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Matemática – Álgebra – Produtos notáveis.

O que é algo notávelI? 

Tudo que tem uma característica que chama atenção, tem algo além do comum, pode ser apontado como algo notável. Então, a expressão Produtos notáveis tem algo de importante e que tem aplicações importantes em algum assunto mais adiante. Vejamos quais são esses casos.

Quadrado da soma de dois números. 

Você provavelmente irá pensar que é mais fácil efetuar a soma e depois calcular a potência, ou seja elevar ao quadrado. Mas, se os números estiverem representados por letras, ou letras e números, como fica? Vamos ver?

$${ a + b} $$ É a adição dos números representados por letras e fica indicada. Vamos elevar ao quadrado:

$${( a + b)}^2 $$ Temos a multiplicação de um binômio por ele mesmo. a é o primeiro termo e b é o segundo termo.

$${(a + b)}\cdot{(a + b)} $$ $$ {a}\cdot {a} + {a}\cdot{b} + {b}\cdot {a} + {b}\cdot{b}$$ $$ a^2 + ab + ba + b^2 $$ Há dois termos semelhantes, embora estejam com a ordem das letras invertida, isso não significa nada. Podemos usar a propriedade comutativa da multiplicação e colocar ambos na mesma ordem.

$$ a^2 + ab + ab + b^2$$ $$ a^2 + 2ab + b^2$$ O resultado é um trinômio, cujo primeiro termo é o primeiro termo da soma elevado ao quadrado, o segundo termo é o dobro do produto do primeiro pelo segundo termo e o terceiro termo é o quadrado do segundo termo da soma elevado ao quadrado. Isso nos permite estabelecer a regra que pode ser usada em qualquer caso de uma soma de dois números, elevada ao quadrado.

“O quadrado da soma de dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto (dobro) do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Vamos aplicar isso em alguns exemplos:

a) $$ { (2x + y)}^2$$ Primeiro termo é 2x o segundo termo é y

$$ {(2x)}^2 + 2\cdot 2\cdot{x}{y} + y^2 $$ $$ 4x^2 + 4xy + y^2$$

b) $$ {(3m + 5)}^2$$ O primeiro termo é 3m e o segundo termo é 5.

$$ {(3m)}^2 + 2\cdot 3\cdot {m}\cdot 5 + 5^2$$ $$ 9m^2 + 30m + 25 $$

c) $${( 6 + 4xy)}^2$$ O primeiro termo é 6 e o segundo termo é 4xy.

$$ 6^2 + 2\cdot 6\cdot {(4xy)} + {(4xy)}^2 $$ $$36 + 48xy + 16x^{2}y^{2} $$

d) $$ {( p + 3 q)}^2$$ Primeiro termo é p o segundo termo é 3q.

$$ p^2 + 2\cdot {p}\cdot{3q} + {(3q)}^2 $$ $$ p^2 + 6pq + 9q^2$$

Quadrado da diferença de dois números

Da mesma forma que no caso da soma, também ocorre com a diferença. Os números são representados por letras, formando no final a multiplicação de dois binômios iguais. Seja o exempl:

$${( a – b)}^2 $$

 A letra a é o primeiro termo e a b é o segundo.

$${( a – b)}{(a – b)} $$ Cada termo do primeiro fator é multiplicado por todos os termos do segundo fator. O que resulta em:

$${a}\cdot {a} + {a}\cdot {(-b) } + {(-b)}\cdot {a} + {-b}\cdot{b} $$ $$ a^{(1+ 1)} – ab – ba + b^{(1 + 1)} $$ $$ a^2 – 2ab + b^2 $$

Os dois termos (- ab) e (-ba), são semelhantes, pois a ordem dos fatores pode ser alterada sem causar problemas no resultado. Assim passamos a ter que:

“O quadrado da diferença entre dois números é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o primeiro termo multiplicado pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo”.

Vamos exercitar:

a) $${(x – y)}^2$$  O primeiro termo é a letra x e o segundo termo é a letra y.

$${(x – y )}{(x – y)}$$ $$ x^2 – 2xy + y^2$$

b) $${(3x – 2y)}^2$$ O primeiro termo é 3x e o segundo termo é 2y.

$${(3x)}^2 – 2\cdot {(3x)}{(2y)} +{(2y)}^2$$ $$ 9x^2 – 12xy + 4y^2 $$

c) $${(ab – bc)}^2$$ O primeiro termo é ab e o segundo termo é bc.

$${(ab – bc)} {(ab – bc)} $$ $${(ab)}^2 – 2\cdot{(ab)}{(bc)} + {(bc)}^2 $$ $$ a^{2}b^{2} – 2ab^{2}c + b^{2}c^{2} $$

d) $${(5 – 2a)}^2$$ $$ {(5 – 2a)}{(5 – 2a)}$$ $$ 5^2 – 2\cdot 5\cdot{2a} + {(2a)}^2$$  $$ 25 – 20a + 4a^2 $$

Obs.: Note que tanto o quadrado da soma como da diferença, resulta sempre em um trinômio, onde há dois termos que são quadrados e um termo que representa o produto dos dois termos. Costmeiramente esses trinômios recebem o nome de Trinômio quadrado perfeito. Voltaremos a falar neles em outro momento. 

Produto da soma de dois números pela sua diferença.

Sejam os números representados pelas letras b. A soma será (a + b) e a diferença será (a – b). Vamos multiplicar o binômio soma pelo binômio diferença.

$${(a + b) } {(a – b)} $$ $${a}{a} + {a}{(-b)} + {b}{a} + {b}{(-b)} $$ $$ a^2 – ab + ab – b^2$$ $$ a^2 – b^2$$

Notamos que os dois termos semelhantes, são simétricos e por isso sua soma é igual a zero, isto é, se anulam. O resultado é um binômio diferença entre as diferenças dos quadrados dos dois números. 

“O produto da soma de dois números pela sua diferença, é igual à diferença entre seus quadrados”. Poderíamos também dizer: O produto da soma pela diferença de dois números é igual ao quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo”. 

Vamos exercitar um pouco.

a) $$ {(mn + n)}{(mn – n)} $$ $$ {(mn)}^2 – n^2 $$ $$ m^{2}n^{2} – n^2 $$

b) $$ {(7 – 3x)} {(7 + 3x)} $$ $$ {7}^2 – {3x}^2 $$ $$ 49 – 9x^2 $$

c) $$ {(4x + 3z)}{(4x – 3z)} $$ $${(4x)}^2 – {(3z)}^2 $$ $$ 16x^2 – 9z^2 $$

d) $$ {( 1 + ab)}{( 1 – ab)} $$ $$ 1^2 -{(ab)}^2 $$ $$ 1 – a^{2}b^{2} $$

Curitiba, 09 de abril de 2016

Décio Adams

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Matemática – Álgebra, multiplicação de polinômios (continuação)

Multiplicando polinômios

No post anterior, vimos como se multiplica um termo algébrico por outro e também um termo por um polinômio. E se tivermos que multiplicar um polinômio por outro, como fica a questão? Seja por exemplo:

$${(mx^2 + my)}\cdot{(2x + 3xy – 5y)}$$

Vamos multiplicar alternadamente o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, até terminar. O resultado será uma expressão com vários termos, entre os quais é possível haver termos semelhantes. Bastará fazer a redução e teremos o resultado procurado. Façamos em partes.

$${mx^2}\cdot{2x + 3xy – 5y}$$ $${(mx^2)}{2x} + {(mx^2)}{3xy} +{(mx^2)}{(-5y)}$$ $${2\cdot m\cdot {x^2}\cdot x} + {3\cdot m\cdot{x^2}\cdot{(xy)}} +{(-5)\cdot m\cdot  {x^2}\cdot y}$$ $${2mx^3 + 3m{x^3}y – 5mx^2y}$$

$${my}\cdot {2x} +{my}\cdot{3xy} + {my}\cdot{(-5y)}$$ $${2mxy + 3mxy^2 – 5my^2}$$

Escrevendo as duas partes juntas, verificaremos que não há termos semelhantes e assim ficaremos com uma expressão de seis termos no final.

$${2mx^3 + 3m{x^3}y – 5m{x^2}y + 2mxy + 3mxy^2 – 5my^2}$$

Vamos a outro exemplo: $${( 3x^2 + 2x)}\cdot{(2x^3 + x^2)}$$

Na multiplicação do primeiro termo pelo segundo polinômio resulta:

$${(3x^2)}\cdot{2x^3 +x^2}$$ $${(3x^2)}{(2x^3)} + {(3x^2)}{(x^2)}$$ $${6{x^{(2 + 3)}} + 3{x^{(2+2)}}}$$ $${6x^5 + 3x^4}$$

A segunda parte fica: $${(2x)}\cdot{(2x^3 +x^2)}$$ $${(2x)\cdot {2x^3} + (2x)\cdot{x^2}} $$ $${ 4{x^{(1+3)}} + 2{x^{(1+2)}}}$$ $${4x^4 + 2x^3}$$

Reunindo as duas partes teremos: $${6x^5 + 3x^4 +4x^4 + 2x^3}$$

Temos dois termos semelhantes: $${6x^5 +{(3x^4 + 4x^4)} + 2x^3}$$  $$ {6x^5 + 7x^4 + 2x^3}$$

Podemos, para facilitar, fazer as multiplicações na mesma sequência, sem separar, subentendendo alguns passos, depois de dominarmos o processo. Ou seja, podemos fazer as multiplicações mentalmente e escrever apenas os resultados, de modo a diminuir o espaço ocupado no papel. Mas isso deve ser feito, depois de termos perfeito domínio de cada passo. Não significa que iremos omitir os passos, apenas os fazemos em sequência e depois escrevemos o resultado. Isso acontece na medida em que adquirimos desenvoltura com as diferentes operações.

Hora de exercitar.

  1. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos a seguir.

$${({7\over 5}{bx})}{({5\over 3}{cx^2})}$$ $${(2ay)}{(5ay)}$$ $${(6 pr)}{({2\over3}{qr})}$$ $${(3 i)}{(5ij)}$$ $${(4mn)}{(3n^3)}$$ $${(a{x^2}y)}{(bx{y^3})}$$

2. Efetuar a multiplicação dos termos algébricos pelos polinômios a seguir.

a) $${{(3ab)}\cdot {(2a + 3b – 5c)}}$$

b) $${(mx^2)}\cdot {(mx + n{x^2}y + mxy)}$$

c) $${(5 {u^2}v)}{(2uv + 4u – 5v + {{u^2}v^3})}$$

d) $${({2\over 3}{axy^3})}{(6xy – 3ay^2 + 9a{x^2}y)}$$

3. Efetuar a multiplicação dos polinômios propostos a seguir.

a)$${( a + ab)}{(abx + x)} $$

b)$${(pm – {p^2}n)}{(m^2 – pm^2 – pn)}$$

c)$${(2x – 3 y)}{(5 + 2xy – 4 x^2 + 3xy^3)}$$

d) $${(3u + 5v)}{(6u^2 – 2 v + 7uv)}$$

Curitiba, 31/março/2016

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