrar como.

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