Arquivo da tag: #álgebra

Matemátia – Álgebra – Divisão de polinômios.

Polinômios com uma variável

  • Seja por exemplo dividir os polinômios
  • $\color{navy}{(x^3 + 5x^2 + x – 10)}: {(x + 2)}$
  • Vamos recorrer a colocação dos polinômios na “chave” como fazemos na divisão de números com vários algarismos. Assim:
    Divisão de polinômios 1.1

    Divisão de polinômios 1.1

    Começamos com os polinômios colocados em ordem decrescente dos expoentes da variável. Dividimos o termo de maior grau do dividendo, pelo termo de maior grau do divisor. Multiplicamos o divisor pelo quociente $x^2$. O resultado devemos subtrair dos termos de mesmo grau do dividendo. Que resulta em $3x^2$.

Continue lendo

Matemática – Função do primeiro grau

Função do primeiro grau.

1. Função linear

Quando exprimimos uma grandeza $\color{maroon}{y}$ em função de uma expressão do primeiro grau da grandeza $\color{maroon}{x}$, dizemos que temos uma $\color{blue}{funç\tilde{a}o}$ do primeiro grau. \[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{y = f(x)}}\]

A função é denominada linear quando o termo independente é nulo ou inexistente. Assim:

\[\bbox[5px,border:2px solid olive]{\color{navy}{ y = a\cdot x}}\] Continue lendo

Matemática – Inequações do segundo grau (Exercícios resolvidos e propostos)

Hora de treinar a cuca!

Vamos determinar o conjunto verdade de algumas inequações do segundo grau, fazendo o estudo de sua variação de sinais em relação às raízes.

a)  $\color{blue}{ -5x^2 + 25x + 70 \lt 0 }$

Vamos começar por identificar os coeficientes numéricos, comparando com a forma geral. Temos que $ a = -5 $, $ b = 25 $ e $ b =  70 $. Para facilitar os cálculos, iremos dividir todos os termos por $-5$, simplificando e teremos \[\frac{-5x^2}{-5} + \frac{25x}{-5} + \frac{70}{-5} \lt 0\] \[x – 5x – 14 \lt 0\]  Agora os coeficientes passam a ser $ a = 1$, $b = -5$ e $c = -14$. É o momento de  determinar o discriminante \[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta =  b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta = {(-5)^2 – 4\cdot 1\cdot (-14)}\] \[\Delta = 25 + 56 \] \[\Delta = 81\] O discriminante é positivo e portanto teremos duas raízes reais e diferentes que tornarão a expressão igual a zero. Calculando as raízes \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[ x = {{-(-5)\pm\sqrt{81}}\over {2\cdot 1}} \] \[x= {{5\pm 9}\over 2}\] \[x’ = {{5 + 9}\over 2} = {14\over 2} = 7\] \[ x” = {{5 – 9}\over 2} = {-4\over 2} = -2\] Temos pois para valores que anulam a expressão em $x$ os números $-2 $ e $7$. Vejamos como fica o comportamento na Reta Real.

\[\underbrace{\color{lime}{-\infty\leftarrow =========}}{-2}\circ\underbrace{————-}{7}\circ\underbrace{\color{lime}{============\rightarrow\infty}}\]

Vimos que para valores externos das raízes, isto é, nesse caso para $x \lt -2$ ou $x \gt 7$ a expressão terá o mesmo sinal do coeficiente $a$ na inequação na forma original, sem simplificação. Vimos acima que $a = -5$ ou seja $ a \lt 0$, o que nos leva à conclusão de que o sinal  será negativo para esses valores. Já para os valores compreendidos entre $ -2 $ e $7$, a expressão terá o sinal contrário de $a$, portanto positivo. Assim deduzimos que o conjunto verdade dessa inequação é dado por: \[\bbox[silver, 5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = \{ x \in R | x \lt -2 \vee x \gt 7\}}} \]

b)$\color{blue}{ 3x^2 + 15x -72 \ge 0}$

Identificamos os coeficientes $ a = 3$, $b = 15$ e $c = -72$.  Observando esses valores, percebemos que é possível simplificar a expressão, dividindo todos os termos por $3$, o que nos dá \[\frac{3x^2}{3} +\frac{15x}{3} – \frac{-72}{3} \] \[ x^2 + 5x – 24 \ge 0\] Temos agora os novos coeficientes $ a= 1$, $b = 5 $ e $c = -24$. Vamos determinar o discriminante. \[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta =  b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = 5^2 – 4\cdot 1\cdot {-24} \] \[\Delta = 25 + 96 \] \[\Delta = 121\] Temos novamente $\Delta \gt 0$ e em consequência duas raízes reais e diferentes.

\[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x = {{- 5\pm\sqrt{121}}\over{2\cdot 1}}\] \[x= {{-5\pm{11}}\over 2}\] \[x’ = {{-5 + 11}\over 2} = {6\over 2} = 3 \] \[x” = {{-5 – 11}\over 2} ={-16\over 2} = -8\] Lançando esses valores na Reta Real, fica:

\[\underbrace{\color{lime}{-\infty\leftarrow ============(-8)\bullet}}\underbrace{———-}\underbrace{\color{lime}{3\bullet============\rightarrow\infty}}\]

As raízes $-8$ e $ 3$ anulam a expressão, enquanto os valores externos tornam a expressão positiva, por ter no mesmo sinal de $a$. Os valores internos tornarão a expressão negativa, que é o sinal contrário de $a$. Como a inequação é $\ge 0$, o conjunto verdade será também dado por:

\[\bbox[silver,5px,border: 2px solid blue]{\color{green}{V=\{ x \in R| x\le -8 \vee x \ge 3\}}} \]

c)$\color{blue} {x^2 -13x + 42 \le 0}$

Os coeficientes numéricos são $a=1$, $b= -13$ e $c = 42$. Notamos que agora não há simplificação a ser feita, pois o coeficiente $a =1$ e a expressão está na sua forma mais simples. Vejamos o discriminante:\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta =  b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[\Delta=(-13)^2 – 4\cdot 1\cdot 42 = 169 – 168 = 1\] Temos então que $\Delta \gt 0$ e novamente as raízes são reais e diferentes. \[\bbox[lime,5px,border:2px solid red]{\color{maroon}{ x = {{-b\pm\sqrt \Delta}\over{2a}}}} \] \[x={{-(-13\pm\sqrt{1}}\over{2\cdot 1}}\] \[x = {{13\pm 1}\over 2}\] \[x’= {{13 + 1}\over2} = {14\over 2} = 7\] \[x”={{13 – 1}\over 2} = {12\over 2} = 6 \] Lançando os valores $6$ e $7$ na Reta Real, teremos:

\[\underbrace{-\infty\leftarrow —————-}\underbrace{\color{lime}{6\bullet========7\bullet}}\underbrace{———————-\rightarrow\infty}\]

Para valores de $x$ a esquerda de $6$ ou a direita de $7$, a expressão será positiva, isto é, o mesmo sinal de $a$, que é positivo. Para valores internos do intervalo $6$ e $7$, a expressão será negativa, o sinal contrário de $a$. Assim sendo, a desigualdade da inequação é $\le$, o conjunto verdade será formado pelos números entre $6$ e $7$, inclusive.

\[\bbox[silver, 5px, border:2px solid blue]{\color{green}{V = \{x \in R| 6 \le x \le 7\}}}\]

 d)$\color{blue}{ 3x^2 – 18x + 72 \gt 0} $

Notamos que é possível simplificar a expressão, pois todos os coeficientes são múltiplos de $3$. Então \[\frac{3x^2}{3} – \frac{18x}{3} + \frac{72}{3} \] \[ x^2 – 6x + 24 \gt 0\]

Agora os nossos coeficientes são $a = 1$, $b = -6$ e $c = 24$. Vamos ao discriminante.

\[\bbox[yellow,5px,border:2px red solid]{\color{maroon}{\Delta =  b^2 – 4\cdot a \cdot c}} \] \[ \Delta = {(-6)^2}\cdot 1\cdot {24} = 36 – 96 = -60\] Consequentemente constatamos que $\Delta \lt 0$, o que nos leva a conclusão de que nenhum número real tornará a expressão igual a zero. Como fica a inequação? Não temos ponto de referência para dizer que a expressão será positiva ou negativa para esse ou aquele valor. Vamos escolher três valores, sendo um negativo, o próprio zero e um positivo, substituindo e verificando o resultado. Sejam esses números $-3$, $0$ e $5$.

Para $x = -3$, teremos \[3x^2 -18x + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot (-3)^2 – 18\cdot{(-3)} + 72 \gt 0\] \[{3\cdot 9} + 54 + 72 \gt 0 \] \[ 27 + 54 + 72 \gt 0\] \[ 153 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.

Para $x = 0$, teremos \[3\cdot 0 – 18\cdot 0 + 72 \gt 0\] \[ 0 + 0 + 72 \gt 0\] \[ 72 \gt 0\] Esta sentença é verdadeira.

Para $x = 5$, teremos \[3\cdot 5^2 – 18\cdot 5 + 72 \gt 0\] \[ 3\cdot 25 – 90 + 72 \gt 0\] \[75 – 90 + 72 \gt 0\] \[147 – 90 \gt 0\] \[ 57 \gt 0\] Sentença verdadeira. 

Vamos escolher mais um número negativo e dois positivos, para sanar qualquer dúvida. $-5$, $2$ e $7$.

Para $x=-5$, teremos \[3\cdot (-5)^2 – 18\cdot(- 5) + 72 \gt 0\] \[3\cdot 25 + 90 + 72 \gt 0\] \[75 +90 + 72 \gt 0\] \[ 237 \gt 0\] Sentença verdadeira. 

Para $x = 2$, teremos \[3\cdot 2^2 – 18\cdot 2 + 72 \gt 0 \] \[3\cdot 4 – 54 + 72 \gt 0\] \[ 12 – 54 + 72 \gt 0\] \[30 \gt 0\] Sentença verdadeira.

Para $x = 7$, teremos \[3\cdot 7^2 – 18\cdot 7 + 72 \gt 0\] \[3\cdot 49 – 126 + 72 \gt 0\] \[147 – 126 + 72 \gt 0 \] \[93 \gt 0\] Sentença verdadeira.  

Fica evidenciado que para qualquer número real colocado no lugar de $x$ nessa inequação, o resultado é uma sentença  verdadeira. Podemos concluir que o conjunto verdade é então o próprio conjunto dos números reais.

\[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = R}}\]

Se a mesma inequação tivesse o sinal de desigualdade $\lt $ no lugar de $\gt$, essas sentenças todas seriam falsas e portanto o conjunto verdade da inequação seria um conjunto vazio. Assim

\[3x^2 – 18x + 72 \lt 0\] \[\bbox[silver,5px,border:2px solid blue]{\color{green}{ V = \emptyset}}\] O mesmo aconteceria se tivéssemos os sinais de desigualdade $\ge$ ou $\le$, uma vez que teríamos a conjunção alternativa $\vee$, que tornaria as sentenças igualmente verdadeiras. É interessante notar que nestes casos o sinal da expressão é sempre igual ao sinal de $a$. Se $a\lt 0$, a expressão será sempre negativa, para qualquer número $x \in R$. Se $a \gt 0$, a expressão será positiva para qualquer valor de $x \in R$.

Agora é a sua vez de praticar. Analise os sinais das inequações e determine o conjunto verdade em cada caso.

a) $\color{green}{x^2 – 17x + 70 \le 0}$

b) $\color{green}{2x^2 + 4x – 48 \ge 0}$

c) $\color{green}{ x^2 – 5x – 36 \gt 0} $

d)$\color{green}{ 3x^2 – 108 \lt 0}$

e) $\color{green}{5x^2 – 35x \lt 0}$

f)$\color{green}{ 4x^2 – 12x + 44 \gt 0}$

g) $\color{green}{5x^2 + 110 \ge 3x^2 + 14x} $

 h)$\color{green}{ 6x^2 + 54 \le 0} $

i) $\color{green}{4x -9 \gt x^2 }$

 j) $\color{green}{x^2 – 19x + 88 \lt 0}$

l) $\color{green}{ 7x^2 + 28x \gt 0}$

m) $\color{green}{{\frac{2}{3}}x^2 -\frac{3}{5} \le 0} $

Obs.: Se tiver dúvida sobre a resolução de algum desses exercícios, faça contato comigo. Estes eu não vou resolver logo em seguida. Legal? Procure se virar nos trinta, meu!

Curitiba, 10 de junho de 2016

Décio Adams

decioa@gmail.com

adamsdecio@gmail.com

www.facebook.com/livros.decioadams

www.facebook.com/decio.adams

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celulares: (41) 9805-0732

Matemática – Álgebra, Inequações do segundo grau(cont 1)revisado em 03/07/2016.

Pensou que acabou?

  • Ainda tem mais, bem mais. No post anterior nós vimos o caso das inequações em que existem dois valores que anulam a sentença da inequação. Mas existem aquelas em que temos duas raízes iguais, os tem tem duas raízes simétricas, não tem raiz uma vez que recai num radical par com radicando negativo.
  • Um passo de cada vez. Seja a inequação $\bbox[5px,border:2px solid maroon]{\mathbf{\color{blue}{ x^2 -6x + 9 \lt 0}}} $.

Continue lendo

Matemática – Inequação do primeiro grau (revisado e melhorado)

Inequação! Que é isso?

Lembremos que uma equação é uma igualdadeentre duas quantidades, representadas por números, letras e expressões de letras com números. O prefixo in é uma negação. Assim a palavra inequação, poderíamos dizer, que é a negação de uma equação. Em outras palavras é uma desigualdade. Existem alguns símbolos que usamos para indicar essas desigualdades como:

  • “Menor do que”                                               $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\lt}} $
  • “maior do que”                                                $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\gt}} $
  • “menor ou igual a”                                          $\Rightarrow \color{maroon}{\mathbf{\le}} $
  • “maior ou igual a”                                            $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{ \ge}} $
  • “Diferente”                                                        $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\neq}} $
  • “Não menor do que”                                       $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\lt}} $
  • “Não maior do que”                                         $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\gt}} $
  • “Não maior ou igual a”                                    $\Rightarrow\color{maroon}{\mathbf{\not\le}}$
  • “Não maior ou igual a”                                    $\Rightarrow\color{maroon}{ \mathbf{\not\ge}}$

Em determinados momentos, todos esses símbolos podem aparecer em uma expressão matemática. No caso presente, estudo das inequações, iremos usar principalmente os quatro primeiros. Vejamos alguns exemplos:

  • $\bbox[5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{2x -3 \lt 0}} $
  • $\bbox[5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ x + 7 \gt 2}} $
  • $\bbox[5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}}$
  • $\bbox[5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $
  • A determinação do conjunto verdade de uma inequação, é feita de modo semelhante ao procedimento adotado nas equações, com algumas peculiaridades próprias.

 

  • Vamos pegar como exemplo a primeira das quatro citadas acima:
  •  $\bbox[5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{2x – 3\lt 0}}$. O objetivo é obter uma desigualdade que indique onde estão localizados os valores que servem para substituir  nessa inequação. Temos então que deixar o isolado no primeiro membro. \[ 2x – 3 + 3 \lt 0 + 3 \] \[2x \lt 3 \] \[ {{2x}\over 2} \lt {3\over 2} \] \[ x \lt {3\over 2} \] Isso nos mostra que todos os números reais, menores do que o número 3/2 servem para x, isto é, transformam a expressão em uma sentença verdadeira. Logo: \[\bbox[5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ V =\left\{ x\in R | {x\lt {3\over 2}}\right\}}} \] Representando o conjunto dos números reais na Reta Real, o conjunto verdade dessa inequação será igual a toda extensão dessa reta, à esquerda do ponto que corresponde ao número 3/2.

Rendered by QuickLaTeX.com

  • A falta de espaço, impede a visualização de todo conjunto verdade no gráfico, que abrange todos os números até $-\infty$.

 

  • Vejamos o segundo exemplo.
  • $\bbox[5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ x + 7 \gt 2}} $ \[ x + 7 – 7 \gt 2 – 7 \] \[ x \gt -5 \] O conjunto verdade será \[\bbox[5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ V =\{x\in R|{x \gt -5}\}}} \] Igualmente aqui, se representarmos a reta numérica real, o conjunto verdade será formado por todos os números à direita do número (-5), que fica excluído, assim como todos os números à sua esquerda.

Rendered by QuickLaTeX.com

  • A vez da terceira:
  • $\bbox[5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ 8 -x \ge 5}} $ \[ 8 – 8 – x \ge 5 – 8 \] \[ -x \ge -3 \] Observe que o os dois membros da inequação são precedidos do sinal $-$, o que nos indica que para melhor interpretação, devemos multiplicar a expressão toda $-1$. Lembrando da reta numérica, vamos observar que a posição dos números negativos, fica invertida em relação ao zero$(0)$, isto é, quanto maior for o módulo, mais à esquerda ele se situa. A consequência disso é que, a multiplicação de uma inequação por $-1$, inverte o sentido da desigualdade, ou seja se era $\le$, passa para $\ge$ e vice-versa. Vamos ver como fica nosso exemplo. \[ {(-x \ge – 3)}\cdot{(-1)} \] \[ x\le 3 \] O conjunto verdade dessa inequação será pois: \[\bbox[5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ V = \{x\in R|{x\le 3}\}}} \] Neste caso o número $3$, faz parte do conjunto verdade. Ficam excluídos apenas os números à direita do $3$.Na Reta Real fica:

Rendered by QuickLaTeX.com

  • O último exemplo:
  • $\bbox[5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{ 4 + x \le 2x}} $ \[ 4 – 4 + x \le 2x – 4 \] \[ x – 2x \le 2x – 2x – 4 \] \[ -x \le -4 \] Novamente é preciso multiplicar por $-1$, e inverter o sinal da desigualdade. \[{(-x \le -4)}\cdot{(-1)} \] \[ x \ge 4 \] O conjunto verdade será composto por todos os números reais, desde o $4$ inclusive, até infinito$\infty$. \[\bbox[5px,border:2px solid aqua]{\color{navy}{V = \{x\in R|{x\ge 4}\}}} \]
  • Na Reta Real,  teremos:

Rendered by QuickLaTeX.com

  • O final da resolução de qualquer inequação de primeiro grau será sempre a variável, seguida de um sinal de desigualdade e depois um número. Se a variável tiver sinal negativo, devemos multiplicar por $\color{brown}{-1}$ e inverter o sinal da desigualdade. Isso não pode ser esquecido. 

Vamos “malhar”?

  • Determine o conjunto verdade das inequações a seguir.
  • $\color{blue}{ 4x – 7 \lt 2x + 1}
  • $\color{blue}{ 11 + 3x \gt – 8} $
  • $\color{blue}{ – 6 + 2x \ge 3x + 1}$
  • $\color{blue}{ 6 \le 5 – 3x} $
  • $\color{blue}{ 3y + 4 \le 7 – y} $
  • $\color{blue}{15 – 4x \lt 11 +x}$
  • $\color{blue}{ 6x + 5\gt 4x – 7}$
  • $\color{blue}{ 2 + 7x \ge 6x + 4} $

 Curitiba, 21 de maio de 2016

Décio Adams

decioa@gmail.com

adams.decio@gmail.com

www.facebook.com/decio.adams

www.facebook.com/livros.decioadams

@adamsDcio

Fone: (41) 3019-4760

Celular: (41) 9805-0732

Matemática – Equações do segundo grau. (Exercícios resolvidos)

Exercitando do discriminante.

Determine o conjunto verdade das equações do segundo grau, determinando primeiramente o discriminante para verificar o tipo de raízes, para depois obter seus valores.

  1. $$ x² – 5x + 6 = 0 $$ Para começar, iremos identificar os coeficientes da equação. $$ a = 1 $$ $$ b = -5 $$ $$ c= 6 $$ Calculando o discriminante: $$ \Delta = {b² – 4ac} $$ $$ \Delta = {(-5)² – 4\cdot 1\cdot 6} $$ $$ \Delta = 25 – 24 $$ $$ \Delta = 1$$ $$ \Delta \gt 0 $$ Isto significa que a equação tem duas raízes reais e diferentes entre si.  Podemos agora substituir na fórmula e calcular o restante. $$ x= {{-(-5)\pm\sqrt{\Delta}}\over 2\cdot 1} $$ $$ ={{5 \pm\sqrt{1}}\over 2} $$ $$ x= {{5 \pm 1}\over 2} $$ As raízes serão: $$ x’= {{5 + 1}\over 2} = {{6}\over 2} =3 $$ $$ x”= {{ 5 – 1 }\over 2} = {{4}\over 2} = 2 $$ O conjunto verdade é: $$ V = {\{2, 3\}} $$

2. $$ x² +3x -28 = 0 $$ Os coeficientes da equação: $$ a = 1$$ $$ b=3 $$ $$ c = -28$$ Vamos calcular o discriminante: $$\Delta = b² – 4ac $$ $$\Delta = {3² – 4\cdot 1\cdot{(-28)}} $$ $$\Delta = {9 + 112} = 121$$ $$\Delta\gt 0 $$ Também esta equação tem duas raízes reais e diferentes, pois o discriminante tem valor positivo. 

Vamos aplicar a fórmula: $$ x = {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2}$$ $$ x= {{- 3\pm\sqrt{121}}\over 2\cdot 1} $$ $$ x = {{-3 \pm 11}\over 2} $$ As raízes da equação serão respectivamente: $$x’ = {{-3 + 11}\over 2} = {{8}\over 2} = 4 $$ $$ x” = {{-3 – 11}\over 2} = {{-14}\over 2} = -7 $$  $$V= {\{-7, 4\}} $$

3. $$ x² -6x + 9 = 0 $$Os coeficientes da equação são: $$a = 1 $$ $$ b = -6$$ $$c = 9$$ Hora do discriminante: $$\Delta = b² – 4ac $$ $$\Delta= {(-6)² – 4\cdot 1\cdot 9} = {36 – 36} = 0$$ $$\Delta = 0$$ Temos diante de nós uma equação do segundo grau com duas raízes reais e iguais. 

Aplicando a fórmula: $$ x = {{- b \pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $$ $$ x = {{-(-6)\pm\sqrt{0}}\over 2\cdot 1}$$ As raízes serão: $$ x’ = x” = {{6}\over 2} = 3 $$ $$ V = {\{3\}}$$

4. $$ x² – 5x + 7 = 0 $$ Coeficientes: $$a=1$$ $$b= -5$$ $$c=7$$ Calculando o discriminante: $$\Delta = {b² – 4ac} $$ $$ \Delta = {(-5)² – 4\cdot 1\cdot 7} = 25 – 28 = -3$$ $$\Delta \lt 0$$ Equação sem solução no conjunto dos números reais, pois o discriminante é negativo. 

$$V= {\emptyset} $$

5. $$ x² + 7x + 15 = 0 $$ Coeficientes $$a = 1$$ $$b = 7$$ $$ c=15 $$ O discriminante fica: $$\Delta = {b² – 4ac} $$ $$\Delta = {7² – 4\cdot 1\cdot 15 } = {49 – 60} = -11$$ $$\Delta\lt 0$$ Mais uma equação sem solução no conjunto dos números reais. O discriminante é negativo. $$ V = {\emptyset}$$

6. $$ x² + 8x + 16 = 0 $$ Os coeficientes são: $$ a= 1 $$ $$b=8$$ $$c = 16$$ Vamos ao discriminante: $$\Delta = {b² – 4ac} $$ $$\Delta = {8² – 4\cdot 1\cdot 16} = {64-64} = 0 $$ $$ \Delta = 0 $$ Com o discriminante igual a zero, mais uma vez temos duas raizes reais e iguais. 

$$x= {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $$ $$ x= {{-8\pm\sqrt{0}}\over 2\cdot 1} $$ $$ x= {{-8}\over 2} = -4 $$ $$ x’ = x” = -4 $$ $$ V = {\{ -4\}} $$

7. $$ x² -4x – 77 = 0 $$ Coeficientes: $$a=1 $$ $$b=-4$$ $$c=-77$$ Calculando o discriminante: $$\Delta = {b² – 4ac} $$ $$\Delta ={(-4)² – 4\cdot 1\cdot (-77)} = 16 +308 = 324 $$ $$\Delta \gt 0$$ Com o discriminante positivo, temos duas raízes reais e diferentes. 

$$ x = {{-b\pm\sqrt{\Delta}}\over 2a} $$ $$ x={{-(-4)\pm\sqrt{324}}\over 2\cdot 1} $$ $$x= {{ 4 \pm 18}\over 2} $$ As raízes são: $$x’ = {{4 + 18}\over 2} = {{22}\over 2} = 11$$ $$ x” = {{4 – 18}\over  2 } = {{-14}\over 2} = -7 $$ $$V = {\{-7, 11\}} $$

Curitiba, 11 de maio de 2016

Décio Adams

decioa@gmail.com

adams.decio@gmail.com

www.facebook.com/decio.adams

www.facebook.com/livros.decioadams

http://decioadamsold.netspa.com.br

Fone: (41) 3019-4760 Celular: (41) 9805-0732

Matemática – Álgebra – Equações do primeiro grau

Exercícios de equações do primeiro grau

Vamos determinar o conjunto verdade das equações do primeiro grau a seguir.

a)\[7 y – 2 = 26\] \[{7 y – 2 + 2} = {26 + 2}\] \]{7y} = {28}\] \[{(7y)\over{7}} = {(28\over 7}\]  \[y = 7 \]

\[V =\{7\}\]

b) \[ 25 – 3x = 17 – 7\]  \[25 – 3x -25 = 10 – 25\] \[ -3x = -15\]\[{-3x\over-3}= {-15\over -3}\] \[x = 5\]

 

\[ x =\{5\}\]

$$ 4x + 12 – x = 25 – 7 $$ $$ 4x – x + 12 – 12 = 18 – 12 $$ $$3x = 6 $$ $$ {3x\over 3} = {6\over 3}$$ $$ x = 2$$

\[V=\{2\}\]

$$ 6x – 9 = x + 26 $$ $$ 6x – 9 + 9 -x = x – x + 26 + 9 $$ $$5x = 35 $$ $${5x\over 5} = {35\over 5} $$ $$ x = 7 $$

\[V =\{7\}\]

$$ {2\over 3}{x} +{ 5} = 44\over{ 4} $$ $${2\over3}{x}+ (+ 5 – 5) = 11 – 5 $$ $${2\over 3}{x}\cdot 3 = 6\cdot 3 $$ $$ 2x = 18 $$ $${2x\over 2} = {18\over 2} $$ $$ x = 9 $$

\[V=\{ 9\}\]

Resolvendo alguns problemas.

  1. José vendeu em sua loja, no decorrer de um dia de semana, várias quantidades de uma mesma mercadoria. Dependendo das quantidades e disposição dos clientes, ele concedeu alguns descontos. Vendeu 3 unidades a um cliente, pelo valor de R\$ 140,00. Outro pagou por duas unidades R\$ 100,00 e um terceiro pagou por uma unidade R$ 60,00. Qual foi o valor médio de venda de cada unidade?

Vamos representar por x o valor médio de venda de cada unidade. Podemos assim escrever uma pequena equação.

$$\begin{align}{3x + 2x + x} = {140,00 + 100,00 + 60,00}\end{align} $$

$$\begin{align}{6x} = 300,00\end{align} $$ $$\begin{align}{6x\over 6} = {300,00\over 6}\end{align}$$ $$\begin{align} {x} = {50,00}\end{align}$$

V = {R\$ 50,00}. As seis unidades foram vendidas pelo preço médio de R$ 50,00.

2. Uma peça de tecido tem ao todo 40m de comprimento. Uma confecção usa esse tecido para fabricar conjuntos de moleton. Cada conjunto consome 2,5 m de tecido. Quantos conjuntos podem ser fabricados com 5 peças de tecido?

A nossa incógnita nesse problema é a quantidade de conjuntos e vamos representa-la pela letra xAssim:

$$\begin{align}{2,5x} = 5\cdot 40\end{align}$$ $$\begin{align}{2,5x\over 2,5} = {200\over 2,5}\end{align} $$ $$\begin{align}{x} = {80}\end{align}$$

V = {80}. Podem ser fabricados 80 conjuntos com as 5 peças de tecido.

Curitiba, 06 de maio de 2016

Décio Adams

decioa@gmail.com

adamsdecio@gmail.com

www.facebook.com/livros.decioadams

www.facebook.com/decio.adams

@AdamsDcio

Telefone: (41) 3019-4760

Celulares: (41) 9805-0732

Matemática – Álgebra – Equações.

O que são equações?

Talvez você saiba o que é equalizar o som produzido por um aparelho. Na verdade você ajusta os níveis de saída dos diferentes sons agudos, médios e graves para que eles sejam produzidos de modo equilibrado e constante.

A palavra equação tem origem semelhante. Tem a ver com igualdade. Mas igualdade de que?

Continue lendo

Matemática – Álgebra. Divisão na álgebra.

Divisão em álgebra

O processo de divisão algébrica, torna-se por vezes bem complexo. Mas podemos verificar o que é possível fazer. Começamos por monômios, com fatores semelhantes.

Vejamos o exemplo: $${15a^4b^3x^2}:{5a^2bx^2} $$ Para facilitar vamos colocar na forma de divisão indicada, isto é, como uma fração algébrica. $${15a^{4}b^{3}x^{2}}\over{5a^{2}bx^{2}} $$

Continue lendo

Exercícios resolvidos de produtos notáveis.

Exercícios de produtos notáveis.

  1. Usando a regra do quadrado da soma de dois números, obtenha os trinômios quadrados perfeitos que resultam das expressões a seguir. $${(uv + z)}^2 $$ $$ {(5m + r)}^2 $$ $$ {(7 + 2p)}^2$$ $${(a + 6b)}^2$$ $${(10x^{2 }+ y^{2})}^2$$ $${(mp^{3} + nr^{2})}^2$$

Continue lendo