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Matemática, Aritmética, Razões, proporções e suas propriedades.

Proporções e suas propriedades.

  • No post anterior sobre o assunto, chegamos a ver três propriedades das proporções. Vamos lembrar:
  •  O produto dos extremos é igual ao produto dos meios. 
  • Alternando os extremos entre si, a proporção continua existindo.
  •  Alternando os meios entre si, a proporção continua existindo. 

OBS.: Se aplicarmos as propriedades dois e três ao mesmo tempo, equivale a aplicar uma quarta propriedade.

  •  Invertendo as posições dos antecedentes com seus consequentes, continuamos a ter uma proporção. Vejamos o exemplo.
    • $\mathbf{\color{navy}{{2\over 3} = {6\over 9}}}$
  • Se invertermos teremos.
    • $\mathbf{\color{navy}{{3\over 2} = {9\over 6}}}$

Tanto na primeira como na segunda proporção teremos:

  • $\mathbf{\color{navy}{{2\cdot 9} = {3\cdot 6}}}$
  • $\mathbf{\color{navy}{{3\cdot 6}={9\cdot 2}}}$
  • Ambas as  multiplicações resultam em igualdades e dão o mesmo valor.

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Matemática – Propriedades das quatro operações. (adição e subtração)

Propriedades das quatro operações.

 

O termo propriedade aqui não é usado no sentido de posse, como quando adquirimos um bem. Ele passa a ser nossa propriedade. Tem aqui o significado de alguma coisa que lhe é característica, própria. Lembro de ouvir muitas vezes os alunos perguntarem:

  • Para que serve isso, professor?

Nem sempre é fácil explicar, assim na hora, como se diz, “na lata”, para que serve determinado conteúdo. Mas, com certeza ele será útil, em um momento futuro e, quando for hora de usar, pode faltar tempo para voltar atrás e aprender. Por isso, esse assunto, aparentemente um pouco sem “razão de ser”, ou seja, inútil, é muito importante no desenvolvimento de conteúdos posteriores. Apenas para adiantar, é fundamental no aprendizado da álgebra. No momento oportuno vou mostrar como.

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Matemática – Aritmética, As quatro operações- Adição.(Refeito e ampliado em 10/7/2016)

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Figura da Idade Média, relativa a aritmética.

Aritmética.

Essa palavra designa a parte da Matemática que nos apresenta ao mundo dos números. Começamos por aprender a contar, associar um símbolo aos números que correspondem às quantidades de objetos que contamos. Esses símbolos denominamos algarismos, e os mais usados no mundo hoje em dia são os hindu arábicos. Essa denominação é devida ao fato de sua origem ter ocorrido na India e depois foram aperfeiçoados na Arábia. Depois de dominarmos a escrita e leitura dos números, fazendo o uso adequado da posição dos algarismos, começamos a aprender as quatro operações:

  • Adição

Consiste na reunião dos elementos de dois ou mais conjuntos. A quantidade de elementos resultante é denominada soma. A soma será o número de elementos do novo conjunto formado pela reunião dos primeiros. Por exemplo. Seja o conjunto $\color{navy}{A =\varnothing}$ e $\color{navy}{B = \{ O\}}$. O primeiro conjunto é vazio, isto é não tem nenhum elemento. Então o número de elementos é $\color{navy}{n(A) = 0}$. O segundo conjunto tem apenas uma letra “O“. Portanto $\color{navy}{n(B) = 1}$. Vamos representar isso num desenho.

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  • Vamos reunir os elementos dos dois conjuntos em um único conjunto e contar a quantidade de elementos resultante.

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  • Notamos que da reunião dos dois conjuntos resultou um novo conjunto com um único elemento. Isto nos permite afirmar que a adição dos números 0 (zero) com o número 1(um), resulta na soma 1 (um). Ou seja adicionar 0 (zero) com qualquer número não altera o resultado.
    • $\color{navy}{0 + 1 = 1}$
  • Vejamos agora dois conjuntos, tendo o primeiro 1(um) elemento e o outro 2(dois) elementos. Façamos a reunião dos mesmos e vejamos quantos elementos resultam.

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  • Notamos que o conjunto que reúne os dois conjuntos é um conjunto com um total de 3(três) elementos. Portanto:
  • $\color{navy}{ 1 + 2 = 3 }$
  • Este procedimento de juntar os elementos de dois ou mais conjuntos você pode fazer usando os dedos de suas mãos. Vejamos mais um exemplo. Um conjunto M com três elementos e um conjunto N com quatro elementos.

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Vemos na figura dois conjuntos com o mesmo tipo de elementos. O conjunto M formado por três elipses e o conjunto N por 4 elipses. Podemos reunir todos em um único conjunto e ver quantos serão os elementos do do novo conjunto formado pela reunião dos dois.

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Se contarmos o número de elementos existentes no novo conjunto encontraremos como resultado o número 7. Isto nos permite afirmar que a adição dos números que representam a quantidade de elementos dos dois conjuntos que foram reunidos, tem como resultado 7 (sete). Simbólicamente fica:

  • $\color{navy}{ 3 + 4 = 7} $
  • Se você quiser fazer a adição de 5 ovos com 7 ovos, usando os dedos das mãos, como irá proceder?
    • Em condições normais, você terá em sua mão esquerda 5 dedos, que podem representar os 5 ovos. Na outra mão terá também 5 dedos, que poderão representar outros 5 ovos. Se você continuar contando, depois do cinco vem o seis e logo o sete. Portanto faltarão dois dedos. Conte os dedos da mão esquerda, os da mão direita, chegando a 10, e volte a contar mais dois da mão esquerda. Deverá obter o número 12. Ou seja:
    • $\color{navy}{ 5 + 7 = 5 + 5 + 2 = 12 }$
    • 6 uvas + 3 maçãs = 9 frutas, mas não serão 9 uvas, nem 9 maçãs. Em geral não adicionamos coisas diferentes.
  • Os números que somamos são chamados parcelas. O número de parcelas de uma adição, não tem limites e nem importa a ordem em que as adicionamos, contanto que façamos o processo de maneira correta. 
Addition_Table.svg

Tabela de dupla entrada. Os números na primeira linha e coluna, tem suas somas no cruzamento das respectivas linhas e colunas.

  • A tabela apresentada acima, pode ser útil para obter a coma da adição de números entre 0(zero) e 9 (nove). Pode substituir os dedos ou outros objetos no momento de realizar a adição de números.

 

  • Adição de números maiores. 

  • Sejam, por exemplo as parcelas $\color{navy}{ 149 + 214 = ?}$
  •      Eles serão escritos um sobre o outro, formando a coluna das unidades, a coluna das dezenas, centenas, milhares e assim até o final. Começamos a efetuar pelas unidades e assim sucessivamente, até completar a adição. O número formado será a soma das parcelas.
Adição de números com vários algarismos20160710_12151978

Adição de números com vários algarismos em colunas 1

  • Na figura ao lado, vemos efetuada a adição dos dois números dados. Observe que adicionamos a partir das unidades. No caso $\color{navy}{ 9 + 7 = 16}$. Escrevemos as unidades 6 (seis) abaixo da linha horizontal e a dezena, colocamos acima do 4 (quatro), na coluna das dezenas. Repetimos o processo e obtemos $\color{navy}{1 + 4 + 1=6 (seis) dezenas. Não temos nenhuma centena. Adicionamos a coluna das centenas e resulta a soma $\color{navy}{366}$.
  • Ao lado temos a adição $\color{navy}{164 + 98 = ?}$. Na formação das colunas, a casa das centenas ficou vaga para o segundo número, uma vez que temos um número sem nenhuma centena. $\color{navy}{4 + 8 = 12}$, nos dá duas unidades e uma dezena. Escrevemos as duas unidades abaixo da linha horizontal e a dezena colocamos acima dos algarismos das dezenas. Somamos $\color{navy}{ 1 + 6 + 9 = 16}$ que nos dá seis dezenas de unidades e uma centena. O seis vai ao lado do dois, na casa das dezenas e a centena, acima dos algarismos das centenas. Somamos $\color{navy}{1 + 1 = 2}$, resultam duas centenas e a soma dos números é igual a $\color{navy}{262}$.
  • Tomemos mais dois exemplos.
    • $\color{navy}{1537 + 7259 = ? }$
    • $\color{navy}{2836 + 475 =?}$
Adição de números com vários algarismos 220160710_12385712

Adição de números com vários algarismos 2

  • Note que devemos colocar os algarismos na posição correta e sempre efetuar a adição da direita (unidades) para esquerda, seguindo a ordem das dezenas, centenas e demais classes.
  • Vamos exercitar.

    • Efetue as adições dos números, utilizando os dedos, outros objetos e mesmo a tabela apresentada acima.
      • $\color{blue}{9 + 12 = ?}$
      • $\color{blue}{15 + 8 = ?}$
      • $\color{blue}{16 + 9 = ?}$
      • $\color{blue}{21 + 5 = ?}$
      • $\color{blue}{33 + 4 = ?}$
      • $\color{blue}{27 + 3 = ?}$
      • $\color{blue}{35 + 8 =  ?}$
    • Efetue as adições dos números, escrevendo em colunas, como mostrado acima e efetue da direita para esquerda.
      • $\color{brown}{78 + 63 = ?}$
      • $\color{brown}{93 + 142 = ?}$
      • $\color{brown}{87 + 231 + 158 = ?}$
      • $\color{brown}{527 + 1872 = ?}$
      • $\color{brown}{2056 + 1932 = ?}$
      • $\color{brown}{5743 + 3278 + 7094 = ?}$

Curitiba, 10 de julho de 2017 (Post refeito e ampliado nesta data).

Décio Adams

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