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Matemática. Aritmética, multiplicação de números decimais por múltiplos e submúltiplo de dez.

Vamos multiplicar os decimais por 10!

 

Anteriormente falamos na multiplicação de números inteiros por 10 e seus múltiplos. Agora que já conhecemos os números com aproximação decimal após a vírgula, vamos ver como ficam eles, quando multiplicados por 10, 100, 1000 ou 0,1; 0,01; 0,001 e assim por diante.

Vamos lembrar, onde foi que colocamos a vírgula, quando fizemos as divisões não exatas. Não foi depois dos algarismos ditos inteiros? Pois é isso mesmo. De forma que um número inteiro, tem, depois de seu último algarismo uma vírgula, que fica subentendida, uma vez que não há parte decimal. Vamos ver o que acontece com a vírgula, nessa multiplicação.

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Matemática. Aritmética, Multiplicação, com vírgula.

Multiplicar números com vírgulas.

  • Ao multiplicarmos números contendo vírgula, é quase certo de que o produto também conterá vírgula. Como iremos proceder para fazer essas multiplicações com segurança e sem errar?
  • Iremos colocar os números como se fossem inteiros e realizar a multiplicação da mesma forma. Feita a operação, iremos contar o número de algarismos existentes após a vírgula, tanto no multiplicando quanto no multiplicador e, contando esse número da esquerda para direita no produto, colocaremos a vírgula. 

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Matemática – Aritmética – Quatro operações – Multiplicação (parte 2)

Multiplicação

  • Vamos ver como se procede para multiplicar fatores com múltiplos algarismos. No post anterior, multiplicamos números com vários algarismos, por um algarismo. Mas há muitas situações em que isso não basta.
  • $\color{navy}{15\times 327= ?}$
  • Vamos começar por escrever os dois números na forma de colunas, sempre colocando como multiplicando o fator com mais algarismos.
  • Multiplicação com fatores de vários algarismos 7.1

    Multiplicação com fatores de vários algarismos 7.1

    Iniciamos multiplicando o algarismo das unidades do multiplicador (5), pelo algarismo das unidades do multiplicando. $\color{navy}{5\times 7 = 35}$. Resulta 3 dezenas e cinco unidades. Até aí fazemos igual ao que já vimos. O 5 (cinco), é escrito na coluna das unidades.

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Matemática, Números relativos, operação de multiplicação.

Vamos multiplicar os relativos.

Sabemos do estudo da multiplicação com números naturais, que esta operação é a forma simplificada de representar uma soma de parcelas iguais. Vamos lembrar?

$$\begin{align}{ 5 + 5 + 5 } = {3}\cdot{5}\end{align}$$

$$\begin{align}{5}\cdot{7} = { 7 + 7 + 7 + 7 +7}\end{align} $$

Após recordar esse detalhe, vamos começar a fazer o mesmo com números relativos. Primeiramente, com dois de sinais (+).

$$\begin{align}{(+3)\cdot (+6)} = {+ (+ 6 + 6 + 6)}& = + ( +18) = 18\end{align}$$

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Matemática – Álgebra – Produtos notáveis.

O que é algo notávelI? 

Tudo que tem uma característica que chama atenção, tem algo além do comum, pode ser apontado como algo notável. Então, a expressão Produtos notáveis tem algo de importante e que tem aplicações importantes em algum assunto mais adiante. Vejamos quais são esses casos.

Quadrado da soma de dois números. 

Você provavelmente irá pensar que é mais fácil efetuar a soma e depois calcular a potência, ou seja elevar ao quadrado. Mas, se os números estiverem representados por letras, ou letras e números, como fica? Vamos ver?

$${ a + b} $$ É a adição dos números representados por letras e fica indicada. Vamos elevar ao quadrado:

$${( a + b)}^2 $$ Temos a multiplicação de um binômio por ele mesmo. a é o primeiro termo e b é o segundo termo.

$${(a + b)}\cdot{(a + b)} $$ $$ {a}\cdot {a} + {a}\cdot{b} + {b}\cdot {a} + {b}\cdot{b}$$ $$ a^2 + ab + ba + b^2 $$ Há dois termos semelhantes, embora estejam com a ordem das letras invertida, isso não significa nada. Podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação e colocar ambos na mesma ordem.

$$ a^2 + ab + ab + b^2$$ $$ a^2 + 2ab + b^2$$ O resultado é um trinômio, cujo primeiro termo é o primeiro termo da soma elevado ao quadrado, o segundo termo é o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo e o terceiro termo é o quadrado do segundo termo da soma elevado ao quadrado. Isso nos permite estabelecer a regra que pode ser usada em qualquer caso de uma soma de dois números, elevada ao quadrado.

“O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Vamos aplicar isso em alguns exemplos:

a) $$ { (2x + y)}^2$$ Primeiro termo é 2x o segundo termo é y

$$ {(2x)}^2 + 2\cdot 2\cdot{x}{y} + y^2 $$ $$ 4x^2 + 4xy + y^2$$

b) $$ {(3m + 5)}^2$$ O primeiro termo é 3m e o segundo termo é 5.

$$ {(3m)}^2 + 2\cdot 3\cdot {m}\cdot 5 + 5^2$$ $$ 9m^2 + 30m + 25 $$

c) $${( 6 + 4xy)}^2$$ O primeiro termo é 6 e o segundo termo é 4xy.

$$ 6^2 + 2\cdot 6\cdot {(4xy)} + {(4xy)}^2 $$ $$36 + 48xy + 16x^{2}y^{2} $$

d) $$ {( p + 3 q)}^2$$ Primeiro termo é p o segundo termo é 3q.

$$ p^2 + 2\cdot {p}\cdot{3q} + {(3q)}^2 $$ $$ p^2 + 6pq + 9q^2$$

Quadrado da diferença de dois números

Da mesma forma que no caso da soma, também ocorre com a diferença. Os números são representados por letras, formando no final a multiplicação de dois binômios iguais. Seja o exempl:

$${( a – b)}^2 $$

 A letra a é o primeiro termo e a b é o segundo.

$${( a – b)}{(a – b)} $$ Cada termo do primeiro fator é multiplicado por todos os termos do segundo fator. O que resulta em:

$${a}\cdot {a} + {a}\cdot {(-b) } + {(-b)}\cdot {a} + {-b}\cdot{b} $$ $$ a^{(1+ 1)} – ab – ba + b^{(1 + 1)} $$ $$ a^2 – 2ab + b^2 $$

Os dois termos (- ab) e (-ba), são semelhantes, pois a ordem dos fatores pode ser alterada sem causar problemas no resultado. Assim passamos a ter que:

“O quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo multiplicado pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Vamos exercitar:

a) $${(x – y)}^2$$  O primeiro termo é a letra x e o segundo termo é a letra y.

$${(x – y )}{(x – y)}$$ $$ x^2 – 2xy + y^2$$

b) $${(3x – 2y)}^2$$ O primeiro termo é 3x e o segundo termo é 2y.

$${(3x)}^2 – 2\cdot {(3x)}{(2y)} +{(2y)}^2$$ $$ 9x^2 – 12xy + 4y^2 $$

c) $${(ab – bc)}^2$$ O primeiro termo é ab e o segundo termo é bc.

$${(ab – bc)} {(ab – bc)} $$ $${(ab)}^2 – 2\cdot{(ab)}{(bc)} + {(bc)}^2 $$ $$ a^{2}b^{2} – 2ab^{2}c + b^{2}c^{2} $$

d) $${(5 – 2a)}^2$$ $$ {(5 – 2a)}{(5 – 2a)}$$ $$ 5^2 – 2\cdot 5\cdot{2a} + {(2a)}^2$$  $$ 25 – 20a + 4a^2 $$

Obs.: Note que tanto o quadrado da soma como da diferença, resulta sempre em um trinômio, onde há dois termos que são quadrados e um termo que representa o produto dos dois termos. Costmeiramente esses trinômios recebem o nome de Trinômio quadrado perfeito. Voltaremos a falar neles em outro momento. 

Produto da soma de dois números pela sua diferença.

Sejam os números representados pelas letras b. A soma será (a + b) e a diferença será (a – b). Vamos multiplicar o binômio soma pelo binômio diferença.

$${(a + b) } {(a – b)} $$ $${a}{a} + {a}{(-b)} + {b}{a} + {b}{(-b)} $$ $$ a^2 – ab + ab – b^2$$ $$ a^2 – b^2$$

Notamos que os dois termos semelhantes, são simétricos e por isso sua soma é igual a zero, isto é, se anulam. O resultado é um binômio diferença entre as diferenças dos quadrados dos dois números. 

“O produto da soma de dois números pela sua diferença, é igual à diferença entre seus quadrados”. Poderíamos também dizer: O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo”. 

Vamos exercitar um pouco.

a) $$ {(mn + n)}{(mn – n)} $$ $$ {(mn)}^2 – n^2 $$ $$ m^{2}n^{2} – n^2 $$

b) $$ {(7 – 3x)} {(7 + 3x)} $$ $$ {7}^2 – {3x}^2 $$ $$ 49 – 9x^2 $$

c) $$ {(4x + 3z)}{(4x – 3z)} $$ $${(4x)}^2 – {(3z)}^2 $$ $$ 16x^2 – 9z^2 $$

d) $$ {( 1 + ab)}{( 1 – ab)} $$ $$ 1^2 -{(ab)}^2 $$ $$ 1 – a^{2}b^{2} $$

Curitiba, 09 de abril de 2016

Décio Adams

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Matemática – Álgebra. Multiplicação de polinômios, exercitando.

Exercitar é o caminho da aprendizagem.

Vamos começar por resolver os exercícios que ficaram no último post, sobre esse assunto.

  1. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos a seguir.

a) $${({7\over 5}{bx})}{({5\over 3}{cx^2})}$$

Vamos agrupar os coeficientes e as partes literais, para facilitar a operação.

$$({7\over 5})\cdot({5\over3})\cdot {(bx)}\cdot {(cx^2)}$$ Entre as frações coeficientes, temos fatores comuns entre numerador e denominador, o que permite simplificar. As partes literais, tem os expoentes da mesma letra somados na multiplicação.

$${7\over 3}{bcx^{(1 +2)}} $$ $${7\over 3}{bcx^3}$$

b) $${(2ay)}{(5ay)}$$ Agrupando os fatores $${2\cdot 5}\cdot{a\cdot a}\cdot{y\cdot y}$$ $$ {10\cdot {a^{(1 + 1)}}\cdot {y^{(1+1)}}}$$ $${10{a^2}{y^2}}$$

c) $${(6 pr)}{({2\over3}{qr})}$$ Obs.: Qualquer número inteiro pode ser escrito na forma de uma fração, com o número por numerador e denominador igual a unidade. É o que iremos fazer neste exercício, para entender melhor a multiplicação dos coeficientes numéricos. Com a prática isso se torna despensável.

$$({6\over 1})\cdot({2\over 3})\cdot{(pr)}\cdot{(qr)}$$ O numerador da primeira fração é divisível pelo denominador da segunda. Vamos simplificar, eliminando o denominador. $$ {(2\cdot 2)}\cdot{pq}\cdot{r^{(1 + 1)}}$$ $$ {4pqr^2}$$

d) $${(3 i)}{(5ij)}$$ $${3\cdot 5}\cdot{i\cdot i}\cdot {j}$$ $${15\cdot{i^{(1 + 1)}}\cdot {j}}$$  $${15{i^2}j}$$

e) $${(4mn)}{(3n^3)}$$ $${(4\cdot 3)}\cdot m\cdot{n^{(1+3)}}$$ $${12mn^4}$$

f) $${(a{x^2}y)}{(bx{y^3})}$$ $${a\cdot b\cdot x^{(2 +1)}\cdot y^{(1 + 3)}}$$ $${abx^3y^4}$$

2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.

a) $${{(3ab)}\cdot {(2a + 3b – 5c)}}$$ $${(3ab)}\cdot{(2a)} +{(3ab)}\cdot{(3b)} + {(3ab)}\cdot{(-5c)}$$ $${(3\cdot 2)\cdot a^{(1 + 1)}\cdot b} +{3\cdot 3\cdot ab^{(1+1)}} + {3\cdot{(-5)}\cdot abc}$$ $$ {6a^2b + 9ab^2 – 15abc}$$

b) $${(mx^2)}\cdot {(mx + n{x^2}y + mxy)}$$ $${(mx^2)}\cdot{(mx)} +{(mx^2)}\cdot{(nx^{2} y)} + {(mx^2)}\cdot{(mxy)}$$ $${m^{(1 + 1)}{x^{(2 +1)}} +{mnx^{(2+2)} y} + {m^{(1+1)}x^{(2+1)}} y}$$ $$ {m^2}{x^3} + mnx^{4}y +m^{2}x^{3}y$$

c) $${(5 {u^2}v)}{(2uv + 4u – 5v + {{u^2}v^3})}$$ $${(5{u^2}v)}\cdot{(2uv)} + {(5{u^2}v)}\cdot{(4u)} + {(5{u^2}v)}\cdot{(-5v)} +{(5{u^2}v)}\cdot({u^2}{v^3}) $$ $${(5\cdot 2)\cdot{u^2}v\cdot{uv}} +{(5\cdot 4)\cdot{u^2}v\cdot{u}} + {5\cdot{(-5)}{u^2}v\cdot{v}} + {(5\cdot{u^2}v\cdot{u^2}{v^3}}$$ $${10u^{3} v^{2} + 20u^{3}v -25u^{2}v^{2} + 5u^{4}v^{4}}$$

d) $$({2\over 3}{axy^3}){(6xy – 3ay^2 + 9a{x^2}y)}$$$$({2\over 3}{axy^3})\cdot{(6xy)} + ({2\over3}{axy^3})\cdot {(-3ay^2)} + ({2\over 3}{axy^3})\cdot{(9ax^{2}y)}$$ $${2\over 3}\cdot{6}\cdot{(axy^3)}\cdot{xy} + {2\over 3}\cdot {(-3)}\cdot {axy^3} \cdot{ay^2} + {2\over 3}\cdot 9\cdot{axy^3}\cdot{ax^{2}y} $$ $${4ax^{(1+1)}y^{(3+1)}} -2a^{(1+1)}xy^{(3+2)} + 6a^{(1 + 1)}x^{(1+2)}y^{(3 + 1)}$$ $$ 4ax^{2}y^{4} – 2a^{2}xy^{5} + 6a^{2}x^{3}y^{4}$$

3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.

a)$${( a + ab)}{(abx + x)} $$ Agora chegou a hora de multiplicar todos os termos do primeiro polinômio, por todos os do segundo. No final reduzir os termos semelhantes, se os houver. Assim:

$${a}\cdot {abx} + {a}\cdot{x} + {ab}\cdot {abx} + {ab}\cdot {x} $$ $$a^{(1+1)}bx + ax + a^{(1+1)}b^{(1+1)}x + abx $$ $$ a^{2}bx + ax  + a^{2}b^{2}x + abx $$

b)$${(pm – {p^2}n)}{(m^2 – pm^2 – pn)}$$

$$ {pm}\cdot (m^2) + {pm}\cdot {(-pm^2)} + {pm}\cdot {-pn} + {(- p^2)}n\cdot {(m^2)} + {(-p^2)}n\cdot {(-pm^2)} + {(-p^2)}n\cdot{(-pn)} $$ $$ pm^{(1 + 2)} – p^{(1 + 1)}m^{(1 +2)} – p^{(1 + 1)}mn – p^{2 }m^{2}n + p{(2+1)}m^{2}n + p^{(2+1)}n^{(1+1)} $$ $$pm^3 -p^{2} m^3 – p^{2}mn – p^{2}m^{2}n + p^{3}m^{2}n + p^{3}n^{2} $$

Não há termos semelhantes, portanto a expressão final fica assim mesmo.

c)$${(2x – 3 y)}{(5 + 2xy – 4 x^2 + 3xy^3)}$$

$${2x}\cdot 5 + 2x\cdot {2xy} + 2x\cdot {(-4x^2)} + 2x\cdot {(3xy^3} + {(-3y)}\cdot 5 + {(-3y)}\cdot {(2xy)} +{(-3y)}\cdot {(3xy^3)} +{(-3y)}\cdot {(-4x^2)} $$

$$ 10x + 4x^{2}y – 8x^{(1+2)} +6x^{(1+1)}y^3 -15 y -6xy^{(1 +1)} – 9 xy^{(1 + 3)} +12x^{2}y $$

$$ 10x + 4x^{2} y – 8x^3 + 6x^{2}y^3 – 15 y – 6xy^2 – 9xy^4 + 12 x^{2}y $$

d) $${(3u + 5v)}{(6u^2 – 2 v + 7uv)}$$

$$3u\cdot{(6u^2)} + 3u\cdot {(-2v)} + 3u\cdot{(7uv)} + 5v\cdot{(6u^{2})} + 5v\cdot{(- 2v)} + 5v\cdot{(7uv)} $$ $$18u^3 – 6uv + 21 u^{2}v + 30u^2 – 10v^2 + 35uv^{2} $$

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Décio Adams

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Matemática – Álgebra, multiplicação de polinômios (continuação)

Multiplicando polinômios

No post anterior, vimos como se multiplica um termo algébrico por outro e também um termo por um polinômio. E se tivermos que multiplicar um polinômio por outro, como fica a questão? Seja por exemplo:

$${(mx^2 + my)}\cdot{(2x + 3xy – 5y)}$$

Vamos multiplicar alternadamente o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, até terminar. O resultado será uma expressão com vários termos, entre os quais é possível haver termos semelhantes. Bastará fazer a redução e teremos o resultado procurado. Façamos em partes.

$${mx^2}\cdot{2x + 3xy – 5y}$$ $${(mx^2)}{2x} + {(mx^2)}{3xy} +{(mx^2)}{(-5y)}$$ $${2\cdot m\cdot {x^2}\cdot x} + {3\cdot m\cdot{x^2}\cdot{(xy)}} +{(-5)\cdot m\cdot  {x^2}\cdot y}$$ $${2mx^3 + 3m{x^3}y – 5mx^2y}$$

$${my}\cdot {2x} +{my}\cdot{3xy} + {my}\cdot{(-5y)}$$ $${2mxy + 3mxy^2 – 5my^2}$$

Escrevendo as duas partes juntas, verificaremos que não há termos semelhantes e assim ficaremos com uma expressão de seis termos no final.

$${2mx^3 + 3m{x^3}y – 5m{x^2}y + 2mxy + 3mxy^2 – 5my^2}$$

Vamos a outro exemplo: $${( 3x^2 + 2x)}\cdot{(2x^3 + x^2)}$$

Na multiplicação do primeiro termo pelo segundo polinômio resulta:

$${(3x^2)}\cdot{2x^3 +x^2}$$ $${(3x^2)}{(2x^3)} + {(3x^2)}{(x^2)}$$ $${6{x^{(2 + 3)}} + 3{x^{(2+2)}}}$$ $${6x^5 + 3x^4}$$

A segunda parte fica: $${(2x)}\cdot{(2x^3 +x^2)}$$ $${(2x)\cdot {2x^3} + (2x)\cdot{x^2}} $$ $${ 4{x^{(1+3)}} + 2{x^{(1+2)}}}$$ $${4x^4 + 2x^3}$$

Reunindo as duas partes teremos: $${6x^5 + 3x^4 +4x^4 + 2x^3}$$

Temos dois termos semelhantes: $${6x^5 +{(3x^4 + 4x^4)} + 2x^3}$$  $$ {6x^5 + 7x^4 + 2x^3}$$

Podemos, para facilitar, fazer as multiplicações na mesma sequência, sem separar, subentendendo alguns passos, depois de dominarmos o processo. Ou seja, podemos fazer as multiplicações mentalmente e escrever apenas os resultados, de modo a diminuir o espaço ocupado no papel. Mas isso deve ser feito, depois de termos perfeito domínio de cada passo. Não significa que iremos omitir os passos, apenas os fazemos em sequência e depois escrevemos o resultado. Isso acontece na medida em que adquirimos desenvoltura com as diferentes operações.

Hora de exercitar.

  1. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos a seguir.

$${({7\over 5}{bx})}{({5\over 3}{cx^2})}$$ $${(2ay)}{(5ay)}$$ $${(6 pr)}{({2\over3}{qr})}$$ $${(3 i)}{(5ij)}$$ $${(4mn)}{(3n^3)}$$ $${(a{x^2}y)}{(bx{y^3})}$$

2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.

a) $${{(3ab)}\cdot {(2a + 3b – 5c)}}$$

b) $${(mx^2)}\cdot {(mx + n{x^2}y + mxy)}$$

c) $${(5 {u^2}v)}{(2uv + 4u – 5v + {{u^2}v^3})}$$

d) $${({2\over 3}{axy^3})}{(6xy – 3ay^2 + 9a{x^2}y)}$$

3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.

a)$${( a + ab)}{(abx + x)} $$

b)$${(pm – {p^2}n)}{(m^2 – pm^2 – pn)}$$

c)$${(2x – 3 y)}{(5 + 2xy – 4 x^2 + 3xy^3)}$$

d) $${(3u + 5v)}{(6u^2 – 2 v + 7uv)}$$

Curitiba, 31/março/2016

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